Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

Limiti all'Infinito

1,926

•

Aggiornato Mar 31, 2026

•

7 pagine

Calcolo dei Limiti - Guida di Matematica

Simo

@simo_festa

I limiti sono uno strumento fondamentale per capire cosa succede... Mostra di più

1 / 7

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Il Concetto di Limite

Quando hai una funzione come $f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$ , noterai subito che non può esistere quando x = 3 (perché avresti una divisione per zero). Ma cosa succede quando x si avvicina sempre di più a 3?

Il limite ti permette di scoprirlo! Se provi con valori come 2,9 o 3,1, vedrai che f(x) si avvicina sempre più a 6. Questo si scrive: $\lim_{x \to 3} f(x) = 6$ .

Il trucco per risolvere questa funzione è scomporre il numeratore: $x^2-9 = (x+3)(x-3)$ . Così puoi semplificare e ottenere $f(x) = x+3$ , che quando x tende a 3 fa proprio 6!

💡 Ricorda: Il limite ti dice dove sta andando la funzione, anche se non può arrivarci davvero.

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Gli Intorni di un Punto

Per capire bene i limiti, devi conoscere il concetto di intorno. Un intorno di un punto è semplicemente un intervallo aperto che contiene quel punto.

Per esempio, l'intorno di 3 può essere (1;5), (2;6) o anche (-3;4). La formula generale è $(x_0-δ; x_0+δ)$ dove δ è un numero positivo.

Esistono anche gli intorni destri e sinistri. L'intorno destro di 3 è un intervallo come (3;5), mentre quello sinistro è (-2;3). Questi sono utili quando la funzione si comporta diversamente da destra o da sinistra.

💡 Ricorda: Gli intorni ti aiutano a descrivere matematicamente cosa significa "avvicinarsi" a un punto.

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Definizione Rigorosa di Limite

La definizione formale di limite dice che $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ quando: per ogni ε > 0 esiste un intorno di $x_0$ tale che $|f(x) - L| < ε$ .

In parole semplici, significa che puoi rendere f(x) vicina quanto vuoi al limite L, basta scegliere x abbastanza vicino a $x_0$ . Il simbolo ε (epsilon) rappresenta questa "vicinanza".

Esistono anche i limiti destri e sinistri: $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ (da destra) e $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ (da sinistra). Il limite esiste solo se questi due coincidono.

💡 Ricorda: Non farti spaventare dalla definizione formale - è solo un modo preciso di dire "si avvicina sempre di più"!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Limiti all'Infinito e Asintoti

Quando x tende all'infinito, puoi scoprire se la funzione ha un asintoto orizzontale. Se $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ , allora y = L è un asintoto orizzontale.

Gli intorni dell'infinito sono intervalli come $(a; +\infty)$ per $+\infty$ e $(-\infty; b)$ per $-\infty$ . Questi limiti hanno senso solo se il dominio è illimitato.

Una funzione può intersecare il suo asintoto orizzontale! Per trovare i punti di intersezione, risolvi il sistema tra la funzione e la retta y = L.

💡 Ricorda: Gli asintoti orizzontali ti mostrano il "comportamento finale" di una funzione quando x diventa molto grande.

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Calcolo dei Limiti all'Infinito

Per calcolare limiti come $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+3x^2+5}{2x^3+4x+2}$ , usa questa strategia: raccogli la potenza più alta sia al numeratore che al denominatore.

Ci sono tre casi fondamentali:

Se il grado del numeratore è minore di quello del denominatore → limite = 0
Se i gradi sono uguali → limite = rapporto dei coefficienti principali
Se il grado del numeratore è maggiore → limite = ±∞

Nel nostro esempio: $\frac{x^3(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^3})}{x^3(2+\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x^3})} = \frac{1}{2}$ , quindi y = 1/2 è asintoto orizzontale.

💡 Ricorda: All'infinito contano solo le potenze più alte - il resto "scompare"!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Casi Particolari all'Infinito

Quando il grado del numeratore è maggiore del denominatore, il limite è sempre infinito. Per esempio: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4+4x+1}{x^3+2x^2-x^3}$ .

Raccogli le potenze più alte: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4(1+\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^4})}{x^3(\frac{1}{x^3}+2-1)} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{1} = +\infty$ .

Il segno del risultato dipende dai coefficienti principali e dalla direzione $se x tende a $+\infty$ o $-\infty$$ .

💡 Ricorda: Quando il numeratore "vince", la funzione scappa verso l'infinito!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Forme Indeterminate 0/0

Le forme indeterminate come $\frac{0}{0}$ richiedono tecniche speciali. Per esempio: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+3x-4}{x^2-1}$ dà $\frac{0}{0}$ .

La soluzione è scomporre numeratore e denominatore in fattori, poi semplificare. Per il numeratore $x^2+3x-4$ , cerca due numeri che moltiplicati danno -4 e sommati danno 3: sono 4 e -1.

Quindi: $x^2+3x-4 = (x-1)(x+4)$ e $x^2-1 = (x+1)(x-1)$ . Semplificando: $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+4)}{(x+1)(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+4}{x+1} = \frac{5}{2}$ .

💡 Ricorda: Le forme indeterminate non sono un muro - sono un invito a scomporre e semplificare!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Contenuti più popolari: Limiti all'Infinito

Limiti di Funzioni

Definizione di limite, limiti di funzione reali di variabile reale, limite destro e sinistro

Calcolo dei Limiti - Guida di Matematica

Il Concetto di Limite

Gli Intorni di un Punto

Definizione Rigorosa di Limite

Limiti all'Infinito e Asintoti

Calcolo dei Limiti all'Infinito

Casi Particolari all'Infinito

Forme Indeterminate 0/0

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti più popolari: Limiti all'Infinito

Limiti di Funzioni

Matematica mappe

Definizioni Matematica 5°liceo

Funzioni, Limiti, Derivate, Integrali

Teoria Matematica (Schemi esame di Maturità)

I LIMITI

Contenuti più popolari di Matematica

I RADICALI

Monomi

Derivate

Monomi e operazioni tra monomi

Operazioni e prodotti notevoli

Derivate

Funzioni

equazioni di secondo grado procedura e spiegazioni

I Radicali

Contenuti più popolari

Teoria patente b

PATENTE

Riassunto patente B

I promessi sposi

Teoria patente di guida B: Segnali stradali

promessi sposi (capitoli 1-18)

I promessi sposi

SEGNALETICA STRADALE

PATENTE B

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.6/5

4.7/5

Calcolo dei Limiti - Guida di Matematica

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Il Concetto di Limite

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Gli Intorni di un Punto

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Definizione Rigorosa di Limite

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Limiti all'Infinito e Asintoti

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Calcolo dei Limiti all'Infinito

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Casi Particolari all'Infinito

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Forme Indeterminate 0/0

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti più popolari: Limiti all'Infinito

Limiti di Funzioni

Matematica mappe

Definizioni Matematica 5°liceo

Funzioni, Limiti, Derivate, Integrali

Teoria Matematica (Schemi esame di Maturità)

I LIMITI

Contenuti più popolari di Matematica

I RADICALI

Monomi

Derivate

Monomi e operazioni tra monomi

Operazioni e prodotti notevoli

Derivate

Funzioni

equazioni di secondo grado procedura e spiegazioni

I Radicali

Contenuti più popolari