Distanza tra due punti e punto medio

La distanza tra due punti A(xa,ya) e B(xb,yb) si calcola con la formula:

d = √[(xb-xa)² + (yb-ya)²]

Questa formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dai due punti e dalle loro proiezioni sugli assi.

Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono:

xm = (xa+xb)/2 ym = (ya+yb)/2

Esempio: Dato il segmento con estremi A$-1/2,2$ e B$3/2,0$, il punto medio ha coordinate M$1/2,1$.

Highlight: Queste formule sono essenziali per risolvere esercizi sul punto medio di un segmento nel piano cartesiano.

Perimetro e area di un triangolo nel piano cartesiano

Per calcolare il perimetro di un triangolo nel piano cartesiano:

1. Calcolare la lunghezza di ciascun lato usando la formula della distanza tra due punti
2. Sommare le lunghezze dei tre lati

Per l'area, si può usare la formula: Area = (base * altezza) / 2

Esempio: Dato il triangolo con vertici A(1,5), B(4,5) e C(6,0): AB = 3 BC = √28 AC = 5√2 Perimetro = 3 + √28 + 5√2 Area = $3 * 5$ / 2 = 7.5

Highlight: Questi calcoli sono utili per risolvere esercizi su area e perimetro nel piano cartesiano.

Equazione della retta

L'equazione generale di una retta è: ax + by + c = 0

La forma esplicita è: y = mx + q

dove: m = coefficiente angolare (pendenza della retta) q = termine noto (intersezione con l'asse y)

Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.

Per trovare l'equazione della retta passante per due punti: m = $y2-y1$/$x2-x1$ y - y1 = m$x - x1$

Esempio: Data la retta passante per A(3,2) e B$-1,4$: m = $4-2$/$-1-3$ = -1/2 y - 2 = -1/2$x - 3$ y = -1/2x + 5/2

Highlight: Queste formule sono fondamentali per risolvere esercizi sull'equazione della retta passante per due punti.

Rette parallele e perpendicolari

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1: m1 * m2 = -1

Esempio: La retta perpendicolare a y = 2x + 1 passante per P$1,-3$ ha equazione: m2 = -1/2 y + 3 = -1/2$x - 1$ y = -1/2x - 5/2

Highlight: Questi concetti sono utili per risolvere esercizi su rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano.

Fasci di rette

Un fascio di rette è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto (fascio proprio) o sono parallele tra loro (fascio improprio).

Equazione del fascio proprio passante per P(xp,yp): y - yp = m$x - xp$

dove m è un parametro che varia.

Esempio: Fascio di rette passanti per A$1,-3$: y + 3 = m$x - 1$

Highlight: I fasci di rette sono utili per studiare le relazioni tra rette nel piano cartesiano.

Posizioni reciproche tra rette

Due rette nel piano possono essere:

1. Incidenti (si intersecano in un punto)
2. Parallele (non si intersecano mai)
3. Coincidenti (hanno infiniti punti in comune)

Per determinare la posizione reciproca, si risolve il sistema delle equazioni delle due rette:

• Sistema determinato: rette incidenti
• Sistema impossibile: rette parallele
• Sistema indeterminato: rette coincidenti

Highlight: Questi concetti sono fondamentali per analizzare le relazioni tra rette nel piano cartesiano.

La parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco).

L'equazione generale di una parabola con asse verticale è: y = ax² + bx + c

dove: a ≠ 0 determina la concavità (verso l'alto se a > 0, verso il basso se a < 0) b e c determinano la posizione del vertice

Esempio: y = 3x² + 2x + 1 Concavità verso l'alto (a > 0) Vertice: $-1/3, -1/6$

Highlight: Questi concetti sono essenziali per risolvere esercizi sulla parabola nel piano cartesiano.

Disegno della parabola

Per disegnare una parabola data la sua equazione:

1. Determinare la concavità dal segno di a
2. Calcolare le coordinate del vertice: V$-b/(2a), -Δ/(4a)$
3. Individuare l'ampiezza osservando il termine noto c
4. Tracciare l'asse di simmetria (verticale se la direttrice è orizzontale)
5. Disegnare la parabola simmetricamente rispetto all'asse

Esempio: y = -x² + 5x Concavità verso il basso (a < 0) Vertice: $5/2, 25/4$ Asse di simmetria: x = 5/2

Highlight: Questi passaggi sono utili per rappresentare graficamente le parabole nel piano cartesiano.

Il piano cartesiano e le coordinate

Il piano cartesiano è formato da due assi perpendicolari: l'asse x delle ascisse (orizzontale) e l'asse y delle ordinate (verticale). L'intersezione degli assi è chiamata origine e ha coordinate (0,0). Ogni punto del piano è identificato da una coppia di coordinate (x,y).

Definizione: Le coordinate di un punto P(x,y) indicano la sua posizione rispetto all'origine: x è la distanza dall'asse y, y è la distanza dall'asse x.

Esempio: Il punto P(1,2) si trova 1 unità a destra dell'asse y e 2 unità sopra l'asse x.

Il piano è diviso in quattro quadranti. Le rette parallele agli assi hanno equazioni semplificate:

• Retta parallela all'asse x: y = k (costante)
• Retta parallela all'asse y: x = h (costante)

Highlight: La formula del punto medio di un segmento è fondamentale e permette di trovare le coordinate del punto che divide il segmento esattamente a metà.