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Matematica
12 dic 2025
2415
5 pagine
Andrea Cappello @_andrea.cappello_
Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono tra gli argomenti più importanti dell'analisi matematica. Capire come funzionano questi grafici... Mostra di più
Ogni volta che vedi una funzione esponenziale del tipo y = aˣ, stai guardando uno dei grafici più potenti della matematica. Il comportamento di questa funzione cambia completamente a seconda del valore della base a.
Quando a > 1 , il grafico è sempre crescente e passa per il punto (0;1). Più vai verso destra sull'asse x, più la funzione "esplode" verso l'alto. Verso sinistra invece, la curva si avvicina sempre di più all'asse x senza mai toccarlo.
Se 0 < a < 1 , succede l'esatto contrario la funzione è decrescente. Passa sempre per (0;1), ma questa volta cresce verso sinistra e decresce verso destra.
Ricorda Tutte le funzioni esponenziali passano per il punto (0;1) e non toccano mai l'asse x!
La funzione logaritmica y = log_a x è l'inversa della funzione esponenziale, e questo cambia tutto. Mentre l'esponenziale non tocca mai l'asse x, il logaritmo non tocca mai l'asse y.
Il comportamento dipende sempre dalla base se a > 1, la funzione è crescente, se 0 < a < 1 è decrescente. Il grafico passa sempre per il punto (1;0) e ha un asintoto verticale sull'asse y.
La definizione fondamentale è questa se aˣ = b, allora x = log_a b. Da qui derivano le proprietà essenziali che devi memorizzare log_a 1 = 0 e log_a a = 1.
Le proprietà dei logaritmi sono i tuoi migliori alleati log_a(b×c) = log_a b + log_a c, log_a = log_a b - log_a c, e log_a(bⁿ) = n×log_a b.
Trucco I logaritmi trasformano moltiplicazioni in addizioni e potenze in moltiplicazioni!
Risolvere le equazioni logaritmiche è più semplice di quanto sembri se segui sempre gli stessi tre passaggi. Prima di tutto, trova le condizioni di esistenza (l'argomento del logaritmo deve essere positivo).
Poi usa le proprietà dei logaritmi per ridurre tutto alla forma log_a(A(x)) = log_a(B(x)). A questo punto puoi "eliminare" i logaritmi e risolvere semplicemente A(x) = B(x).
Per equazioni del tipo log_a x = C, la soluzione è diretta x = aᶜ. È come "spostare" il logaritmo dall'altra parte trasformandolo in esponenziale.
Nell'esempio log²x - log x - 2 = 0, sostituisci t = log x e risolvi l'equazione di secondo grado t² - t - 2 = 0. Trovi t = 2 e t = -1, quindi x = 10² = 100 e x = 10⁻¹ = 1/10.
Attenzione Controlla sempre che le soluzioni rispettino le condizioni di esistenza!
Le disequazioni logaritmiche seguono la stessa logica delle equazioni, ma c'è un dettaglio cruciale che fa la differenza. Dopo aver trovato le condizioni di esistenza e ridotto alla forma log_a(A(x)) ≷ log_a(B(x)), devi ricordare una regola fondamentale.
Se a > 1, la funzione logaritmica è crescente, quindi risolvi A(x) ≷ B(x) mantenendo il verso della disequazione. Se 0 < a < 1, la funzione è decrescente e devi invertire il verso della disequazione.
Nell'esempio log₁/₃ < 2, prima trovi le condizioni x > 1. Poi riscrivi 2 come log₁/₃((1/3)²) e ottieni log₁/₃ < log₁/₃(1/9).
Siccome 0 < 1/3 < 1, la funzione è decrescente, quindi investi x-1 > 1/9, da cui x > 10/9.
Regola d'oro Base maggiore di 1 = mantieni il verso; base minore di 1 = inverti il verso!
Il passaggio finale è sempre quello più delicato devi combinare la soluzione della disequazione con le condizioni di esistenza. Non puoi mai dimenticare questo step, altrimenti rischi di includere valori che rendono indefinita la funzione originale.
Nell'esempio precedente, avevi trovato x > 10/9 dalla disequazione e x > 1 dalle condizioni di esistenza. Il sistema da risolvere è quindi l'intersezione di questi due vincoli.
Dato che 10/9 ≈ 1,11 > 1, la soluzione finale è semplicemente x > 10/9. Le condizioni di esistenza erano già soddisfatte dalla soluzione della disequazione.
Controllo finale Verifica sempre che la tua soluzione finale rispetti tutti i vincoli iniziali!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Strumenti Intelligenti NUOVO
Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Andrea Cappello
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Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono tra gli argomenti più importanti dell'analisi matematica. Capire come funzionano questi grafici e come risolvere equazioni e disequazioni ti servirà non solo per l'esame di maturità, ma anche per molte applicazioni pratiche in fisica,... Mostra di più
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Ogni volta che vedi una funzione esponenziale del tipo y = aˣ, stai guardando uno dei grafici più potenti della matematica. Il comportamento di questa funzione cambia completamente a seconda del valore della base a.
Quando a > 1 , il grafico è sempre crescente e passa per il punto (0;1). Più vai verso destra sull'asse x, più la funzione "esplode" verso l'alto. Verso sinistra invece, la curva si avvicina sempre di più all'asse x senza mai toccarlo.
Se 0 < a < 1 , succede l'esatto contrario: la funzione è decrescente. Passa sempre per (0;1), ma questa volta cresce verso sinistra e decresce verso destra.
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Il comportamento dipende sempre dalla base: se a > 1, la funzione è crescente, se 0 < a < 1 è decrescente. Il grafico passa sempre per il punto (1;0) e ha un asintoto verticale sull'asse y.
La definizione fondamentale è questa: se aˣ = b, allora x = log_a b. Da qui derivano le proprietà essenziali che devi memorizzare: log_a 1 = 0 e log_a a = 1.
Le proprietà dei logaritmi sono i tuoi migliori alleati: log_a(b×c) = log_a b + log_a c, log_a = log_a b - log_a c, e log_a(bⁿ) = n×log_a b.
Trucco: I logaritmi trasformano moltiplicazioni in addizioni e potenze in moltiplicazioni!
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Nell'esempio log²x - log x - 2 = 0, sostituisci t = log x e risolvi l'equazione di secondo grado t² - t - 2 = 0. Trovi t = 2 e t = -1, quindi x = 10² = 100 e x = 10⁻¹ = 1/10.
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Nell'esempio log₁/₃ < 2, prima trovi le condizioni: x > 1. Poi riscrivi 2 come log₁/₃((1/3)²) e ottieni log₁/₃ < log₁/₃(1/9).
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