Materie

Matematica

Relazioni e funzioni

Studi di funzione e problemi

Risoluzione di problemi che richiedono di determinare massimo o minimo di grandezze rappresentabili mediante funzioni derivabili di variabile reale

Problemi di Scelta, Ricerca Operativa, Esercizi Svolti e Problema delle Scorte PDF

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Problemi di Scelta, Ricerca Operativa, Esercizi Svolti e Problema delle Scorte PDF

Agnese Mariotti🌞

@agnesemariotti

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La ricerca operativa è l'applicazione del metodo scientifico a problemi organizzativi complessi. Nata in ambito militare durante la Seconda Guerra Mondiale, si è poi diffusa in campo industriale per ottimizzare processi decisionali e gestionali.

• Utilizza approcci interdisciplinari per trovare soluzioni ottimali
• Trova applicazione in gestione aziendale, produzione, logistica, finanza
• Si basa su modelli matematici per massimizzare o minimizzare funzioni obiettivo
• Affronta problemi in condizioni di certezza o incertezza, con effetti immediati o differiti

7/10/2022

2639

Fasi della Ricerca Operativa

Il processo di risoluzione di un problema di ricerca operativa si articola tipicamente in quattro fasi principali:

Individuazione del problema e raccolta dati

In questa fase si definisce chiaramente il problema da risolvere e si raccolgono tutte le informazioni rilevanti. È fondamentale identificare:

Variabili controllabili (variabili d'azione): elementi quantificabili e modificabili
Variabili non controllabili: fattori non prevedibili o influenzabili solo in termini probabilistici

Esempio: In un problema di produzione, le quantità da produrre sono variabili controllabili, mentre i guasti ai macchinari sono variabili non controllabili.

Costruzione del modello matematico

Si sviluppa un modello matematico che sintetizza le caratteristiche essenziali del problema, composto da:

Funzione obiettivo: esprime lo scopo da ottimizzare (es. massimizzare profitto, minimizzare costi)
Vincoli: limitazioni espresse mediante equazioni o disequazioni

Definizione: La funzione obiettivo è la funzione matematica da ottimizzare (massimizzare o minimizzare) che rappresenta lo scopo del problema, come costi, ricavi o utili.

Analisi del modello e ricerca della soluzione ottimale

Si applica un metodo risolutivo appropriato per individuare la soluzione che ottimizza la funzione obiettivo nel rispetto dei vincoli. Le tecniche utilizzate possono includere:

Metodi della matematica classica
Tecniche di programmazione matematica
Algoritmi di ottimizzazione

Verifica e implementazione della soluzione

Si valuta la bontà e l'applicabilità pratica della soluzione trovata. Se necessario, si procede a:

Affinamento del modello
Analisi di sensitività
Test su scala ridotta

Highlight: La verifica della soluzione è una fase cruciale per garantire che il modello rifletta adeguatamente la realtà e che la soluzione sia effettivamente implementabile.

RIELABORAZIONE DOMANDE 4 MODULO
→ RICERCA OPERATIVA > è considerata l'applicazione del metodo scientifico, da parte di gruppi
interdisciplin

Introduzione alla Ricerca Operativa

La ricerca operativa (R.O.) è un approccio scientifico interdisciplinare per risolvere problemi complessi di gestione e controllo di sistemi organizzativi. Nata in ambito militare durante la Seconda Guerra Mondiale, si è poi diffusa ampiamente in campo industriale e aziendale.

Definizione: La ricerca operativa è l'applicazione del metodo scientifico, da parte di gruppi interdisciplinari, a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzativi per fornire le soluzioni che meglio coincidano agli scopi dell'organizzazione.

La R.O. si caratterizza per:

Visione ampia e sistemica dei problemi
Collaborazione tra esperti di diverse discipline
Utilizzo di modelli matematici e tecniche quantitative

Highlight: La cooperazione tra specialisti di diversi settori è fondamentale nella ricerca operativa per esaminare il problema da molteplici prospettive e trovare soluzioni ottimali.

Principali ambiti di applicazione della ricerca operativa in campo industriale:

Gestione aziendale (es. controllo scorte, modelli di domanda)
Produzione (es. ottimizzazione mix produttivo, pianificazione manutenzione)
Logistica e trasporti
Gestione di nuovi impianti
Problemi economico-finanziari

Esempio: In ambito produttivo, la ricerca operativa può essere utilizzata per determinare il mix di prodotti da fabbricare che massimizza il profitto, tenendo conto di vincoli di capacità e risorse.

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Classificazione dei Problemi di Scelta

I problemi di scelta affrontati dalla ricerca operativa possono essere classificati secondo diversi criteri:

Numero di variabili decisionali:
- Problemi in una sola variabile
- Problemi in due o più variabili
Natura delle variabili:
- Problemi nel discreto: le variabili assumono valori interi (numeri naturali)
- Problemi nel continuo: le variabili possono assumere qualsiasi valore reale

Esempio: La produzione di automobili è un problema discreto, mentre la produzione di liquidi è un problema continuo.

Condizioni di certezza:
- Problemi in condizioni di certezza: le conseguenze delle azioni sono determinabili a priori
- Problemi in condizioni di incertezza: si introduce il concetto di probabilità
Orizzonte temporale degli effetti:
- Problemi con effetti immediati: le conseguenze si manifestano a breve termine
- Problemi con effetti differiti: gli effetti si distribuiscono su periodi lunghi, richiedendo l'introduzione del fattore tempo

Highlight: La distinzione tra problemi in condizioni di certezza e incertezza è fondamentale per la scelta dell'approccio risolutivo più appropriato.

Risoluzione di un problema di massimo con funzione obiettivo lineare nel caso continuo:

Identificazione dei dati: costi fissi (CF), costi variabili unitari (CVu), prezzo di vendita unitario (PVu), massima capacità produttiva
Definizione del modello matematico: U = RT - CT (Utile = Ricavi Totali - Costi Totali)
Formulazione della funzione obiettivo: y = PVu * x - (CF + CVu * x), dove y rappresenta l'utile e x le quantità prodotte
Analisi della funzione: si tratta di una retta crescente con pendenza positiva
Impostazione del sistema con vincoli: y = R(x) - C(x) 0 ≤ x ≤ max capacità produttiva
Determinazione del punto di massimo utile: corrisponde alla massima capacità produttiva
Calcolo del Break Even Point (BEP): si pone y = 0 e si risolve l'equazione

Definizione: Il Break Even Point (BEP) rappresenta la quantità minima da produrre per non essere in perdita, ovvero il punto in cui i ricavi totali eguagliano i costi totali.

Rappresentazione grafica: il BEP corrisponde al punto di intersezione della retta con l'asse delle ascisse

Highlight: L'analisi grafica fornisce una visualizzazione immediata del comportamento della funzione obiettivo e dei punti critici come il BEP e il massimo utile.

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Individuazione del problema e raccolta dati

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Variabili controllabili (variabili d'azione): elementi quantificabili e modificabili
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Costruzione del modello matematico

Si sviluppa un modello matematico che sintetizza le caratteristiche essenziali del problema, composto da:

Funzione obiettivo: esprime lo scopo da ottimizzare (es. massimizzare profitto, minimizzare costi)
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Definizione: La funzione obiettivo è la funzione matematica da ottimizzare (massimizzare o minimizzare) che rappresenta lo scopo del problema, come costi, ricavi o utili.

Analisi del modello e ricerca della soluzione ottimale

Si applica un metodo risolutivo appropriato per individuare la soluzione che ottimizza la funzione obiettivo nel rispetto dei vincoli. Le tecniche utilizzate possono includere:

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Visione ampia e sistemica dei problemi
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Numero di variabili decisionali:
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Esempio: La produzione di automobili è un problema discreto, mentre la produzione di liquidi è un problema continuo.

Condizioni di certezza:
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- Problemi con effetti immediati: le conseguenze si manifestano a breve termine
- Problemi con effetti differiti: gli effetti si distribuiscono su periodi lunghi, richiedendo l'introduzione del fattore tempo

Highlight: La distinzione tra problemi in condizioni di certezza e incertezza è fondamentale per la scelta dell'approccio risolutivo più appropriato.

Risoluzione di un problema di massimo con funzione obiettivo lineare nel caso continuo:

Identificazione dei dati: costi fissi (CF), costi variabili unitari (CVu), prezzo di vendita unitario (PVu), massima capacità produttiva
Definizione del modello matematico: U = RT - CT (Utile = Ricavi Totali - Costi Totali)
Formulazione della funzione obiettivo: y = PVu * x - (CF + CVu * x), dove y rappresenta l'utile e x le quantità prodotte
Analisi della funzione: si tratta di una retta crescente con pendenza positiva
Impostazione del sistema con vincoli: y = R(x) - C(x) 0 ≤ x ≤ max capacità produttiva
Determinazione del punto di massimo utile: corrisponde alla massima capacità produttiva
Calcolo del Break Even Point (BEP): si pone y = 0 e si risolve l'equazione

Definizione: Il Break Even Point (BEP) rappresenta la quantità minima da produrre per non essere in perdita, ovvero il punto in cui i ricavi totali eguagliano i costi totali.

Rappresentazione grafica: il BEP corrisponde al punto di intersezione della retta con l'asse delle ascisse

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