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Appunti_knowunity
20/09/2025
Matematica
Piano cartesiano, parabola e iperbole SPIEGAZIONE
12.062
•
20 set 2025
•
La geometria analitica studia le figure geometriche utilizzando il piano... Mostra di più
La distanza tra due punti A(xa,ya) e B(xb,yb) si calcola con la formula:
d = √
Questa formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dai due punti e dalle loro proiezioni sugli assi.
Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono:
xm = /2 ym = /2
Esempio: Dato il segmento con estremi A e B(3/2,0), il punto medio ha coordinate M(1/2,1).
Highlight: Queste formule sono essenziali per risolvere esercizi sul punto medio di un segmento nel piano cartesiano.
Per calcolare il perimetro di un triangolo nel piano cartesiano:
Per l'area, si può usare la formula: Area = (base * altezza) / 2
Esempio: Dato il triangolo con vertici A(1,5), B(4,5) e C(6,0): AB = 3 BC = √28 AC = 5√2 Perimetro = 3 + √28 + 5√2 Area = / 2 = 7.5
Highlight: Questi calcoli sono utili per risolvere esercizi su area e perimetro nel piano cartesiano.
L'equazione generale di una retta è: ax + by + c = 0
La forma esplicita è: y = mx + q
dove: m = coefficiente angolare (pendenza della retta) q = termine noto (intersezione con l'asse y)
Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.
Per trovare l'equazione della retta passante per due punti: m = / y - y1 = m
Esempio: Data la retta passante per A e B: m = / = -1/2 y - 2 = -1/2 y = -1/2x + 5/2
Highlight: Queste formule sono fondamentali per risolvere esercizi sull'equazione della retta passante per due punti.
Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.
Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1: m1 * m2 = -1
Esempio: La retta perpendicolare a y = 2x + 1 passante per P ha equazione: m2 = -1/2 y + 3 = -1/2 y = -1/2x - 5/2
Highlight: Questi concetti sono utili per risolvere esercizi su rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano.
Un fascio di rette è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto (fascio proprio) o sono parallele tra loro (fascio improprio).
Equazione del fascio proprio passante per P(xp,yp): y - yp = m
dove m è un parametro che varia.
Esempio: Fascio di rette passanti per A: y + 3 = m
Highlight: I fasci di rette sono utili per studiare le relazioni tra rette nel piano cartesiano.
Due rette nel piano possono essere:
Per determinare la posizione reciproca, si risolve il sistema delle equazioni delle due rette:
Highlight: Questi concetti sono fondamentali per analizzare le relazioni tra rette nel piano cartesiano.
La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco).
L'equazione generale di una parabola con asse verticale è: y = ax² + bx + c
dove: a ≠ 0 determina la concavità (verso l'alto se a > 0, verso il basso se a < 0) b e c determinano la posizione del vertice
Esempio: y = 3x² + 2x + 1 Concavità verso l'alto (a > 0) Vertice:
Highlight: Questi concetti sono essenziali per risolvere esercizi sulla parabola nel piano cartesiano.
Per disegnare una parabola data la sua equazione:
Esempio: y = -x² + 5x Concavità verso il basso (a < 0) Vertice: (5/2, 25/4) Asse di simmetria: x = 5/2
Highlight: Questi passaggi sono utili per rappresentare graficamente le parabole nel piano cartesiano.
Il piano cartesiano è formato da due assi perpendicolari: l'asse x delle ascisse (orizzontale) e l'asse y delle ordinate (verticale). L'intersezione degli assi è chiamata origine e ha coordinate (0,0). Ogni punto del piano è identificato da una coppia di coordinate (x,y).
Definizione: Le coordinate di un punto P(x,y) indicano la sua posizione rispetto all'origine: x è la distanza dall'asse y, y è la distanza dall'asse x.
Esempio: Il punto P(1,2) si trova 1 unità a destra dell'asse y e 2 unità sopra l'asse x.
Il piano è diviso in quattro quadranti. Le rette parallele agli assi hanno equazioni semplificate:
Highlight: La formula del punto medio di un segmento è fondamentale e permette di trovare le coordinate del punto che divide il segmento esattamente a metà.
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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La geometria analitica studia le figure geometriche utilizzando il piano cartesiano e le coordinate. Questo documento tratta concetti fondamentali come il calcolo delle coordinate del punto medio su piano cartesiano, la determinazione del perimetro e dell'area del triangolo cartesiano... Mostra di più
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Esempio: y = 3x² + 2x + 1 Concavità verso l'alto (a > 0) Vertice:
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