Equazioni Fratte

Le equazioni fratte sono quelle con incognite al denominatore, e la cosa più importante è trovare le condizioni di esistenza (CE). Prima di tutto devi sempre controllare quando il denominatore diventa zero!

Nell'esempio $\frac{3x+1}{x+4} = \frac{1}{2}$, la CE è $x \neq -4$ perché se $x = -4$, il denominatore diventa zero. Poi risolvi moltiplicando in croce: $(3x+1) \cdot 2 = 1 \cdot (x+4)$.

Una volta trovata la soluzione, controlla sempre che rispetti le CE. Se $x = -4$, l'equazione non avrebbe senso!

Trucco: Scrivi sempre le CE prima di iniziare a risolvere - ti salverà da errori stupidi!

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Quando hai frazioni più complicate, come $\frac{5}{x+2} = \frac{1-x}{x^2-4}$, ricorda che $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Questo significa che le CE sono $x \neq 2$ e $x \neq -2$.

Il trucco è trovare il denominatore comune e poi uguagliare solo i numeratori. Nel nostro caso: $5(x-2) = 1-x$.

Risolvi normalmente: $5x - 10 = 1 - x$, quindi $6x = 11$ e $x = \frac{11}{6}$. Siccome $\frac{11}{6}$ è diverso da 2 e da -2, la soluzione è accettabile!

Formule Inverse

Le formule inverse sono super utili in fisica e matematica! L'idea è semplice: se hai $Q = mct$ e vuoi trovare $c$, dividi entrambi i lati per $mt$.

Alcuni esempi classici che devi conoscere:

• Da $d = \frac{m}{V}$ ottieni $m = d \cdot V$
• Da $y = mx + q$ ottieni $x = \frac{y-q}{m}$

Il trucco è sempre lo stesso: isola la variabile che ti serve usando le operazioni inverse. Moltiplicazione diventa divisione, addizione diventa sottrazione.

Consiglio: Fai sempre la prova sostituendo il risultato nella formula originale!

Disequazioni Lineari

Le disequazioni funzionano come le equazioni, ma con una regola fondamentale: quando moltiplichi o dividi per un numero negativo, il verso cambia!

Nell'esempio $6x - 2 > 3 - 2x$, raccogli tutti i termini con $x$ da una parte: $6x + 2x > 3 + 2$, quindi $8x > 5$ e $x > \frac{5}{8}$.

Attenzione al cambio di verso! In $-4x < 9$, quando dividi per $-4$, ottieni $x > -\frac{9}{4}$ (il segno è cambiato da $<$ a $>$).

Disequazioni Fratte

Le disequazioni fratte sono più complicate perché devi studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente. Non puoi moltiplicare per il denominatore perché non sai se è positivo o negativo!

Per $\frac{3x-4}{x-1} < 0$, devi trovare quando il numeratore è positivo $x > \frac{4}{3}$ e quando il denominatore è positivo ($x > 1$). Poi usi la tabella dei segni.

La frazione è negativa quando numeratore e denominatore hanno segni opposti. Dal grafico vedi che questo succede per $1 < x < \frac{4}{3}$.

Ricorda: Il denominatore non può mai essere zero, quindi escludi sempre questi valori!

Disequazioni Fratte Complesse

Quando hai più fattori al denominatore, come in $\frac{6x-2}{4x(x-2)} > 0$, devi studiare il segno di ogni singolo fattore: numeratore, primo fattore del denominatore, secondo fattore.

Costruisci la tabella dei segni con tutti i punti critici in ordine: $0$, $\frac{1}{3}$, $2$. Ogni fattore cambia segno solo nei suoi zeri.

Il risultato finale è $0 < x < \frac{1}{3} \cup x > 2$ (unione di intervalli). La frazione è positiva quando hai un numero pari di fattori negativi.

Sistemi di Disequazioni

I sistemi di disequazioni richiedono che tutte le condizioni siano soddisfatte contemporaneamente. Risolvi ogni disequazione separatamente, poi trova l'intersezione delle soluzioni.

Nell'esempio con $(x+1)^2 - 5 < x^2 + 3$ e $4x + 5 > 2(x+1)$, ottieni $x < \frac{7}{2}$ e $x > -\frac{3}{2}$.

La soluzione finale è $-\frac{3}{2} < x < \frac{7}{2}$ perché devi rispettare entrambe le condizioni. Usa una retta numerica per visualizzare meglio l'intersezione!

Strategia: Disegna sempre gli intervalli su una retta per vedere chiaramente la soluzione comune!

Sistemi Misti

Quando hai sistemi con disequazioni fratte e lineari insieme, risolvi prima ogni singola disequazione, poi trova l'intersezione come sempre.

Nel caso mostrato, la prima disequazione fratta dà $-1 < x < 0$, mentre la seconda disequazione lineare dà $x < -10$.

Non c'è intersezione tra questi intervalli, quindi il sistema è impossibile. Questo capita spesso, non preoccuparti!

Sistemi Lineari - Metodo di Sostituzione

Il metodo di sostituzione è perfetto per risolvere sistemi di equazioni lineari. Isola una variabile in un'equazione e sostituiscila nell'altra.

Dall'esempio: prima trasforma il sistema nella forma standard, poi ricava $y = 2x + 4$ dalla seconda equazione. Sostituisci nella prima: $-3x + 2(2x + 4) = 7$.

Risolvi per trovare $x = -1$, poi calcola $y = 2(-1) + 4 = 2$. La soluzione è $(x, y) = (-1, 2)$.

Verifica sempre: Sostituisci la soluzione in entrambe le equazioni originali per controllare!

Sistemi Impossibili

Non tutti i sistemi lineari hanno soluzione! Quando ottieni un'assurdità come $8 = 10$, significa che il sistema è impossibile.

Questo succede quando le equazioni rappresentano rette parallele che non si incontrano mai. Nel tuo esempio, semplificando ottieni una contraddizione matematica.

Riconosci subito questi casi: se dopo aver eliminato le variabili rimane una frase falsa come $0 = 5$, il sistema non ha soluzioni. È normale, non hai sbagliato!