Guida Pratica alle Operazioni con Radicali

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Caterina

26/09/2022

Matematica

Operazioni con radicali

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Guida Pratica alle Operazioni con Radicali

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Benvenuti nel mondo dei radicali, espressioni matematiche che ci permettono di rappresentare radici di numeri. In questa lezione, esploreremo le operazioni fondamentali con i radicali: moltiplicazione, divisione, addizione e sottrazione. Impareremo anche tecniche speciali come la razionalizzazione del denominatore e come gestire i radicali doppi. Queste operazioni sono fondamentali nella matematica avanzata e rappresentano concetti essenziali per risolvere equazioni più complesse. Vedrete come manipolare queste espressioni in modo efficace utilizzando proprietà e regole che semplificheranno notevolmente il vostro lavoro.

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26/09/2022

1150

LE OPERAZIONI CON I
RADICALI
LA MOLTIPLICAZIONE E A DIVISIONE
La moltiplicazione (e divisione) tra radicali, si può effettuare solo se hanno

Vedi

LE OPERAZIONI CON I RADICALI: LA MOLTIPLICAZIONE E LA DIVISIONE

Le operazioni con i radicali seguono regole precise che ci permettono di semplificare espressioni complesse.

Moltiplicazioni tra radicali con lo stesso indice:

La formula base è: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
Si mantiene lo stesso indice
Si moltiplicano i radicandi

Moltiplicazioni tra radicali con indice diverso:

Prima bisogna ridurli allo stesso indice $minimo comune indice$
Poi si procede con la moltiplicazione normale

Come trasportare fattori fuori dal segno di radice:

Un fattore può uscire quando il suo esponente m è ≥ dell'indice n
Il fattore esterno avrà esponente = quoziente della divisione m÷n
Il fattore interno avrà esponente = resto della divisione

Come trasportare fattori dentro il segno di radice:

Un fattore non negativo a può entrare nella radice usando: $a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Concetto Chiave: Nelle moltiplicazioni tra radicali con stessa base, possiamo raccogliere sotto un unico segno di radice. Questo principio è fondamentale per semplificare espressioni complesse e rappresenta una delle regole più utilizzate nelle operazioni con i radicali.

Vedi

POTENZE, RADICI E ADDIZIONE DI RADICALI

La potenza di un radicale:

Formula: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
L'indice rimane invariato
Il radicando viene elevato alla potenza m
Esempio: $(\sqrt[3]{2})^4 = \sqrt[3]{2^4}$

La radice di un radicale:

Formula: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$
Il nuovo indice è il prodotto degli indici m×n
Il radicando rimane lo stesso

Somma e sottrazione di radicali:

Si possono sommare/sottrarre solo radicali simili $stesso indice e stesso radicando$
Formula: $b\sqrt[n]{a} + c\sqrt[n]{a} = (b+c)\sqrt[n]{a}$
I coefficienti si sommano, la parte radicale rimane invariata

Razionalizzazione del denominatore:

Primo tipo: denominatore con un solo radicale Con radicale quadratico: moltiplicare per lo stesso radicale Esempio: $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ Con radicali non quadratici: moltiplicare per $\sqrt[n]{a^{n-m}}$ Esempio: $\frac{3}{\sqrt[3]{5}} = \frac{3}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{3\sqrt[3]{25}}{5}$

Esempio Pratico: La razionalizzazione radicali consiste nel trasformare frazioni con radicali al denominatore in espressioni equivalenti senza radicali al denominatore. Questo processo semplifica i calcoli e rende le espressioni più facilmente manipolabili.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

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Potenze ad esponente razionale

Matematica

•

1150

•

26 set 2022

•

3 pagine

Guida Pratica alle Operazioni con Radicali

Caterina

@catee

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LE OPERAZIONI CON I RADICALI: LA MOLTIPLICAZIONE E LA DIVISIONE

Le operazioni con i radicali seguono regole precise che ci permettono di semplificare espressioni complesse.

Moltiplicazioni tra radicali con lo stesso indice:

La formula base è: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
Si mantiene lo stesso indice
Si moltiplicano i radicandi

Moltiplicazioni tra radicali con indice diverso:

Prima bisogna ridurli allo stesso indice $minimo comune indice$
Poi si procede con la moltiplicazione normale

Come trasportare fattori fuori dal segno di radice:

Un fattore può uscire quando il suo esponente m è ≥ dell'indice n
Il fattore esterno avrà esponente = quoziente della divisione m÷n
Il fattore interno avrà esponente = resto della divisione

Come trasportare fattori dentro il segno di radice:

Un fattore non negativo a può entrare nella radice usando: $a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Concetto Chiave: Nelle moltiplicazioni tra radicali con stessa base, possiamo raccogliere sotto un unico segno di radice. Questo principio è fondamentale per semplificare espressioni complesse e rappresenta una delle regole più utilizzate nelle operazioni con i radicali.

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POTENZE, RADICI E ADDIZIONE DI RADICALI

La potenza di un radicale:

Formula: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
L'indice rimane invariato
Il radicando viene elevato alla potenza m
Esempio: $(\sqrt[3]{2})^4 = \sqrt[3]{2^4}$

La radice di un radicale:

Formula: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$
Il nuovo indice è il prodotto degli indici m×n
Il radicando rimane lo stesso

Somma e sottrazione di radicali:

Si possono sommare/sottrarre solo radicali simili $stesso indice e stesso radicando$
Formula: $b\sqrt[n]{a} + c\sqrt[n]{a} = (b+c)\sqrt[n]{a}$
I coefficienti si sommano, la parte radicale rimane invariata

Razionalizzazione del denominatore:

Primo tipo: denominatore con un solo radicale Con radicale quadratico: moltiplicare per lo stesso radicale Esempio: $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ Con radicali non quadratici: moltiplicare per $\sqrt[n]{a^{n-m}}$ Esempio: $\frac{3}{\sqrt[3]{5}} = \frac{3}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{3\sqrt[3]{25}}{5}$

Esempio Pratico: La razionalizzazione radicali consiste nel trasformare frazioni con radicali al denominatore in espressioni equivalenti senza radicali al denominatore. Questo processo semplifica i calcoli e rende le espressioni più facilmente manipolabili.

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RAZIONALIZZAZIONE AVANZATA E RADICALI DOPPI

Razionalizzazione del secondo tipo:

Con somma/differenza di radicali quadratici: Si utilizza il prodotto notevole "differenza di due quadrati" Esempio: $\frac{7}{\sqrt{11}+\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{11}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{11}-\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}} = \frac{7(\sqrt{11}-\sqrt{5})}{11-5} = \frac{7(\sqrt{11}-\sqrt{5})}{6}$
Con somma/differenza di radicali cubici: Si sfrutta il prodotto notevole "somma o differenza di due cubi" Formula: $(a+b)^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Potenze con esponente razionale:

Formula base: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ $con $a \ge 0$$
Con esponente negativo: $a^{-\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(\frac{1}{a})^m}$
Questa notazione è un modo alternativo per scrivere i radicali

Radicali doppi:

Radicale doppio formula per $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ : $\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
Radicale doppio formula per $\sqrt{a-\sqrt{b}}$ : $\sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

Concetto Avanzato: I radicali doppi sono espressioni del tipo $\sqrt{a±\sqrt{b}}$ che contengono una radice dentro un'altra radice. La loro gestione richiede formule specifiche che permettono di trasformarli in espressioni più semplici. Un radicale quadratico doppio è particolarmente utile in problemi avanzati di algebra e nel calcolo di espressioni irrazionali.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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