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Le funzioni di 2 variabili: massimi e minimi vincolati. Il metodo della sostituzione
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Esercizio guida per la ricerca di massimi e minimi vincolati mediante il metodo della sostituzione
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Appunto
LE FUNZIONI DI 2 VARIABILI: MASSIMI E MINIMI VINCOLATI Si hanno massimi e minimi vincolati quando le variabili di una funzione non possono assumere qualsiasi valore del suo dominio, poiché hanno un legame tra loro espresso da un'equazione. Per la ricerca di massimi e minimi vincolati possiamo utilizzare diversi metodi: → Il metodo della sostituzione; ➜Il metodo delle linee di livello; → Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Metodo della sostituzione 1 Abbiamo una funzione di 2 variabili z = x² + y² + 4x + 6y − 4 soggetta al vincolo 4x + y − 6 = 0. 1) Partendo dall'equazione del vincolo, lasciamo la y al primo membro e portiamo il resto al secondo membro: y = −4x + 6 2) Andiamo a sostituire −4x + 6 alla y della nostra funzione: z = x² + (-4x + 6)² + 4x + 6(-4x+6)-4 z = x² + 16x² − 48x + 36 + 4x − 24x + 36 - 4 Z₁ = 17x² - 68x + 68 3) Abbiamo ottenuto l'equazione di una parabola z = ax² + bx + c. Poiché a = 17 > 0, la nostra parabola ha concavità verso l'alto. 4) Calcoliamo le coordinate del vertice V A = b² - 4ac = -68 V v (-2(17); a = 17 b = -68 (−68)² – 4(17)(68) = 0 b 2a' 0 4(17) ) →...
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Didascalia alternativa:
V(-2; 0) 5) Essendo la concavità della parabola rivolta verso l'alto, la funzione ha un punto di minimo vincolato nel vertice e non ha massimi vincolati. 6) Conoscendo le coordinate del punto di minimo vincolato, ovvero x = −2 e z = 0, per calcolare l'ordinata y, andiamo a sostituire la x nel vincolo: y = -4(2) + 6 = 2 7) Il punto di minimo vincolato sarà V(−2; 2; 0) || Metodo della sostituzione 2 Abbiamo una funzione di 2 variabili soggetta al vincolo y = 4x³ + 6. A 40 z = 8x + 2y z = 8x + 2(4x³ + 6) Z₁ = 8x + 8x³ + 12 1) Andiamo a sostituire 4x³ + 6 alla y della nostra funzione: 2) Determiniamo massimi e minimi vincolati mediante la derivata prima posta uguale a zero: 3) Ricaviamo X1/2 = + z' = 8+24x² 24x2 +8 = 0 → campo dei numeri complessi. 4) La nostra funzione non ha né massimi né minimi vincolati. N.B.: NON SEMPRE POSSIAMO RICORRERE AL METODO DELLA SOSTITUZIONE PER LA RICERCA DI MASSIMI E MINIMI VINCOLATI: È SCONSIGLIATO QUANDO ESPLICITARE UNA VARIABILE DAL VINCOLO E SOSTITUIRLA NELLA FUNZIONE COMPORTA CALCOLI LABORIOSI; + NON È POSSIBILE QUANDO LA FUNZIONE CHE OTTENIAMO DOPO LA SOSTITUZIONE CORRISPONDE A UN PIANO. ESEMPIO: DATA UNA FUNZIONE z = x² + y² + 6 SOGGETTA AL VINCOLO x² + y² = 2x + 7y +3 CON LA SOSTITUZIONE OTTENIAMO z₁ = 2x + 7y+3+6 LA NUOVA FUNZIONA OTTENUTA z₁ = 2x + 7y + 9 CORRISPONDE APPUNTO A UN PIANO E NON È DOTATA DI MASSIMI E MINIMI. IN QUESTO CASO, SI RICORRE AD ALTRI METODI.
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V(-2; 0) 5) Essendo la concavità della parabola rivolta verso l'alto, la funzione ha un punto di minimo vincolato nel vertice e non ha massimi vincolati. 6) Conoscendo le coordinate del punto di minimo vincolato, ovvero x = −2 e z = 0, per calcolare l'ordinata y, andiamo a sostituire la x nel vincolo: y = -4(2) + 6 = 2 7) Il punto di minimo vincolato sarà V(−2; 2; 0) || Metodo della sostituzione 2 Abbiamo una funzione di 2 variabili soggetta al vincolo y = 4x³ + 6. A 40 z = 8x + 2y z = 8x + 2(4x³ + 6) Z₁ = 8x + 8x³ + 12 1) Andiamo a sostituire 4x³ + 6 alla y della nostra funzione: 2) Determiniamo massimi e minimi vincolati mediante la derivata prima posta uguale a zero: 3) Ricaviamo X1/2 = + z' = 8+24x² 24x2 +8 = 0 → campo dei numeri complessi. 4) La nostra funzione non ha né massimi né minimi vincolati. N.B.: NON SEMPRE POSSIAMO RICORRERE AL METODO DELLA SOSTITUZIONE PER LA RICERCA DI MASSIMI E MINIMI VINCOLATI: È SCONSIGLIATO QUANDO ESPLICITARE UNA VARIABILE DAL VINCOLO E SOSTITUIRLA NELLA FUNZIONE COMPORTA CALCOLI LABORIOSI; + NON È POSSIBILE QUANDO LA FUNZIONE CHE OTTENIAMO DOPO LA SOSTITUZIONE CORRISPONDE A UN PIANO. ESEMPIO: DATA UNA FUNZIONE z = x² + y² + 6 SOGGETTA AL VINCOLO x² + y² = 2x + 7y +3 CON LA SOSTITUZIONE OTTENIAMO z₁ = 2x + 7y+3+6 LA NUOVA FUNZIONA OTTENUTA z₁ = 2x + 7y + 9 CORRISPONDE APPUNTO A UN PIANO E NON È DOTATA DI MASSIMI E MINIMI. IN QUESTO CASO, SI RICORRE AD ALTRI METODI.