Matematica

Tecniche di Fattorizzazione dei Polinomi

Fattorizzazione di Equazioni Quadratiche

Matematica

24 nov 2025

2631

5 pagine

Tecniche di Scomposizione Matematica

iaiaB @iaia_b

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La scomposizione polinomiale è una tecnica matematica fondamentale che ti permette di riscrivere un polinomio come prodotto di... Mostra di più

# SCOMPOSIZIONI

Scompone in fattoi un polinomio significa scriveulo come prodotto di
polinomi iwiducibili

DIFFERENZA DI QUADRATI

```latex

Scomposizioni Concetti Base

Scomporre un polinomio significa trasformarlo in un prodotto di polinomi irriducibili. Una delle forme più comuni è la differenza di quadrati, che segue la formula a² - b² = $a-b$ $a+b$ .

Il raccoglimento totale è la tecnica da utilizzare quando tutti i monomi di un polinomio hanno un fattore comune (MCD). Si scrive il polinomio come prodotto del fattore comune per il polinomio che risulta dividendo ciascun termine per questo fattore.

Per esempio

3a²b + 6a³ + 3ac = 3 $a²b + 2a² + ac$
4ab - 8a⁵ + 2a⁴ = 2a $2b - 4a⁴ + a³$

⚠️ Ricorda il raccoglimento totale è PRIORITARIO rispetto ad altre tecniche di scomposizione. Verifica sempre se puoi applicarlo prima di procedere con altri metodi!

Quando scomponi un'espressione come 36x²4² - 81, puoi procedere per passi prima raccogli il fattore comune 9, poi applica la differenza di quadrati 36x²4² - 81 = 9 $4x²4² - 9$ = 9 $2x4 - 3$ $2x4 + 3$ .

Raccoglimento Parziale

Il raccoglimento parziale si usa quando non tutti i termini hanno un fattore comune, ma possiamo individuare fattori comuni tra alcuni di essi. Funziona particolarmente bene quando il polinomio ha un numero pari di termini.

La strategia è semplice raccogli i fattori comuni a gruppi di termini e poi cerca di ottenere parentesi uguali per fare un ulteriore raccoglimento. Per esempio

ax² + 8a² + x + 8 = x $a + 1$ + 8 $a² + 1$ = $a + 1$ $x + 8$

Quando lavori con un'espressione come 4²4 - 4³ - 24 + 2, puoi raccogliere 4²4 - 4³ - 24 + 2 = 4²(4 - 1) - 2(4 - 1) = (4 - 1)(4² - 2)

Per le espressioni che contengono quadrati di binomi, ricorda la formula $a + b$ ² = a² + 2ab + b²

💡 Un trucco utile quando vedi un trinomio sospetto, controlla sempre se può essere un quadrato di binomio verificando se il doppio prodotto combacia!

Gli esercizi più comuni richiedono di scomporre espressioni come 10bx + x - 30b - 3 = $10b + 1$ $x - 3$ , dove il raccoglimento parziale rivela chiaramente i fattori.

Schema Riassuntivo e Trinomi Speciali

Ecco uno schema rapido delle principali tecniche di scomposizione

Binomio raccoglimento totale, differenza di quadrati
Trinomio quadrato di binomio, trinomio speciale
Quadrinomio raccoglimento parziale

Il trinomio speciale ha la forma x² + sx + p e può essere scomposto come $x + m$ $x + n$ , dove m e n sono numeri tali che

m × n = p (il loro prodotto è il termine noto)
m + n = s (la loro somma è il coefficiente di x)

Per esempio, per scomporre x² + 6x + 8

Cerchiamo due numeri il cui prodotto sia 8
La cui somma sia 6
Quindi 4 e 2 $4×2=8 e 4+2=6$
La scomposizione è $x + 4$ $x + 2$

⚠️ Attenzione ai segni! Se il prodotto è positivo, i numeri hanno lo stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi). Se il prodotto è negativo, i numeri hanno segni opposti.

Per x² - 2x - 6, cerchiamo due numeri con prodotto -6 e somma -2

I numeri sono -3 e +1 $perché -3×1=-6 e -3+1=-2$
Quindi la scomposizione è $x - 3$ $x + 1$

Casi Particolari e Generalizzazioni

Per il trinomio con primo coefficiente diverso da 1, come 2x² + 10x + 8, prima raccogli il fattore comune 2x² + 10x + 8 = 2 $x² + 5x + 4$ = 2 $x + 4$ $x + 1$

Il caso generale del trinomio speciale può essere esteso anche ad espressioni dove le variabili hanno potenze diverse da 1, purché le potenze siano proporzionali. Ad esempio

x⁶ + 5x³ + 6 è un trinomio speciale $può essere scritto come (x³)² + 5(x³) + 6$
x⁴ + 3x² - 2 non lo è (perché l'esponente di x nel termine centrale non è metà dell'esponente del primo termine)

Nelle scomposizioni più complesse, dovrai spesso combinare diverse tecniche. Per esempio

x⁴ - x² = x² $x² - 1$ = x² $x - 1$ $x + 1$
9x⁴ - x² = x² $9x² - 1$ = x² $3x - 1$ $3x + 1$

💡 Ricorda questa sequenza di controllo prima verifica se puoi raccogliere a fattore comune, poi se riconosci prodotti notevoli, infine se puoi applicare la scomposizione del trinomio.

Esempi di verifica

Se vedi un'espressione come x² + 3x + 2, cerca due numeri che moltiplicati diano 2 e sommati diano 3.
Per x² - 13x + 42, cerca numeri che moltiplicati diano 42 e sommati diano -13.

Applicazioni Geometriche

Le scomposizioni hanno importanti applicazioni geometriche. Per esempio, l'espressione x² + 3x + 2 può rappresentare l'area di una figura composta da

Un quadrato di lato x $area = x²$
Tre rettangoli di dimensioni x e 1 $area totale = 3x$
Due quadrati di lato 1 $area totale = 2$

Questa interpretazione geometrica ti aiuta a visualizzare perché $x + 1$ $x + 2$ si sviluppa in x² + 3x + 2

$x + 1$ $x + 2$ = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2

💡 Visualizzare geometricamente i polinomi è un ottimo modo per comprendere le scomposizioni! Prova a disegnare i rettangoli corrispondenti alle tue scomposizioni per una comprensione più profonda.

Ricorda che padroneggiare le tecniche di scomposizione ti darà un grande vantaggio in algebra, calcolo e nella risoluzione di problemi matematici avanzati.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

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Samantha Klich

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

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•

2631

•

24 nov 2025

•

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Tecniche di Scomposizione Matematica

iaiaB

@iaia_b

La scomposizione polinomiale è una tecnica matematica fondamentale che ti permette di riscrivere un polinomio come prodotto di fattori irriducibili. Questo procedimento è essenziale per risolvere equazioni, semplificare frazioni algebriche e comprendere la struttura algebrica delle espressioni matematiche.

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Scomposizioni: Concetti Base

Scomporre un polinomio significa trasformarlo in un prodotto di polinomi irriducibili. Una delle forme più comuni è la differenza di quadrati, che segue la formula: a² - b² = $a-b$ $a+b$ .

Per esempio:

3a²b + 6a³ + 3ac = 3 $a²b + 2a² + ac$
4ab - 8a⁵ + 2a⁴ = 2a $2b - 4a⁴ + a³$

⚠️ Ricorda: il raccoglimento totale è PRIORITARIO rispetto ad altre tecniche di scomposizione. Verifica sempre se puoi applicarlo prima di procedere con altri metodi!

Quando scomponi un'espressione come 36x²4² - 81, puoi procedere per passi: prima raccogli il fattore comune 9, poi applica la differenza di quadrati: 36x²4² - 81 = 9 $4x²4² - 9$ = 9 $2x4 - 3$ $2x4 + 3$ .

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Quadrinomio: raccoglimento parziale

Il trinomio speciale ha la forma x² + sx + p e può essere scomposto come $x + m$ $x + n$ , dove m e n sono numeri tali che:

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Per esempio, per scomporre x² + 6x + 8:

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Quindi: 4 e 2 $4×2=8 e 4+2=6$
La scomposizione è $x + 4$ $x + 2$

⚠️ Attenzione ai segni! Se il prodotto è positivo, i numeri hanno lo stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi). Se il prodotto è negativo, i numeri hanno segni opposti.

Per x² - 2x - 6, cerchiamo due numeri con prodotto -6 e somma -2:

I numeri sono -3 e +1 $perché -3×1=-6 e -3+1=-2$
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x⁶ + 5x³ + 6 è un trinomio speciale $può essere scritto come (x³)² + 5(x³) + 6$
x⁴ + 3x² - 2 non lo è (perché l'esponente di x nel termine centrale non è metà dell'esponente del primo termine)

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x⁴ - x² = x² $x² - 1$ = x² $x - 1$ $x + 1$
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Un quadrato di lato x $area = x²$
Tre rettangoli di dimensioni x e 1 $area totale = 3x$
Due quadrati di lato 1 $area totale = 2$

Questa interpretazione geometrica ti aiuta a visualizzare perché $x + 1$ $x + 2$ si sviluppa in x² + 3x + 2:

$x + 1$ $x + 2$ = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2

💡 Visualizzare geometricamente i polinomi è un ottimo modo per comprendere le scomposizioni! Prova a disegnare i rettangoli corrispondenti alle tue scomposizioni per una comprensione più profonda.

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