Le funzioni di 2 variabili: massimi e minimi vincolati. Il metodo della sostituzione

Didascalia alternativa:

concavità della parabola rivolta verso l'alto, la funzione ha un punto di minimo vincolato nel vertice e non ha massimi vincolati. y = −4(2) + 6 = -2 7) Il punto di minimo vincolato sarà V(-2; 2; 0) z = 8x + 2y soggetta al vincolo y = 4x³ + 6. A 4(17) (68) = 0 6) Conoscendo le coordinate del punto di minimo vincolato, ovvero x = -2 e z = 0, per calcolare l'ordinata y, andiamo a sostituire la x nel vincolo: 4a → V(-2; 0) z = 8x + 2(4x³ + 6) Z₁ = 8x + 8x³ + 12 1) Andiamo a sostituire 4x³ + 6 alla y della nostra funzione: 2) Determiniamo massimi e minimi vincolati mediante la derivata prima posta uguale a zero: 3) Ricaviamo X₁/2 = ± z' = 8+24x² 24x2 + 8 = 0 → campo dei numeri complessi. 4) La nostra funzione non ha né massimi né minimi vincolati. N.B.: NON SEMPRE POSSIAMO RICORRERE AL METODO DELLA SOSTITUZIONE PER LA RICERCA DI MASSIMI E MINIMI VINCOLATI: È SCONSIGLIATO QUANDO ESPLICITARE UNA VARIABILE DAL VINCOLO E SOSTITUIRLA NELLA FUNZIONE COMPORTA CALCOLI LABORIOSI; NON È POSSIBILE QUANDO LA FUNZIONE CHE OTTENIAMO DOPO LA SOSTITUZIONE CORRISPONDE A UN PIANO. ESEMPIO: DATA UNA FUNZIONE z = x² + y² +6 SOGGETTA AL VINCOLO x² + y² = 2x + 7y + 3 CON LA SOSTITUZIONE OTTENIAMO z₁ = 2x + 7y+3+6 = LA NUOVA FUNZIONA OTTENUTA Z₁ 2x + 7y + 9 CORRISPONDE APPUNTO A UN PIANO E NON è DOTATA DI MASSIMI E MINIMI. IN QUESTO CASO, SI RICORRE AD ALTRI METODI.