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Arianna Battaglia

09/02/2023

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Divertiti con la Scomposizione dei Polinomi e Trinomi!

La scomposizione dei polinomi è un'importante tecnica algebrica che permette di fattorizzare espressioni complesse. Questo documento esplora i principali metodi di scomposizione, tra cui:

  • Raccoglimento totale: si applica quando tutti i termini hanno un fattore comune
  • Raccoglimento parziale: usato quando solo alcuni termini hanno fattori in comune
  • Scomposizione di prodotti notevoli come differenza di quadrati e quadrato/cubo del binomio
  • Scomposizione del trinomio di secondo grado

Questi metodi sono fondamentali per semplificare e risolvere equazioni algebriche.

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Raccoglimenti - Totale: lo posso applicare solo se tutti i fattori del polinomio hanno qualcosa in comune ESEMPLO ( 2) 3) x²-x²+2x²³ -5x x(x

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Raccoglimento Parziale

Il raccoglimento parziale si applica quando non tutti i termini del polinomio hanno un fattore comune.

Definizione: Il raccoglimento parziale consiste nel raccogliere i fattori comuni solo tra alcuni termini del polinomio, per poi procedere con un raccoglimento totale.

Esempio: x³+x²+2x+2 = x²(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(x²+2)

Passaggi:

  1. Identificare i termini con fattori comuni
  2. Effettuare raccoglimenti parziali
  3. Cercare di ottenere polinomi uguali
  4. Applicare un raccoglimento totale finale

Highlight: Se non si ottengono polinomi uguali, il raccoglimento parziale potrebbe essere errato o non essere il metodo adatto.

Il raccoglimento parziale può essere applicato anche con più lettere o con più di 4 termini.

Raccoglimenti - Totale: lo posso applicare solo se tutti i fattori del polinomio hanno qualcosa in comune ESEMPLO ( 2) 3) x²-x²+2x²³ -5x x(x

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Prodotti Notevoli e Scomposizioni Speciali

Questa sezione tratta le scomposizioni di polinomi relative ai prodotti notevoli:

  1. Differenza di quadrati

    Formula: A² - B² = (A+B)(A-B) Esempio: 16x² - 4 = (4x+2)(4x-2)

  2. Quadrato del binomio

    Formula: A² + 2AB + B² = (A+B)² A² - 2AB + B² = (A-B)² Esempio: x² + 4x + 4 = (x+2)²

  3. Cubo del binomio

    Formula: A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A+B)³ Esempio: x³ + 3x² + 3x + 1 = (x+1)³

Highlight: Per riconoscere queste forme, è importante identificare i termini caratteristici di ciascun prodotto notevole.

Raccoglimenti - Totale: lo posso applicare solo se tutti i fattori del polinomio hanno qualcosa in comune ESEMPLO ( 2) 3) x²-x²+2x²³ -5x x(x

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Scomposizione del Trinomio di Secondo Grado

La scomposizione trinomio di secondo grado è una tecnica importante per fattorizzare polinomi di secondo grado.

Definizione: Per scomporre un trinomio ax² + bx + c, si cercano due numeri p e q tali che: p + q = b p * q = c

Una volta trovati p e q, la scomposizione si scrive come: (x+p)(x+q)

Esempio: Per x² + 2x - 3, troviamo p = 3 e q = -1 perché: 3 + (-1) = 2 3 * (-1) = -3 Quindi, la scomposizione è: (x+3)(x-1)

Highlight: Questa tecnica è fondamentale per risolvere equazioni di secondo grado tramite scomposizione.

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La scomposizione dei polinomi è un'importante tecnica algebrica che permette di fattorizzare espressioni complesse. Questo documento esplora i principali metodi di scomposizione, tra cui:

  • Raccoglimento totale: si applica quando tutti i termini hanno un fattore comune
  • Raccoglimento parziale: usato quando solo alcuni termini hanno fattori in comune
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Raccoglimento Parziale

Il raccoglimento parziale si applica quando non tutti i termini del polinomio hanno un fattore comune.

Definizione: Il raccoglimento parziale consiste nel raccogliere i fattori comuni solo tra alcuni termini del polinomio, per poi procedere con un raccoglimento totale.

Esempio: x³+x²+2x+2 = x²(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(x²+2)

Passaggi:

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Prodotti Notevoli e Scomposizioni Speciali

Questa sezione tratta le scomposizioni di polinomi relative ai prodotti notevoli:

  1. Differenza di quadrati

    Formula: A² - B² = (A+B)(A-B) Esempio: 16x² - 4 = (4x+2)(4x-2)

  2. Quadrato del binomio

    Formula: A² + 2AB + B² = (A+B)² A² - 2AB + B² = (A-B)² Esempio: x² + 4x + 4 = (x+2)²

  3. Cubo del binomio

    Formula: A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A+B)³ Esempio: x³ + 3x² + 3x + 1 = (x+1)³

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Scomposizione del Trinomio di Secondo Grado

La scomposizione trinomio di secondo grado è una tecnica importante per fattorizzare polinomi di secondo grado.

Definizione: Per scomporre un trinomio ax² + bx + c, si cercano due numeri p e q tali che: p + q = b p * q = c

Una volta trovati p e q, la scomposizione si scrive come: (x+p)(x+q)

Esempio: Per x² + 2x - 3, troviamo p = 3 e q = -1 perché: 3 + (-1) = 2 3 * (-1) = -3 Quindi, la scomposizione è: (x+3)(x-1)

Highlight: Questa tecnica è fondamentale per risolvere equazioni di secondo grado tramite scomposizione.

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Raccoglimenti Totale e Parziale

Il raccoglimento totale è una tecnica di scomposizione polinomi che si applica quando tutti i termini del polinomio hanno un fattore comune.

Definizione: Il raccoglimento totale consiste nell'estrarre il massimo comune divisore tra tutti i termini del polinomio.

Esempio: x²-x²+2x²³ -5x = x(x²-x²+2x - 5) 6x³+4x²-8 = 2(3x³+2x²-4)

È possibile raccogliere:

  • Coefficienti negativi
  • Monomi con più lettere (es. 6xy + 12x²y = 6xy(1+2x))
  • Polinomi (es. 3x(a+b) + 2y(a+b) = (a+b)(3x+2y))

Highlight: Il fattore raccolto è sempre il massimo comune divisore tra i termini del polinomio.

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