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2 dic 2025

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Comprendere Proporzioni e Percentuali: Guida Pratica

L

L. DE GORI @lucadegori_mzhr

Le proporzioni sono un concetto matematico fondamentale che usiamo per confrontare rapporti tra numeri. Questo argomento è molto... Mostra di più

# LE PROPORZIONI Consideriamo i due rapporti 3:2 e 12:8. $3:2=1,5$ $12:8=1,5$ Hanno lo stesso valore, quindi possiamo scrivere: $3:2=12

Le Proporzioni

Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti. Si scrive in simboli come ab=cdab=cd, dove a, b, c e d sono i termini della proporzione. Questi termini hanno nomi specifici a e d si chiamano estremi, mentre b e c si chiamano medi.

Le proporzioni possono contenere numeri interi, decimali o frazioni. Per esempio, possiamo scrivere 32=12832=128 oppure 3423=1249\frac{3}{4}\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\frac{4}{9}. In entrambi i casi, i rapporti sono uguali.

La proprietà più importante delle proporzioni è che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. In simboli ab=cd→b⋅c=a⋅dab=cd \rightarrow b \cdot c = a \cdot d. Questa regola ci tornerà molto utile per risolvere problemi.

💡 Suggerimento Quando verifichiamo se un'uguaglianza è una proporzione, basta controllare se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi!

# LE PROPORZIONI Consideriamo i due rapporti 3:2 e 12:8. $3:2=1,5$ $12:8=1,5$ Hanno lo stesso valore, quindi possiamo scrivere: $3:2=12

Trovare i Termini Incogniti

Nelle proporzioni possiamo trovare facilmente un termine sconosciuto (che chiamiamo x) usando la proprietà fondamentale. Il procedimento cambia leggermente in base alla posizione dell'incognita.

Se x è un estremo, usiamo la formula x=prodotto dei mediestremo notox=\frac{\text{prodotto dei medi}}{\text{estremo noto}}. Per esempio, in x6=128x6=128, calcoliamo x=6⋅128=9x=\frac{6 \cdot 12}{8}=9.

Se x è un medio, usiamo la formula x=prodotto degli estremimedio notox=\frac{\text{prodotto degli estremi}}{\text{medio noto}}. Per esempio, in 14x=4614x=46, calcoliamo x=14⋅64=21x=\frac{14 \cdot 6}{4}=21.

Quando i medi sono uguali, la proporzione si dice continua e si scrive ab=bcab=bc. Il termine b si chiama medio proporzionale. Per trovare un medio proporzionale, calcoliamo la radice quadrata del prodotto degli estremi x=a⋅cx=\sqrt{a \cdot c}. Ad esempio, in 3x=x123x=x12, troviamo x=3⋅12=6x=\sqrt{3 \cdot 12}=6.

🔍 Attenzione In una proporzione continua, è sempre necessario usare la radice quadrata, perché il medio appare due volte (x²)!

# LE PROPORZIONI Consideriamo i due rapporti 3:2 e 12:8. $3:2=1,5$ $12:8=1,5$ Hanno lo stesso valore, quindi possiamo scrivere: $3:2=12

Grandezze Direttamente Proporzionali

Due grandezze sono direttamente proporzionali quando, al variare di una, anche l'altra varia allo stesso modo. Se la prima raddoppia, anche la seconda raddoppia; se la prima triplica, anche la seconda triplica.

Un esempio pratico è il rapporto tra il lato di un quadrato e il suo perimetro. Se il lato misura 2 cm, il perimetro sarà 8 cm; se il lato è 3 cm, il perimetro sarà 12 cm.

La caratteristica principale delle grandezze direttamente proporzionali è che il rapporto tra valori corrispondenti è costante. Nell'esempio del quadrato, questo rapporto è sempre 4 pl=4\frac{p}{l}=4. Questo valore costante si chiama costante di proporzionalità diretta.

Inoltre, il rapporto tra due valori della prima grandezza è uguale al rapporto tra i corrispondenti valori della seconda 23=812\frac{2}{3}=\frac{8}{12}.

🌟 Ricorda Per verificare se due grandezze sono direttamente proporzionali, puoi dividere i valori corrispondenti - se ottieni sempre lo stesso numero, hai una proporzione diretta!

# LE PROPORZIONI Consideriamo i due rapporti 3:2 e 12:8. $3:2=1,5$ $12:8=1,5$ Hanno lo stesso valore, quindi possiamo scrivere: $3:2=12

Grandezze Inversamente Proporzionali

Due grandezze sono inversamente proporzionali quando, al variare di una, l'altra varia in modo opposto. Se la prima raddoppia, la seconda diventa la metà; se la prima triplica, la seconda diventa un terzo.

Un esempio chiaro è quello dei rettangoli con area costante. Se l'area è 24 cm², quando la base misura 2 cm, l'altezza sarà 12 cm; se la base misura 4 cm, l'altezza sarà 6 cm.

La caratteristica principale delle grandezze inversamente proporzionali è che il prodotto tra valori corrispondenti è costante. Nel nostro esempio, b⋅h=24b \cdot h = 24 sempre. Questo valore costante si chiama costante di proporzionalità inversa.

Un altro modo per riconoscerle è che il rapporto tra due valori della prima grandezza è uguale al rapporto inverso dei valori corrispondenti della seconda 23=812=128=32\frac{2}{3}=\frac{8}{12}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.

🔄 Consiglio Puoi identificare rapidamente una proporzionalità inversa moltiplicando i valori corrispondenti - se ottieni sempre lo stesso risultato, hai trovato una proporzione inversa!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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Strumenti Intelligenti NUOVO

Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi

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Quiz
Flashcard
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Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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•

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•

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•

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L

L. DE GORI

@lucadegori_mzhr

Le proporzioni sono un concetto matematico fondamentale che usiamo per confrontare rapporti tra numeri. Questo argomento è molto importante perché ci aiuta a risolvere problemi di tutti i giorni, come calcolare prezzi, misure e stabilire relazioni tra diverse quantità.

# LE PROPORZIONI Consideriamo i due rapporti 3:2 e 12:8. $3:2=1,5$ $12:8=1,5$ Hanno lo stesso valore, quindi possiamo scrivere: $3:2=12

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Le Proporzioni

Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti. Si scrive in simboli come a:b=c:da:b=c:d, dove a, b, c e d sono i termini della proporzione. Questi termini hanno nomi specifici: a e d si chiamano estremi, mentre b e c si chiamano medi.

Le proporzioni possono contenere numeri interi, decimali o frazioni. Per esempio, possiamo scrivere 3:2=12:83:2=12:8 oppure 34:23=12:49\frac{3}{4}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}:\frac{4}{9}. In entrambi i casi, i rapporti sono uguali.

La proprietà più importante delle proporzioni è che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. In simboli: a:b=c:d→b⋅c=a⋅da:b=c:d \rightarrow b \cdot c = a \cdot d. Questa regola ci tornerà molto utile per risolvere problemi.

💡 Suggerimento: Quando verifichiamo se un'uguaglianza è una proporzione, basta controllare se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi!

# LE PROPORZIONI Consideriamo i due rapporti 3:2 e 12:8. $3:2=1,5$ $12:8=1,5$ Hanno lo stesso valore, quindi possiamo scrivere: $3:2=12

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Trovare i Termini Incogniti

Nelle proporzioni possiamo trovare facilmente un termine sconosciuto (che chiamiamo x) usando la proprietà fondamentale. Il procedimento cambia leggermente in base alla posizione dell'incognita.

Se x è un estremo, usiamo la formula: x=prodotto dei mediestremo notox=\frac{\text{prodotto dei medi}}{\text{estremo noto}}. Per esempio, in x:6=12:8x:6=12:8, calcoliamo x=6⋅128=9x=\frac{6 \cdot 12}{8}=9.

Se x è un medio, usiamo la formula: x=prodotto degli estremimedio notox=\frac{\text{prodotto degli estremi}}{\text{medio noto}}. Per esempio, in 14:x=4:614:x=4:6, calcoliamo x=14⋅64=21x=\frac{14 \cdot 6}{4}=21.

Quando i medi sono uguali, la proporzione si dice continua e si scrive a:b=b:ca:b=b:c. Il termine b si chiama medio proporzionale. Per trovare un medio proporzionale, calcoliamo la radice quadrata del prodotto degli estremi: x=a⋅cx=\sqrt{a \cdot c}. Ad esempio, in 3:x=x:123:x=x:12, troviamo x=3⋅12=6x=\sqrt{3 \cdot 12}=6.

🔍 Attenzione: In una proporzione continua, è sempre necessario usare la radice quadrata, perché il medio appare due volte (x²)!

# LE PROPORZIONI Consideriamo i due rapporti 3:2 e 12:8. $3:2=1,5$ $12:8=1,5$ Hanno lo stesso valore, quindi possiamo scrivere: $3:2=12

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Grandezze Direttamente Proporzionali

Due grandezze sono direttamente proporzionali quando, al variare di una, anche l'altra varia allo stesso modo. Se la prima raddoppia, anche la seconda raddoppia; se la prima triplica, anche la seconda triplica.

Un esempio pratico è il rapporto tra il lato di un quadrato e il suo perimetro. Se il lato misura 2 cm, il perimetro sarà 8 cm; se il lato è 3 cm, il perimetro sarà 12 cm.

La caratteristica principale delle grandezze direttamente proporzionali è che il rapporto tra valori corrispondenti è costante. Nell'esempio del quadrato, questo rapporto è sempre 4: pl=4\frac{p}{l}=4. Questo valore costante si chiama costante di proporzionalità diretta.

Inoltre, il rapporto tra due valori della prima grandezza è uguale al rapporto tra i corrispondenti valori della seconda: 23=812\frac{2}{3}=\frac{8}{12}.

🌟 Ricorda: Per verificare se due grandezze sono direttamente proporzionali, puoi dividere i valori corrispondenti - se ottieni sempre lo stesso numero, hai una proporzione diretta!

# LE PROPORZIONI Consideriamo i due rapporti 3:2 e 12:8. $3:2=1,5$ $12:8=1,5$ Hanno lo stesso valore, quindi possiamo scrivere: $3:2=12

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Grandezze Inversamente Proporzionali

Due grandezze sono inversamente proporzionali quando, al variare di una, l'altra varia in modo opposto. Se la prima raddoppia, la seconda diventa la metà; se la prima triplica, la seconda diventa un terzo.

Un esempio chiaro è quello dei rettangoli con area costante. Se l'area è 24 cm², quando la base misura 2 cm, l'altezza sarà 12 cm; se la base misura 4 cm, l'altezza sarà 6 cm.

La caratteristica principale delle grandezze inversamente proporzionali è che il prodotto tra valori corrispondenti è costante. Nel nostro esempio, b⋅h=24b \cdot h = 24 sempre. Questo valore costante si chiama costante di proporzionalità inversa.

Un altro modo per riconoscerle è che il rapporto tra due valori della prima grandezza è uguale al rapporto inverso dei valori corrispondenti della seconda: 23=812=128=32\frac{2}{3}=\frac{8}{12}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.

🔄 Consiglio: Puoi identificare rapidamente una proporzionalità inversa moltiplicando i valori corrispondenti - se ottieni sempre lo stesso risultato, hai trovato una proporzione inversa!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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Francesca

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

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