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Emilio
30/11/2025
Matematica
Punti di discontinuità e Punti di non derivabilità
2207
•
30 nov 2025
•
Emilio
@emilio_rnlf
Quando una funzione ha dei "problemi" in certi punti, parliamo... Mostra di più
Una funzione continua è come una linea che puoi disegnare senza mai staccare la penna dal foglio. Matematicamente, questo succede quando - cioè il limite coincide con il valore della funzione.
Perché una funzione sia continua in un punto servono tre condizioni: il punto deve appartenere al dominio, deve esistere il limite, e questo limite deve essere uguale al valore della funzione in quel punto.
La discontinuità di prima specie si verifica quando i limiti sinistro e destro esistono ma sono diversi. È come se la funzione facesse un "salto" - immagina di camminare e trovarti davanti a un gradino che devi saltare per continuare.
Ricorda: La discontinuità di prima specie crea sempre un "salto" nel grafico della funzione!
La discontinuità di seconda specie è più "drammatica" - succede quando almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste proprio. È come trovarsi davanti a un burrone: la funzione "esplode" verso l'infinito.
La discontinuità di terza specie è più subdola: il limite esiste ma la funzione in quel punto vale qualcosa di diverso, oppure non è proprio definita. È come avere un "buco" nel grafico che potresti facilmente "riparare" spostando un singolo punto.
Questa distinzione è importante perché solo le discontinuità di terza specie sono "rimovibili" - puoi sempre ridefinire la funzione in quel punto per renderla continua.
Trucco: Se vedi nei limiti, è seconda specie; se i limiti sono diversi ma finiti, è prima specie!
Una funzione può essere derivabile solo se è continua, ma attenzione: continuità non garantisce derivabilità! La derivabilità richiede che i limiti della derivata prima da destra e da sinistra siano uguali.
Il punto angoloso è il caso più comune di non derivabilità. Succede quando la funzione è continua ma ha un "spigolo" - come la punta di una V. I limiti delle derivate laterali esistono ma sono diversi.
L'esempio classico è in : da sinistra la pendenza è -1, da destra è +1. La funzione fa una "svolta brusca" e non puoi tracciare una tangente unica.
Visualizza: Se il grafico ha uno "spigolo", non puoi appoggiarci una riga tangente - ecco perché non è derivabile!
Il flesso a tangente verticale si verifica quando entrambi i limiti delle derivate laterali vanno a o entrambi a $-\infty$. La tangente esiste ma è verticale - come la funzione in .
La cuspide è ancora più particolare: i limiti delle derivate laterali vanno a infiniti opposti $+\infty$ e $-\infty$. È come la punta di una lancia che si alza da una parte e scende dall'altra.
Un esempio di cuspide è in : da sinistra la derivata va a , da destra va a . Il grafico forma una "punta" molto particolare.
Differenza chiave: Nel flesso la tangente è verticale, nella cuspide non esiste proprio una tangente unica!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
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Emilio
@emilio_rnlf
Quando una funzione ha dei "problemi" in certi punti, parliamo di discontinuità e non derivabilità. Questi concetti sono fondamentali per capire il comportamento delle funzioni e sono spesso protagonisti nelle verifiche di matematica!
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Una funzione continua è come una linea che puoi disegnare senza mai staccare la penna dal foglio. Matematicamente, questo succede quando - cioè il limite coincide con il valore della funzione.
Perché una funzione sia continua in un punto servono tre condizioni: il punto deve appartenere al dominio, deve esistere il limite, e questo limite deve essere uguale al valore della funzione in quel punto.
La discontinuità di prima specie si verifica quando i limiti sinistro e destro esistono ma sono diversi. È come se la funzione facesse un "salto" - immagina di camminare e trovarti davanti a un gradino che devi saltare per continuare.
Ricorda: La discontinuità di prima specie crea sempre un "salto" nel grafico della funzione!
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La discontinuità di seconda specie è più "drammatica" - succede quando almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste proprio. È come trovarsi davanti a un burrone: la funzione "esplode" verso l'infinito.
La discontinuità di terza specie è più subdola: il limite esiste ma la funzione in quel punto vale qualcosa di diverso, oppure non è proprio definita. È come avere un "buco" nel grafico che potresti facilmente "riparare" spostando un singolo punto.
Questa distinzione è importante perché solo le discontinuità di terza specie sono "rimovibili" - puoi sempre ridefinire la funzione in quel punto per renderla continua.
Trucco: Se vedi nei limiti, è seconda specie; se i limiti sono diversi ma finiti, è prima specie!
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Una funzione può essere derivabile solo se è continua, ma attenzione: continuità non garantisce derivabilità! La derivabilità richiede che i limiti della derivata prima da destra e da sinistra siano uguali.
Il punto angoloso è il caso più comune di non derivabilità. Succede quando la funzione è continua ma ha un "spigolo" - come la punta di una V. I limiti delle derivate laterali esistono ma sono diversi.
L'esempio classico è in : da sinistra la pendenza è -1, da destra è +1. La funzione fa una "svolta brusca" e non puoi tracciare una tangente unica.
Visualizza: Se il grafico ha uno "spigolo", non puoi appoggiarci una riga tangente - ecco perché non è derivabile!
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Il flesso a tangente verticale si verifica quando entrambi i limiti delle derivate laterali vanno a o entrambi a $-\infty$. La tangente esiste ma è verticale - come la funzione in .
La cuspide è ancora più particolare: i limiti delle derivate laterali vanno a infiniti opposti $+\infty$ e $-\infty$. È come la punta di una lancia che si alza da una parte e scende dall'altra.
Un esempio di cuspide è in : da sinistra la derivata va a , da destra va a . Il grafico forma una "punta" molto particolare.
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Strumenti Intelligenti NUOVO
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Alcuni esercizi silili a quelli che potrebbero capitare nella sezione di logica del tolc di Ingegneria (tolc-i). Quarto/quinto anno liceo / itis.
MatematicaCi si adentra nel mondo della logica con tutti i suoi elementi elencati e spiegati. Buono studio😉
MatematicaDerivata: evoluzione storica (Newton e Libeniz), il concetto di derivata, derivate elementari, operazioni con le derivate, derivabilità, punti di non derivabilità, introduzione al differenziale
MatematicaCalcolo differenziale, incremento differenziale, derivate, algebra delle derivate, teoremi sulle derivate, applicazione geometrica delle derivate e inoltre studi di funzioni con applicazione di derivata prima e seconda - Matematica, Analisi
MatematicaAnalisi 1
MatematicaAppunti di matematica: le funzioni, gli intervalli, i limiti, gli asintoti, le derivate, i teoremi (tutto il programma di matematica del quinto anno della scuola di scienze umane). Li ho utilizzati per prepararmi all’esame di maturità. Efficacissimi.
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Stefano S
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