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Impara il Punto Medio e la Retta nel Piano Cartesiano: Esercizi e Formule Facili

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07/04/2023

Matematica

Piano cartesiano, parabola e iperbole SPIEGAZIONE

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Funzioni lineari, quadrate e periodiche

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Posizione di due rette

Impara il Punto Medio e la Retta nel Piano Cartesiano: Esercizi e Formule Facili

La geometria analitica studia le figure geometriche utilizzando il piano cartesiano e le coordinate. Questo documento tratta concetti fondamentali come il calcolo delle coordinate del punto medio su piano cartesiano, la determinazione del perimetro e dell'area del triangolo cartesiano, e l'equazione della retta passante per due punti.

Punti chiave:

  • Utilizzo del piano cartesiano per rappresentare punti e figure
  • Formule per calcolare distanze, punti medi e perimetri
  • Equazioni di rette e loro proprietà
  • Fasci di rette e loro applicazioni
  • Introduzione alle parabole e loro rappresentazione
...

07/04/2023

12045

<p>The Cartesian plane is a two-dimensional coordinate system where points are located using their x and y coordinates. It is named after t

Vedi

Distanza tra due punti e punto medio

La distanza tra due punti A(xa,ya) e B(xb,yb) si calcola con la formula:

d = √[(xb-xa)² + (yb-ya)²]

Questa formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dai due punti e dalle loro proiezioni sugli assi.

Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono:

xm = (xa+xb)/2 ym = (ya+yb)/2

Esempio: Dato il segmento con estremi A(-1/2,2) e B(3/2,0), il punto medio ha coordinate M(1/2,1).

Highlight: Queste formule sono essenziali per risolvere esercizi sul punto medio di un segmento nel piano cartesiano.

<p>The Cartesian plane is a two-dimensional coordinate system where points are located using their x and y coordinates. It is named after t

Vedi

Perimetro e area di un triangolo nel piano cartesiano

Per calcolare il perimetro di un triangolo nel piano cartesiano:

  1. Calcolare la lunghezza di ciascun lato usando la formula della distanza tra due punti
  2. Sommare le lunghezze dei tre lati

Per l'area, si può usare la formula: Area = (base * altezza) / 2

Esempio: Dato il triangolo con vertici A(1,5), B(4,5) e C(6,0): AB = 3 BC = √28 AC = 5√2 Perimetro = 3 + √28 + 5√2 Area = (3 * 5) / 2 = 7.5

Highlight: Questi calcoli sono utili per risolvere esercizi su area e perimetro nel piano cartesiano.

<p>The Cartesian plane is a two-dimensional coordinate system where points are located using their x and y coordinates. It is named after t

Vedi

Equazione della retta

L'equazione generale di una retta è: ax + by + c = 0

La forma esplicita è: y = mx + q

dove: m = coefficiente angolare (pendenza della retta) q = termine noto (intersezione con l'asse y)

Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.

Per trovare l'equazione della retta passante per due punti: m = (y2-y1)/(x2-x1) y - y1 = m(x - x1)

Esempio: Data la retta passante per A(3,2) e B(-1,4): m = (4-2)/(-1-3) = -1/2 y - 2 = -1/2(x - 3) y = -1/2x + 5/2

Highlight: Queste formule sono fondamentali per risolvere esercizi sull'equazione della retta passante per due punti.

<p>The Cartesian plane is a two-dimensional coordinate system where points are located using their x and y coordinates. It is named after t

Vedi

Rette parallele e perpendicolari

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1: m1 * m2 = -1

Esempio: La retta perpendicolare a y = 2x + 1 passante per P(1,-3) ha equazione: m2 = -1/2 y + 3 = -1/2(x - 1) y = -1/2x - 5/2

Highlight: Questi concetti sono utili per risolvere esercizi su rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano.

<p>The Cartesian plane is a two-dimensional coordinate system where points are located using their x and y coordinates. It is named after t

Vedi

Fasci di rette

Un fascio di rette è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto (fascio proprio) o sono parallele tra loro (fascio improprio).

Equazione del fascio proprio passante per P(xp,yp): y - yp = m(x - xp)

dove m è un parametro che varia.

Esempio: Fascio di rette passanti per A(1,-3): y + 3 = m(x - 1)

Highlight: I fasci di rette sono utili per studiare le relazioni tra rette nel piano cartesiano.

<p>The Cartesian plane is a two-dimensional coordinate system where points are located using their x and y coordinates. It is named after t

Vedi

Posizioni reciproche tra rette

Due rette nel piano possono essere:

  1. Incidenti (si intersecano in un punto)
  2. Parallele (non si intersecano mai)
  3. Coincidenti (hanno infiniti punti in comune)

Per determinare la posizione reciproca, si risolve il sistema delle equazioni delle due rette:

  • Sistema determinato: rette incidenti
  • Sistema impossibile: rette parallele
  • Sistema indeterminato: rette coincidenti

Highlight: Questi concetti sono fondamentali per analizzare le relazioni tra rette nel piano cartesiano.

<p>The Cartesian plane is a two-dimensional coordinate system where points are located using their x and y coordinates. It is named after t

Vedi

La parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco).

L'equazione generale di una parabola con asse verticale è: y = ax² + bx + c

dove: a ≠ 0 determina la concavità (verso l'alto se a > 0, verso il basso se a < 0) b e c determinano la posizione del vertice

Esempio: y = 3x² + 2x + 1 Concavità verso l'alto (a > 0) Vertice: (-1/3, -1/6)

Highlight: Questi concetti sono essenziali per risolvere esercizi sulla parabola nel piano cartesiano.

<p>The Cartesian plane is a two-dimensional coordinate system where points are located using their x and y coordinates. It is named after t

Vedi

Disegno della parabola

Per disegnare una parabola data la sua equazione:

  1. Determinare la concavità dal segno di a
  2. Calcolare le coordinate del vertice: V(-b/(2a), -Δ/(4a))
  3. Individuare l'ampiezza osservando il termine noto c
  4. Tracciare l'asse di simmetria (verticale se la direttrice è orizzontale)
  5. Disegnare la parabola simmetricamente rispetto all'asse

Esempio: y = -x² + 5x Concavità verso il basso (a < 0) Vertice: (5/2, 25/4) Asse di simmetria: x = 5/2

Highlight: Questi passaggi sono utili per rappresentare graficamente le parabole nel piano cartesiano.

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Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

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Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

Matematica

Sezioni Coniche e Componenti

parabola

 

Matematica

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7 apr 2023

•

9 pagine

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La geometria analitica studia le figure geometriche utilizzando il piano cartesiano e le coordinate. Questo documento tratta concetti fondamentali come il calcolo delle coordinate del punto medio su piano cartesiano, la determinazione del perimetro e dell'area del triangolo cartesiano... Mostra di più

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Distanza tra due punti e punto medio

La distanza tra due punti A(xa,ya) e B(xb,yb) si calcola con la formula:

d = √[(xb-xa)² + (yb-ya)²]

Questa formula deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dai due punti e dalle loro proiezioni sugli assi.

Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono:

xm = (xa+xb)/2 ym = (ya+yb)/2

Esempio: Dato il segmento con estremi A(-1/2,2) e B(3/2,0), il punto medio ha coordinate M(1/2,1).

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Perimetro e area di un triangolo nel piano cartesiano

Per calcolare il perimetro di un triangolo nel piano cartesiano:

  1. Calcolare la lunghezza di ciascun lato usando la formula della distanza tra due punti
  2. Sommare le lunghezze dei tre lati

Per l'area, si può usare la formula: Area = (base * altezza) / 2

Esempio: Dato il triangolo con vertici A(1,5), B(4,5) e C(6,0): AB = 3 BC = √28 AC = 5√2 Perimetro = 3 + √28 + 5√2 Area = (3 * 5) / 2 = 7.5

Highlight: Questi calcoli sono utili per risolvere esercizi su area e perimetro nel piano cartesiano.

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Equazione della retta

L'equazione generale di una retta è: ax + by + c = 0

La forma esplicita è: y = mx + q

dove: m = coefficiente angolare (pendenza della retta) q = termine noto (intersezione con l'asse y)

Definizione: Il coefficiente angolare m rappresenta la tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x positivo.

Per trovare l'equazione della retta passante per due punti: m = (y2-y1)/(x2-x1) y - y1 = m(x - x1)

Esempio: Data la retta passante per A(3,2) e B(-1,4): m = (4-2)/(-1-3) = -1/2 y - 2 = -1/2(x - 3) y = -1/2x + 5/2

Highlight: Queste formule sono fondamentali per risolvere esercizi sull'equazione della retta passante per due punti.

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Rette parallele e perpendicolari

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1: m1 * m2 = -1

Esempio: La retta perpendicolare a y = 2x + 1 passante per P(1,-3) ha equazione: m2 = -1/2 y + 3 = -1/2(x - 1) y = -1/2x - 5/2

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Fasci di rette

Un fascio di rette è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto (fascio proprio) o sono parallele tra loro (fascio improprio).

Equazione del fascio proprio passante per P(xp,yp): y - yp = m(x - xp)

dove m è un parametro che varia.

Esempio: Fascio di rette passanti per A(1,-3): y + 3 = m(x - 1)

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  1. Incidenti (si intersecano in un punto)
  2. Parallele (non si intersecano mai)
  3. Coincidenti (hanno infiniti punti in comune)

Per determinare la posizione reciproca, si risolve il sistema delle equazioni delle due rette:

  • Sistema determinato: rette incidenti
  • Sistema impossibile: rette parallele
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La parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco).

L'equazione generale di una parabola con asse verticale è: y = ax² + bx + c

dove: a ≠ 0 determina la concavità (verso l'alto se a > 0, verso il basso se a < 0) b e c determinano la posizione del vertice

Esempio: y = 3x² + 2x + 1 Concavità verso l'alto (a > 0) Vertice: (-1/3, -1/6)

Highlight: Questi concetti sono essenziali per risolvere esercizi sulla parabola nel piano cartesiano.

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Disegno della parabola

Per disegnare una parabola data la sua equazione:

  1. Determinare la concavità dal segno di a
  2. Calcolare le coordinate del vertice: V(-b/(2a), -Δ/(4a))
  3. Individuare l'ampiezza osservando il termine noto c
  4. Tracciare l'asse di simmetria (verticale se la direttrice è orizzontale)
  5. Disegnare la parabola simmetricamente rispetto all'asse

Esempio: y = -x² + 5x Concavità verso il basso (a < 0) Vertice: (5/2, 25/4) Asse di simmetria: x = 5/2

Highlight: Questi passaggi sono utili per rappresentare graficamente le parabole nel piano cartesiano.

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Il piano cartesiano e le coordinate

Il piano cartesiano è formato da due assi perpendicolari: l'asse x delle ascisse (orizzontale) e l'asse y delle ordinate (verticale). L'intersezione degli assi è chiamata origine e ha coordinate (0,0). Ogni punto del piano è identificato da una coppia di coordinate (x,y).

Definizione: Le coordinate di un punto P(x,y) indicano la sua posizione rispetto all'origine: x è la distanza dall'asse y, y è la distanza dall'asse x.

Esempio: Il punto P(1,2) si trova 1 unità a destra dell'asse y e 2 unità sopra l'asse x.

Il piano è diviso in quattro quadranti. Le rette parallele agli assi hanno equazioni semplificate:

  • Retta parallela all'asse x: y = k (costante)
  • Retta parallela all'asse y: x = h (costante)

Highlight: La formula del punto medio di un segmento è fondamentale e permette di trovare le coordinate del punto che divide il segmento esattamente a metà.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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Anastasia

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Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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