Funzioni Lineari a Due Variabili e Disequazioni

Una funzione reale a due variabili associa a ogni coppia $x,y$ un unico valore z. Il dominio di queste funzioni è l'insieme delle coppie di coordinate reali che hanno una corrispondenza univoca con un valore di z nel codominio.

Vocabolario: Il dominio è l'insieme dei valori di input per cui la funzione è definita, mentre il codominio è l'insieme dei possibili valori di output.

Le funzioni possono essere algebriche razionali $intere o fratte$ o irrazionali. La forma esplicita di una funzione è y=f$x$, mentre la forma implicita è f$x,y$=0.

Per risolvere una disequazione lineare a due variabili, si segue un processo specifico:

1. Si associa alla disequazione la sua funzione, ponendola uguale a zero.
2. Si trova la forma implicita della funzione, che rappresenterà una retta.
3. Si rappresenta la retta sul grafico.

Esempio: Per risolvere 2x + 3y > 6, si trasforma in 2x + 3y - 6 = 0, si disegna la retta corrispondente e si determina quale semipiano soddisfa la disequazione.

Linee di Livello e Rappresentazione di Funzioni Tridimensionali

Le linee di livello sono uno strumento fondamentale per rappresentare funzioni tridimensionali su un piano bidimensionale. Esse sono la proiezione ortogonale sul piano xy dei punti della superficie immagine y che hanno lo stesso valore z=k.

Definizione: Una linea di livello è il luogo dei punti del piano xy per i quali la funzione z = f$x,y$ assume un valore costante k.

Il processo di rappresentazione consiste nel disegnare piani paralleli al piano base e proiettarli ortogonalmente sul piano base stesso. Questo metodo permette di visualizzare l'andamento di una funzione tridimensionale attraverso una serie di curve sul piano.

Highlight: Le linee di livello sono particolarmente utili in cartografia, meteorologia e in molti problemi di ottimizzazione.

Per creare un grafico di linee di livello, si assegnano almeno tre valori diversi a k e si tracciano le curve corrispondenti. Questo permette di ottenere una rappresentazione visiva dell'andamento della funzione, evidenziando aree di crescita, decrescita e punti di massimo o minimo.

La programmazione lineare e la ricerca operativa utilizzano frequentemente le linee di livello per visualizzare la funzione obiettivo e i vincoli, facilitando così la comprensione e la risoluzione di problemi complessi di ottimizzazione.

Pagina 3: Semipiani e Linee di Livello

La terza pagina spiega come determinare le soluzioni attraverso i semipiani e introduce il concetto di linee di livello.

Highlight: Il metodo di prova è fondamentale per identificare il semipiano corretto della soluzione.

Definizione: La linea di livello è la proiezione ortogonale sul piano xy dei punti con lo stesso valore z=k.

Esempio: Per verificare quale semipiano contiene la soluzione, si sostituisce un punto nella disequazione.

Pagina 4: Costruzione del Modello Matematico

Questa pagina descrive il processo di costruzione del modello matematico e la ricerca della soluzione.

Highlight: Il modello deve essere semplice ma completo, fornendo tutte le informazioni necessarie per una decisione razionale.

Vocabulary: Il modello può essere lineare, quadratico o esponenziale.

Quote: "Prima di applicare le soluzioni ricavate, bisogna verificare se realmente queste soluzioni offrono i vantaggi richiesti."

Pagina 5: Modello Lineare

La quinta pagina si concentra sulla spiegazione del modello lineare e dei suoi componenti.

Definizione: Un modello lineare è costituito da una funzione obiettivo di primo grado e vincoli specifici.

Esempio: Nel grafico si evidenziano l'area di utile, l'area di perdita, il punto di pareggio $BEP$ e il punto di massimo profitto.

Highlight: Nel caso discreto, si aggiunge il vincolo x ∈ N.

Pagina 6: Modello Quadratico

Questa pagina introduce il modello quadratico e le sue caratteristiche distintive.

Definizione: Il modello quadratico presenta una funzione obiettivo di secondo grado y=ax²+bx+c.

Highlight: A differenza della retta, la parabola ha un massimo relativo e non è infinita.

Vocabulary: BEP $Break Even Point$ rappresenta i punti dove il profitto è zero.

La Programmazione Lineare: Concetti Fondamentali

La programmazione lineare è una componente essenziale della ricerca operativa, con applicazioni che spaziano dalla programmazione della produzione ai problemi di trasporto e scelta di fonti energetiche. Il suo scopo principale è l'ottimizzazione dei risultati, mirando alla massimizzazione degli utili e alla minimizzazione dei costi nei problemi di ricerca operativa.

Definizione: La programmazione lineare è un metodo matematico per determinare il modo migliore per allocare risorse limitate per raggiungere un obiettivo specifico.

Per risolvere un problema di ricerca operativa, è necessario tradurlo in un modello matematico. Questo modello include una "funzione obiettivo" nella forma Z=f$x,y$, solitamente una funzione lineare di primo grado a due variabili.

Highlight: Il modello matematico è cruciale nella ricerca operativa perché permette di eseguire simulazioni impossibili da realizzare nella realtà.

Il modello matematico comprende anche vincoli tecnici e di segno. I vincoli di segno garantiscono la non-negatività delle variabili, mentre quelli tecnici derivano dalle specifiche del problema e possono riguardare limiti massimi o minimi da rispettare.

Esempio: In un problema di produzione, un vincolo tecnico potrebbe essere la capacità massima di una macchina, mentre un vincolo di segno assicurerebbe che la quantità prodotta non sia negativa.