ricerca operativa e programmazione lineare

Didascalia alternativa:

e/o tecnici. I vincoli di segno garantiscono la non-negatività delle variabili e sono sempre presenti ed obbligatori; quelli tecnici invece sono presenti nel problema e vengono espressi da esso e possono riguardare la disponibilità massima/ minima da tenere in considerazione. 4. Cos'è una funzione lineare a due variabili? Una funzione reale di due variabili reali è una relazione che associa a ogni coppia di variabili (x,y) uno e un solo valore di z. Il dominio di una funzione a due variabili è l'insieme delle coppie di coordinate di numeri reali che hanno per corrispondenza uno ed un solo valore di Z (codominio). Con funzione si intende una relazione/legge che associa ad ogni valore del dominio uno ed un solo valore del codominio. Una funzione si presenza come y=f(x) ]*y in funzione di x* nella sua forma esplicita, nella forma implicita invece si presenta come f(x,y)=0. Gli insieme di valori attribuiti ad x sono chiamati DOMINIO, e questi mi rendono calcolabile la y ossia il CODOMINIO (1 e 1 solo valore assunto da y). Per individuare l'insieme di numeri che si possono attribuire alla x, bisogna calcolare il Dominio, e per poterlo fare, dobbiamo individuare di che funzione si tratta. Le funzioni possono essere: →FUNZIONI ALGEBRICHE -razionali: nelle quali la x non compare sotto la radice e queste possono essere: ★ intere: la x appare solo al numeratore →→D=V xER (qualsiasi valore di x appartenente a R) ★ fratte: la x appare al denominatore →D #0 -irrazionali: la x appare sotto al segno di radice (al radicando) e possono essere intere:la x non si trova al denominatore. Abbiamo 2 casi: ➤ indice pari= il denominatore esiste solo se il radicando è positivo quindi devo risolvere la condizione RADICANDO>= 0 ➤ indice dispari= esiste sempre →D=V x ER ★ fratte: la x è al denominatore →→ RADICANDO>=0 (se pari) e D#0 5.Come si risolve una disequazione lineare a due variabili? Per risolvere una disequazione lineare a due variabili devo rispettare un procedimento. 1°associo alla disequazione, la sua funzione ponendola uguale a zero 2°trovo la forma implicita della funzione, che rappresenterà poi la mia retta 3°rappresentare la retta sul grafico. La retta ottenuta, sezionerà il piano cartesiano in 2 semipiani, uno superiore e uno inferiore alla retta. Uno dei due semipiani rappresenta la soluzione, per individuare quale bisogna usare il "metodo di prova", il quale consiste nel sostituire alla disequazione alle incognite x e y un punto che appartiene a uno dei due semipiani, se la soluzione risulta vera es 0<5, significa che il semipiano corretto è quello contenente il punto. "Il semipiano a cui appartiene il punto, soddisfa la disequazione data". 6.Cosa sono le linee di livello? La linea di livello è la proiezione ortogonale sul piano xy dell'insieme dei punti della superficie immagine y aventi lo stesso valore z=k. Tutte le funzioni in 2 variabili hanno una rappresentazione tridimensionale e per poterla rappresentare su un piano, sono necessarie le linee di livello. II processo di rappresentazione consiste nel disegnare dei piani paralleli al piano base e proiettarli con delle proiezioni ortogonali dei punti sul piano base. La linea di livello nasce facendo un sistema tra la superficie Z=f(x;y) e il piano parallelo al piano base Z=k. K è un valore che attribuiamo noi e ne dovremo dare almeno tre, a seconda di quanti valori attribuisco a K otterrò più linee di livello. Anziché attribuire valori a caso, attribuisco valore dei vertici Za, Zb... Le linee di livello, in base alla funzione data, possono essere rette, parabole, ellissi, circonferenze. Nelle funzioni a 2 variabili, le linee di livello sono fasci di rette parallele. LA RICERCA OPERATIVA 8.Che cosa si intende per ricerca operativa? La ricerca operativa è l'applicazione di un metodo scientifico (matematico) alla gestione dell'azienda al fine di riuscire a sfruttare al meglio le risorse disponibili e supportare le decisioni a livello direzionale. La ricerca operativa permette di elaborare e fornire soluzioni con metodi scientifici, garantendo razionalità e trasparenza. Tutto ciò avviene in diverse fasi, principalmente 5, e queste sono: 1. ESAME DELLA SITUAZIONE REALE E RACCOLTA DELLE INFORMAZIONI: i dati raccolti poi saranno sottoposti ad un'attenta analisi 2. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA: in questa fase dobbiamo individuare le variabili controllabili e quelle non controllabili, poi dobbiamo formulare la funzione da massimizzare o minimizzare. Gli obiettivi possono essere vari, es: minimizzare i costi, massimizzare il profitto, migliorare il ciclo di produzione per generare grandi quantità di scorte 3. 4. COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO: Si necessita la trasformazione del problema in modello matematico, un modello semplice e che rappresenti completamente il problema, inoltre deve fornire tutte le informazioni per poter prendere una decisione razionale. Questo modello può essere : lineare, quadratico o anche esponenziale; è costituito da un sistema contenente la funzione obiettivo e relativi vincoli. RICERCA DELLA SOLUZIONE 5. ANALISI E VERIFICA DELLE PRODUZIONI SOSTENUTE Prima di applicare le soluzioni ricavate, bisogna verificare se realmente queste soluzioni offrono i vantaggi richiesti; così non fosse si effettua una modifica/correzione del modello matematico mantenendo sempre l'aderenza del modello al problema. 9.I problemi di scelta I problemi di scelta vengono classificati in base a diverse caratteristiche: →in base alle variabili di azione in base al numero di variabili: ➤ 1 sola 20+ (programmazione lineare) in base al campo di scelta (le variabili sono soggette a vincoli tecnici e di segno) ➤ discreto numeri naturali (senza virgola, es se produco tavoli) ➤ continuo numeri reali (tutti i numeri es produco olio) →in base alle condizioni in cui opera la scelta ❖ condizioni di certezza: se le conseguenze e i dati sono determinabili a priori (una cosa certa es la quantità da produrre per rendere minimo il costo unitario di produzione) condizioni di incertezza: dipendono dalla probabilità che avvenga un determinato evento con competizione: la scelta dipende da decisioni di altri) →in base al momento della scelta e l'effetto della scelta effettuata con effetti immediati: se tra il momento della decisione e il verificarsi della realizzazione, intercorre un breve tempo con effetti differiti: intercorre un intervallo di tempo tra la decisione e il verificarsi delle conseguenze ▲ noi studiamo "problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati in caso continuo" A 10. Risolvere un problema di scelta MODELLO LINEARE Un modello lineare è costituito da una funzione obiettivo di 1°grado, ossia una RETTA e da dei vincoli (di segno e tecnici), può esistere anche un terzo vincolo, ma questo dipende da se ci troviamo in un caso continuo o discreto. Se fossimo nel caso discreto il terzo vincolo sarebbe x = N (x appartiene a numeri naturali e positivi). Nel modello lineare posso fare 2 grafici: rappresento la funzione: (retta)del profitto, in questo grafico sarà evidente l'area di utile, l'area di perdita, la quantità minima per non essere in perdita e in cui il profitto è zero (è la x del BEP/ intersezione con asse delle x), e la quantità per ottenere il massimo profitto. il diagramma di redditività: è costituito da due rette, quella dei costi (fissi e variabili) e quella dei ricavi. Il punto d'incontro tra queste due rette è il BREAK EVEN POINT (punto di equilibrio), ossia il punto in cui il profitto vale zero perché in quel punto i ricavi e i costi sono uguali a zero. Sempre il BEP rappresenta la quantità minima per non essere in perdita (x) A NOTA BENE: la retta dei costi non passa dall'origine perché ci sono dei costi fissi A 12. La retta del profitto Il profitto è dato da RICAVI- COSTI, quindi la funzione del profitto è y=R(x)-C(x) RETTA RICAVI R(x)=prezzo unitario* quantità RETTA COSTI C(x)=costi fissi+costi variabili 13.La retta La retta è composta da infiniti punti, quindi non ha ne un inizio ne una fine, è rappresentata da una funzione lineare y=mx+q. "m" è il coefficiente angolare che rappresenta la pendenza della retta: • m=0: retta parallela all'asse ascisse x m>0 retta crescente m<0 retta decrescente mentre "q" è l'ordinata all'origine e rappresenta l'intersezione della retta con l'asse delle y (asse ordinate): • q=0: retta passante per l'origine ▲ Inoltre si tratta di una bisettrice se la retta passante per l'origine divide il primo e terzo o il secondo e quarto quadrante in due parti simmetriche, la sua funzione è y=x; y=-x A 14.MODELLO QUADRATICO Il modello quadratico è un modello matematico in cui la funzione obiettivo è un'equazione di secondo grado y-ax^2+bx+c, accompagnata da vincolo di segno e vincolo tecnico x<=k FACOLTATIVO. Il vincolo tecnico può essere sia presente che assente perchè la parabola, al contrario della retta, non è infinita e ha un massimo relativo. N:B la retta ha massimo assoluto. STEP DI RISOLUZIONE: →1°Risolvo l'equazione di secondo grado facendo -b±/ b^2*4ac/2a, trovando x1 e x2. In quanto la y è uguale a zero in questi punti, significa che il mio profitto è = a zero e quindi si tratta di BEP. Solo uno dei due è valido perchè quello che va oltre al vincolo tecnico non viene considerato, perché non potrò mai andare oltre il vincolo. →2°intersezione con asse y dando 0 alla x nella tabellina (è negativa perché rappresenta i costi fissi) →3° MOLTO IMPORTANTE CALCOLO IL VERTICE (-b/2a;-delta/4a) La x del vertice rappresenta quantità da produrre per ottenere il massimo profitto; il vertice inoltre rappresenta il MAX ▲ a deve essere <0 cosicché la parabola abbia la concavità verso il basso 15. Area di utile e area di perdita L'area di utile è l'area in cui il profitto è maggiore di zero e ci troviamo nel primo quadrante del grafico, arriva fino al vincolo. L'area di perdita è l'area in cui il profitto è minore di zero. FUNZIONE DEL COSTO UNITARIO 16. La funzione del costo unitario La funzione del costo unitario è data dalla funzione dei costi (variabili + fissi)/x Una volta trovata la funzione ho due possibilità per procedere: 1°metodo delle derivate: Trovo la derivata prima della funzione con questa formula f'(x)g(x) = f(x)g'(x) g² (x) Una volta trovata la derivata prima, calcolo i punti stazionari, ossia dove la derivata è uguale a zero). Per poter trovare pongo la derivata uguale a zero. Poi procedo con la ricerca del massimo/minimo, calcolando il segno della derivata (ponendola >0). Il numero che otterò lo andrò a sostituire alla funzione iniziale così da ottenere le coordinate del min. Così si ottiene per quale quantità il costo unitario è minimo 2°metodo iperbole In questo caso la funzione obiettivo è y-ax+b/x+c, che nel grafico verrà poi rappresentata come un'iperbole non equilattera detta anche funzione somma in quanto è data dalla somma di una iperbole equilatera e asintoto. In questo caso gli asintoti sono ben 2. 17. Cos'è una derivata? La derivata è il coefficiente angolare della tangente (retta che tocca solo un punto) al grafico della funzione nel punto P(in un punto). La derivata nasce quando il limite di h tende a zero 18.Cos'è un asintoto? L'asintoto è una retta a cui il grafico si avvicina indefinitamente senza mai toccarla.