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Le funzioni di 2 variabili: massimi e minimi vincolati. Il metodo della sostituzione

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LE FUNZIONI DI 2 VARIABILI: MASSIMI E MINIMI VINCOLATI
Si hanno massimi e minimi vincolati quando le variabili di una funzione non
possono a

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LE FUNZIONI DI 2 VARIABILI: MASSIMI E MINIMI VINCOLATI Si hanno massimi e minimi vincolati quando le variabili di una funzione non possono assumere qualsiasi valore del suo dominio, poiché hanno un legame tra loro espresso da un'equazione. Per la ricerca di massimi e minimi vincolati possiamo utilizzare diversi metodi: ➜Il metodo della sostituzione; ➜Il metodo delle linee di livello; → Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Metodo della sostituzione 1 Abbiamo una funzione di 2 variabili z = x² + y² + 4x + 6y - 4 soggetta al vincolo 4x + y − 6 = 0. 1) Partendo dall'equazione del vincolo, lasciamo la y al primo membro e portiamo il resto al secondo membro: y = 4x + 6 2) Andiamo a sostituire -4x + 6 alla y della nostra funzione: z = x² + (-4x + 6)² + 4x + 6(-4x+6) - 4 z = x² + 16x² - 48x +36 + 4x 24x + 36 - 4 Z₁ = 17x² - 68x+68 3) Abbiamo ottenuto l'equazione di una parabola z = ax² + bx + c. Poiché a = 17 > 0, la nostra parabola ha concavità verso l'alto. b 4) Calcoliamo le coordinate del vertice V ( (-1/2-4/) 2a a = 17 b = -68 A b² - 4ac = (-68)² V -68 2(17) 0 4(17) Metodo della sostituzione 2 Abbiamo una funzione di 2 variabili 5) Essendo la...

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

Didascalia alternativa:

concavità della parabola rivolta verso l'alto, la funzione ha un punto di minimo vincolato nel vertice e non ha massimi vincolati. y = −4(2) + 6 = -2 7) Il punto di minimo vincolato sarà V(-2; 2; 0) z = 8x + 2y soggetta al vincolo y = 4x³ + 6. A 4(17) (68) = 0 6) Conoscendo le coordinate del punto di minimo vincolato, ovvero x = -2 e z = 0, per calcolare l'ordinata y, andiamo a sostituire la x nel vincolo: 4a → V(-2; 0) z = 8x + 2(4x³ + 6) Z₁ = 8x + 8x³ + 12 1) Andiamo a sostituire 4x³ + 6 alla y della nostra funzione: 2) Determiniamo massimi e minimi vincolati mediante la derivata prima posta uguale a zero: 3) Ricaviamo X₁/2 = ± z' = 8+24x² 24x2 + 8 = 0 → campo dei numeri complessi. 4) La nostra funzione non ha né massimi né minimi vincolati. N.B.: NON SEMPRE POSSIAMO RICORRERE AL METODO DELLA SOSTITUZIONE PER LA RICERCA DI MASSIMI E MINIMI VINCOLATI: È SCONSIGLIATO QUANDO ESPLICITARE UNA VARIABILE DAL VINCOLO E SOSTITUIRLA NELLA FUNZIONE COMPORTA CALCOLI LABORIOSI; NON È POSSIBILE QUANDO LA FUNZIONE CHE OTTENIAMO DOPO LA SOSTITUZIONE CORRISPONDE A UN PIANO. ESEMPIO: DATA UNA FUNZIONE z = x² + y² +6 SOGGETTA AL VINCOLO x² + y² = 2x + 7y + 3 CON LA SOSTITUZIONE OTTENIAMO z₁ = 2x + 7y+3+6 = LA NUOVA FUNZIONA OTTENUTA Z₁ 2x + 7y + 9 CORRISPONDE APPUNTO A UN PIANO E NON è DOTATA DI MASSIMI E MINIMI. IN QUESTO CASO, SI RICORRE AD ALTRI METODI.