Funzioni

Pensa alle funzioni come a delle macchine che trasformano numeri: metti un valore x e ottieni sempre uno e un solo valore y. È come un distributore automatico che per ogni moneta che inserisci ti dà sempre lo stesso prodotto.

Il dominio è l'insieme di tutti i valori che puoi "inserire" nella funzione, mentre il codominio è dove "escono" i risultati. L'insieme immagine è la parte del codominio che contiene tutti i valori che la funzione produce davvero.

Una funzione può essere crescente (se x aumenta, anche y aumenta) o decrescente (se x aumenta, y diminuisce). Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y $come f(x) = x²$, mentre quelle dispari sono simmetriche rispetto all'origine $come f(x) = x³$.

Per studiare una funzione segui questi passi: trova il dominio, controlla se è pari o dispari, trova dove interseca gli assi, determina dove è positiva o negativa, e infine disegna il grafico. Con l'esempio f(x) = $2x+1$/$x-2$, il dominio esclude x = 2 (perché renderebbe zero il denominatore) e l'immagine esclude y = 2.

Trucco: Per ricordare funzioni iniettive e suriettive, pensa che "iniettiva = al massimo una freccia per ogni punto", "suriettiva = almeno una freccia per ogni punto".

Rette e Trasformazioni

Ogni retta sul piano corrisponde a un'equazione lineare e viceversa - è una corrispondenza perfetta! Puoi scrivere una retta in forma implicita $ax + by + c = 0$ o esplicita $y = mx + q$, dove m è il coefficiente angolare che indica quanto è "ripida".

Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare $m₁ = m₂$, mentre sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1 $m₁m₂ = -1$. È come dire che una retta è la "rotazione di 90°" dell'altra.

Le trasformazioni isometriche mantengono le distanze inalterate. La simmetria centrale ribalta tutto rispetto a un punto, quella assiale rispetto a una retta. La rotazione fa girare le figure attorno a un centro, mentre la traslazione le sposta senza ruotarle.

Quando applichi queste trasformazioni ai grafici delle funzioni, ottieni effetti prevedibili: y = f(x) + b sposta il grafico verso l'alto, y = f$x-a$ lo sposta a destra, y = kf(x) lo "stiracchia" verticalmente. Il valore assoluto y = |f(x)| "ribalta" verso l'alto la parte negativa del grafico.

Ricorda: Una traslazione di vettore (a,b) trasforma il punto (x,y) in $x+a, y+b$ - è semplicemente "sommare le coordinate"!

Circonferenza

La circonferenza è l'insieme di tutti i punti che hanno la stessa distanza (raggio r) da un punto fisso (centro C). È come tracciare un cerchio perfetto con un compasso!

L'equazione classica è $x-xc$² + $y-yc$² = r², ma puoi anche usare la forma canonica x² + y² + ax + by + c = 0. Per trovare centro e raggio da questa forma, usa C$-a/2, -b/2$ e r = √$a²/4 + b²/4 - c$.

L'asse radicale di due circonferenze è una retta perpendicolare alla linea che unisce i loro centri. Si ottiene sottraendo le equazioni delle due circonferenze - il risultato è sempre un'equazione di primo grado!

I fasci di circonferenze sono famiglie infinite di circonferenze che condividono proprietà comuni. Se le circonferenze generatrici si intersecano, tutte le circonferenze del fascio passano per quei due punti. Se sono tangenti, passano tutte per il punto di tangenza.

La semicirconferenza è metà circonferenza e, a differenza della circonferenza completa, è una vera funzione: y = ±√$r² - (x-xc)²$ + yc.

Trucco: Per ricordare l'equazione canonica, pensa che tutti i termini di secondo grado hanno coefficiente 1, mentre xy è assente!

Parabola

La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto (fuoco F) e una retta (direttrice d). Immagina di lanciare una palla: la sua traiettoria è proprio una parabola!

L'equazione standard con asse parallelo all'asse y è y = ax² + bx + c. Il segno di 'a' determina l'orientamento: se a > 0 la parabola sorride (concavità verso l'alto), se a < 0 è triste (concavità verso il basso).

Il vertice si trova alle coordinate V$-b/2a, -Δ/4a$, dove Δ = b² - 4ac è il discriminante. Il fuoco è sempre a distanza 1/4a dal vertice, lungo l'asse di simmetria.

L'area del segmento parabolico tra la parabola e una corda che unisce due punti A e B è: Area = (2/3) · base · altezza. Questo risultato, scoperto da Archimede, è uno dei più eleganti della geometria antica.

I fasci di parabole si comportano diversamente a seconda che le parabole generatrici siano secanti, tangenti o esterne. Nel caso di parabole secanti, tutte le parabole del fascio passano per i due punti di intersezione.

Attenzione: Se l'asse della parabola è parallelo all'asse x, l'equazione diventa x = ay² + by + c - le formule cambiano di conseguenza!

Ellisse

L'ellisse è il luogo dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi (fuochi F₁ e F₂) è costante. È come tendere una corda tra due chiodi e tracciare la curva mantenendo la corda tesa!

L'equazione standard è $x-xc$²/a² + $y-yc$²/b² = 1, dove a e b sono i semiassi. Se a > b, l'ellisse è "sdraiata" orizzontalmente; se b > a, è "in piedi" verticalmente.

I fuochi si trovano sempre sull'asse maggiore, a distanza c dal centro, dove c² = |a² - b²|. L'eccentricità e = c/a misura quanto l'ellisse è "schiacciata": e = 0 per il cerchio, e si avvicina a 1 per ellissi molto allungate.

L'area dell'ellisse è semplicemente A = πab - è la generalizzazione dell'area del cerchio! I vertici sono i punti dove l'ellisse interseca i suoi assi di simmetria.

L'equazione alternativa Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 rappresenta un'ellisse quando A e B hanno lo stesso segno (entrambi positivi o entrambi negativi). Questo è il modo più veloce per riconoscere un'ellisse da un'equazione generica.

Visualizza: L'ellisse è la proiezione di un cerchio visto di scorcio - ecco perché appare in tanti fenomeni naturali!

Iperbole

L'iperbole è il luogo dei punti per cui il valore assoluto della differenza delle distanze da due fuochi è costante. A differenza dell'ellisse, qui "sottraiamo" le distanze invece di sommarle!

L'equazione standard è $x-xc$²/a² - $y-yc$²/b² = 1 (con asse trasversale orizzontale) o viceversa per asse verticale. L'iperbole ha due rami separati e due asintoti con coefficienti angolari m = ±b/a.

L'eccentricità e = c/a è sempre maggiore di 1 (mentre per l'ellisse era minore di 1). Più e è grande, più l'iperbole è "aperta". I fuochi sono esterni ai vertici, a differenza dell'ellisse dove sono interni.

L'iperbole equilatera ha a = b e la sua equazione riferita agli asintoti diventa semplicemente xy = k. La funzione omografica y = $ax+b$/$cx+d$ è proprio un'iperbole equilatera traslata!

Per riconoscere un'iperbole dall'equazione generale Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, controlla che A e B abbiano segni opposti (uno positivo, uno negativo). Questo è l'opposto dell'ellisse.

Curiosità: Gli asintoti dell'iperbole sono come delle "guide invisibili" che la curva segue all'infinito senza mai toccarle!

Coniche ed Esponenziali

Le coniche sono tutte le curve che ottieni tagliando un cono con un piano: circonferenza, ellisse, parabola e iperbole. L'equazione generale è Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0.

Per riconoscere il tipo di conica, calcola il discriminante B² - 4AC: se è positivo hai un'iperbole, se è negativo un'ellisse, se è zero una parabola. È il metodo più veloce per non sbagliare mai!

La funzione esponenziale y = aˣ è fondamentale in natura: crescita delle popolazioni, decadimento radioattivo, interessi composti. Se a > 1 cresce rapidamente, se 0 < a < 1 decresce verso zero.

Le proprietà dell'esponenziale sono intuitive: passa sempre per (0,1), è sempre positiva, e l'asse x è asintoto orizzontale. La funzione è strettamente crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1.

Le equazioni esponenziali aˣ = n hanno sempre una sola soluzione se n > 0 (e nessuna se n ≤ 0). Per le disequazioni, ricorda che se a > 1 mantieni il verso, se 0 < a < 1 lo cambi.

Trucco: La funzione esponenziale "non tocca mai" l'asse x - si avvicina sempre di più ma resta sempre positiva!

Logaritmi e Goniometria

Il logaritmo è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza: log_a(b) = n significa aⁿ = b. È come chiedersi "a quale potenza devo elevare a per ottenere b?"

Le proprietà fondamentali sono: log_a(1) = 0, log_a(a) = 1, e le regole per prodotti, quozienti e potenze. La funzione logaritmica y = log_a(x) è l'inversa dell'esponenziale e ha dominio solo sui numeri positivi.

La goniometria studia gli angoli e le loro funzioni. Le tre funzioni base sono seno, coseno e tangente: in un triangolo rettangolo, sen = opposto/ipotenusa, cos = adiacente/ipotenusa, tan = opposto/adiacente.

Il teorema fondamentale sen²θ + cos²θ = 1 è la relazione più importante - derivata dal teorema di Pitagora! La tangente è il rapporto sen/cos, quando il coseno non è zero.

Le funzioni goniometriche sono periodiche: seno e coseno si ripetono ogni 2π, la tangente ogni π. Gli angoli notevoli (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) hanno valori che devi memorizzare perché ricorrono ovunque.

I grafici di seno e coseno sono ondulazioni tra -1 e +1, mentre la tangente ha asintoti verticali e attraversa tutto l'asse y.

Memoria: Per gli angoli notevoli, ricorda la sequenza √0, √1, √2, √3, √4 diviso 2 per i seni di 0°, 30°, 45°, 60°, 90°!

Identità Goniometriche

Gli angoli associati ti permettono di ricavare il valore delle funzioni goniometriche per qualsiasi angolo partendo dal primo quadrante. È come avere una "mappa" per navigare in tutta la circonferenza goniometrica!

Per angoli del tipo π-θ, π+θ, 2π-θ, puoi usare delle regole semplici: il seno cambia segno solo per angoli nel terzo e quarto quadrante, il coseno cambia per secondo e terzo quadrante, la tangente segue la regola del segno del prodotto.

I grafici delle funzioni inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente) sono limitati a intervalli specifici per essere funzioni. L'arcoseno ha dominio $-1,1$ e immagine $-π/2, π/2$.

Le funzioni reciproche (cosecante, secante, cotangente) sono semplicemente 1/seno, 1/coseno, 1/tangente. I loro grafici hanno asintoti verticali dove le funzioni originali si annullano.

La funzione sinusoidale y = A·sen$ωx + φ$ + B è la generalizzazione del seno: A è l'ampiezza, ω determina il periodo, φ è lo sfasamento e B è lo spostamento verticale.

Ricorda: Le funzioni inverse esistono solo perché limitiamo il dominio delle funzioni originali agli intervalli dove sono iniettive!

Formule Goniometriche

Le formule di addizione ti permettono di calcolare seno, coseno e tangente di α ± β conoscendo i valori per α e β separatamente. Sono la base per tutte le altre formule!

Le formule di duplicazione sono casi speciali delle precedenti con α = β: sen(2θ) = 2·senθ·cosθ, cos(2θ) = cos²θ - sen²θ, tan(2θ) = 2tanθ/$1 - tan²θ$. Molto utili per semplificare le espressioni.

Le formule di bisezione fanno l'opposto: partendo da un angolo, trovano le funzioni goniometriche della sua metà. Coinvolgono radici quadrate, quindi attenzione ai segni!

Le formule parametriche esprimono seno e coseno in funzione di t = tan(θ/2). Sono fondamentali per risolvere alcune equazioni goniometriche complesse, trasformandole in equazioni algebriche.

Le formule di prostaferesi trasformano somme in prodotti e viceversa: senα ± senβ diventa sempre un prodotto di un seno per un coseno. Sono l'inverso delle formule di addizione e sottrazione.

L'angolo tra due rette con coefficienti angolari m₁ e m₂ si calcola con θ = arctan|m₁-m₂|/|1+m₁m₂|. Le equazioni parametriche di circonferenza ed ellisse usano seno e coseno come "coordinate naturali".

Strategia: Memorizza bene addizione e duplicazione - tutte le altre formule si possono ricavare da queste due!