Matematica

Limiti di Funzione e Asintoti

Limiti all'Infinito

Matematica

29 nov 2025

1673

7 pagine

Calcolo dei Limiti - Guida di Matematica

Simo @simo_festa

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I limiti sono uno strumento fondamentale per capire cosa succede a una funzione quando la variabile x si... Mostra di più

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Il Concetto di Limite

Quando hai una funzione come $f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$ , noterai subito che non può esistere quando x = 3 (perché avresti una divisione per zero). Ma cosa succede quando x si avvicina sempre di più a 3?

Il limite ti permette di scoprirlo! Se provi con valori come 2,9 o 3,1, vedrai che f(x) si avvicina sempre più a 6. Questo si scrive $\lim_{x \to 3} f(x) = 6$ .

Il trucco per risolvere questa funzione è scomporre il numeratore $x^2-9 = (x+3)(x-3)$ . Così puoi semplificare e ottenere $f(x) = x+3$ , che quando x tende a 3 fa proprio 6!

💡 Ricorda Il limite ti dice dove sta andando la funzione, anche se non può arrivarci davvero.

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Gli Intorni di un Punto

Per capire bene i limiti, devi conoscere il concetto di intorno. Un intorno di un punto è semplicemente un intervallo aperto che contiene quel punto.

Per esempio, l'intorno di 3 può essere (1;5), (2;6) o anche (-3;4). La formula generale è $(x_0-δ; x_0+δ)$ dove δ è un numero positivo.

Esistono anche gli intorni destri e sinistri. L'intorno destro di 3 è un intervallo come (3;5), mentre quello sinistro è (-2;3). Questi sono utili quando la funzione si comporta diversamente da destra o da sinistra.

💡 Ricorda Gli intorni ti aiutano a descrivere matematicamente cosa significa "avvicinarsi" a un punto.

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Definizione Rigorosa di Limite

La definizione formale di limite dice che $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ quando per ogni ε > 0 esiste un intorno di $x_0$ tale che $|f(x) - L| < ε$ .

In parole semplici, significa che puoi rendere f(x) vicina quanto vuoi al limite L, basta scegliere x abbastanza vicino a $x_0$ . Il simbolo ε (epsilon) rappresenta questa "vicinanza".

Esistono anche i limiti destri e sinistri $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ (da destra) e $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ (da sinistra). Il limite esiste solo se questi due coincidono.

💡 Ricorda Non farti spaventare dalla definizione formale - è solo un modo preciso di dire "si avvicina sempre di più"!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Limiti all'Infinito e Asintoti

Quando x tende all'infinito, puoi scoprire se la funzione ha un asintoto orizzontale. Se $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ , allora y = L è un asintoto orizzontale.

Gli intorni dell'infinito sono intervalli come $(a; +\infty)$ per $+\infty$ e $(-\infty; b)$ per $-\infty$ . Questi limiti hanno senso solo se il dominio è illimitato.

Una funzione può intersecare il suo asintoto orizzontale! Per trovare i punti di intersezione, risolvi il sistema tra la funzione e la retta y = L.

💡 Ricorda Gli asintoti orizzontali ti mostrano il "comportamento finale" di una funzione quando x diventa molto grande.

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Calcolo dei Limiti all'Infinito

Per calcolare limiti come $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+3x^2+5}{2x^3+4x+2}$ , usa questa strategia raccogli la potenza più alta sia al numeratore che al denominatore.

Ci sono tre casi fondamentali

Se il grado del numeratore è minore di quello del denominatore → limite = 0
Se i gradi sono uguali → limite = rapporto dei coefficienti principali
Se il grado del numeratore è maggiore → limite = ±∞

Nel nostro esempio $\frac{x^3(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^3})}{x^3(2+\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x^3})} = \frac{1}{2}$ , quindi y = 1/2 è asintoto orizzontale.

💡 Ricorda All'infinito contano solo le potenze più alte - il resto "scompare"!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Casi Particolari all'Infinito

Quando il grado del numeratore è maggiore del denominatore, il limite è sempre infinito. Per esempio $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4+4x+1}{x^3+2x^2-x^3}$ .

Raccogli le potenze più alte $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4(1+\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^4})}{x^3(\frac{1}{x^3}+2-1)} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{1} = +\infty$ .

Il segno del risultato dipende dai coefficienti principali e dalla direzione $se x tende a $+\infty$ o $-\infty$$ .

💡 Ricorda Quando il numeratore "vince", la funzione scappa verso l'infinito!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

Forme Indeterminate 0/0

Le forme indeterminate come $\frac{0}{0}$ richiedono tecniche speciali. Per esempio $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+3x-4}{x^2-1}$ dà $\frac{0}{0}$ .

La soluzione è scomporre numeratore e denominatore in fattori, poi semplificare. Per il numeratore $x^2+3x-4$ , cerca due numeri che moltiplicati danno -4 e sommati danno 3 sono 4 e -1.

Quindi $x^2+3x-4 = (x-1)(x+4)$ e $x^2-1 = (x+1)(x-1)$ . Semplificando $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+4)}{(x+1)(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+4}{x+1} = \frac{5}{2}$ .

💡 Ricorda Le forme indeterminate non sono un muro - sono un invito a scomporre e semplificare!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

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Samantha Klich

utente Android

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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•

1673

•

29 nov 2025

•

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Simo

@simo_festa

I limiti sono uno strumento fondamentale per capire cosa succede a una funzione quando la variabile x si avvicina a un certo valore. Immagina di voler sapere dove sta andando una funzione senza dover calcolare esattamente quel punto!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

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Il limite ti permette di scoprirlo! Se provi con valori come 2,9 o 3,1, vedrai che f(x) si avvicina sempre più a 6. Questo si scrive: $\lim_{x \to 3} f(x) = 6$ .

Il trucco per risolvere questa funzione è scomporre il numeratore: $x^2-9 = (x+3)(x-3)$ . Così puoi semplificare e ottenere $f(x) = x+3$ , che quando x tende a 3 fa proprio 6!

💡 Ricorda: Il limite ti dice dove sta andando la funzione, anche se non può arrivarci davvero.

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

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Per esempio, l'intorno di 3 può essere (1;5), (2;6) o anche (-3;4). La formula generale è $(x_0-δ; x_0+δ)$ dove δ è un numero positivo.

💡 Ricorda: Gli intorni ti aiutano a descrivere matematicamente cosa significa "avvicinarsi" a un punto.

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

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La definizione formale di limite dice che $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ quando: per ogni ε > 0 esiste un intorno di $x_0$ tale che $|f(x) - L| < ε$ .

In parole semplici, significa che puoi rendere f(x) vicina quanto vuoi al limite L, basta scegliere x abbastanza vicino a $x_0$ . Il simbolo ε (epsilon) rappresenta questa "vicinanza".

Esistono anche i limiti destri e sinistri: $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ (da destra) e $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ (da sinistra). Il limite esiste solo se questi due coincidono.

💡 Ricorda: Non farti spaventare dalla definizione formale - è solo un modo preciso di dire "si avvicina sempre di più"!

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Una funzione può intersecare il suo asintoto orizzontale! Per trovare i punti di intersezione, risolvi il sistema tra la funzione e la retta y = L.

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$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

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Ci sono tre casi fondamentali:

Se il grado del numeratore è minore di quello del denominatore → limite = 0
Se i gradi sono uguali → limite = rapporto dei coefficienti principali
Se il grado del numeratore è maggiore → limite = ±∞

Nel nostro esempio: $\frac{x^3(1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^3})}{x^3(2+\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x^3})} = \frac{1}{2}$ , quindi y = 1/2 è asintoto orizzontale.

💡 Ricorda: All'infinito contano solo le potenze più alte - il resto "scompare"!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

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Quando il grado del numeratore è maggiore del denominatore, il limite è sempre infinito. Per esempio: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4+4x+1}{x^3+2x^2-x^3}$ .

Raccogli le potenze più alte: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^4(1+\frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^4})}{x^3(\frac{1}{x^3}+2-1)} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{1} = +\infty$ .

Il segno del risultato dipende dai coefficienti principali e dalla direzione $se x tende a $+\infty$ o $-\infty$$ .

💡 Ricorda: Quando il numeratore "vince", la funzione scappa verso l'infinito!

$# CONCETTO DI LIMITE - y=f(x) $\rightarrow \frac{x^2-9}{x-3}$ $\searrow$ x-3≠0 D=IR -{3} - X≠3 $\rightarrow$ D=(-00; 3) U (3;+00) - $\lim$

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Forme Indeterminate 0/0

Le forme indeterminate come $\frac{0}{0}$ richiedono tecniche speciali. Per esempio: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+3x-4}{x^2-1}$ dà $\frac{0}{0}$ .

La soluzione è scomporre numeratore e denominatore in fattori, poi semplificare. Per il numeratore $x^2+3x-4$ , cerca due numeri che moltiplicati danno -4 e sommati danno 3: sono 4 e -1.

Quindi: $x^2+3x-4 = (x-1)(x+4)$ e $x^2-1 = (x+1)(x-1)$ . Semplificando: $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+4)}{(x+1)(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+4}{x+1} = \frac{5}{2}$ .

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Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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