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7 dic 2025
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marle
@marlee_
L'iperbole è una delle curve fondamentali che incontrerai nella matematica... Mostra di più
L'iperbole nasce da un concetto semplice: prendi due punti fissi F₁ e F₂ (i fuochi) e trova tutti i punti P dove la differenza delle distanze |PF₁ - PF₂| rimane costante. Questo è ciò che crea la caratteristica forma a "due rami" dell'iperbole.
Il punto centrale tra i due fuochi si chiama centro dell'iperbole. La distanza tra i fuochi viene indicata con 2c (quindi c è la semidistanza focale), mentre 2a rappresenta la differenza costante delle distanze.
L'equazione standard dipende dalla posizione dei fuochi. Se i fuochi sono sull'asse x: x²/a² - y²/b² = 1. Se sono sull'asse y: x²/a² - y²/b² = -1. In entrambi i casi vale la relazione fondamentale: b² = c² - a².
Nota bene: A differenza dell'ellisse dove c² = a² - b², nell'iperbole abbiamo c² = a² + b² perché c > a.
L'iperbole ha tre assi di simmetria: l'asse x, l'asse y e l'origine. Questo significa che se un punto appartiene all'iperbole, anche i suoi simmetrici rispetto a questi elementi appartengono alla curva.
I vertici reali sono i punti dove l'iperbole interseca l'asse trasverso: A₁ e A₂(a,0) se i fuochi sono sull'asse x. Il segmento che li unisce è l'asse trasverso di lunghezza 2a. Esistono anche i vertici non reali B₁ e B₂(0,b) che definiscono l'asse non trasverso.
Gli asintoti sono le rette y = ±x che l'iperbole si avvicina sempre di più senza mai toccarle. Per disegnarli facilmente, traccia il rettangolo con vertici (±a, ±b) e disegna le sue diagonali: quelle sono le rette degli asintoti.
Trucco per il disegno: Il rettangolo con lati 2a e 2b ti dà subito sia i vertici che gli asintoti dell'iperbole!
I fuochi si trovano sempre sull'asse trasverso a distanza c dal centro. Se l'asse trasverso è l'asse x: F₁ e F₂. Se è l'asse y: F₁ e F₂.
L'eccentricità e misura quanto l'iperbole è "aperta": e = c/a. Poiché c > a, l'eccentricità è sempre maggiore di 1. Più e è grande, più i rami dell'iperbole sono aperti.
Per studiare la posizione di una retta rispetto all'iperbole, metti a sistema le due equazioni. Se ottieni un'equazione di secondo grado: Δ > 0 significa retta secante, Δ = 0 tangente, Δ < 0 esterna. Se ottieni un'equazione di primo grado, la retta è secante in un solo punto.
Ricorda: L'eccentricità dell'iperbole è sempre e > 1, mentre per l'ellisse era 0 < e < 1.
Un'iperbole traslata ha centro in (p,q) invece che nell'origine. Le equazioni diventano: ²/a² - ²/b² = 1 oppure ²/a² - ²/b² = -1. In forma generale: a'x² + b'y² + cx + dy + e = 0, dove a' e b' hanno segno opposto.
L'iperbole equilatera si ha quando a = b. In questo caso l'equazione diventa x² - y² = a² e gli asintoti sono le rette y = ±x (le bisettrici dei quadranti). L'eccentricità vale sempre e = √2.
Quando un'iperbole equilatera è riferita agli asintoti (cioè gli assi sono le bisettrici), l'equazione diventa semplicemente xy = k. Se k > 0, i rami sono nel I° e III° quadrante; se k < 0, nel II° e IV° quadrante.
Caso speciale: L'equazione xy = k rappresenta una delle forme più semplici di iperbole che incontrerai spesso negli esercizi!
La funzione omografica y = / rappresenta un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi. Perché sia davvero un'iperbole servono due condizioni: c ≠ 0 e ad - bc ≠ 0.
Gli asintoti sono le rette x = -d/c (verticale) e y = a/c (orizzontale). Il centro di simmetria si trova nel punto C, ovvero nell'intersezione degli asintoti.
Se le condizioni non sono rispettate, non ottieni un'iperbole ma una retta: se c = 0, diventa y = x + b/d; se ad - bc = 0, diventa y = costante con un punto escluso.
Attenzione: Controlla sempre le condizioni c ≠ 0 e ad - bc ≠ 0 per verificare che si tratti davvero di un'iperbole!
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È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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marle
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L'iperbole è una delle curve fondamentali che incontrerai nella matematica del quinto anno. È il luogo geometrico dei punti che hanno costante la differenza delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi.
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L'iperbole nasce da un concetto semplice: prendi due punti fissi F₁ e F₂ (i fuochi) e trova tutti i punti P dove la differenza delle distanze |PF₁ - PF₂| rimane costante. Questo è ciò che crea la caratteristica forma a "due rami" dell'iperbole.
Il punto centrale tra i due fuochi si chiama centro dell'iperbole. La distanza tra i fuochi viene indicata con 2c (quindi c è la semidistanza focale), mentre 2a rappresenta la differenza costante delle distanze.
L'equazione standard dipende dalla posizione dei fuochi. Se i fuochi sono sull'asse x: x²/a² - y²/b² = 1. Se sono sull'asse y: x²/a² - y²/b² = -1. In entrambi i casi vale la relazione fondamentale: b² = c² - a².
Nota bene: A differenza dell'ellisse dove c² = a² - b², nell'iperbole abbiamo c² = a² + b² perché c > a.
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L'iperbole ha tre assi di simmetria: l'asse x, l'asse y e l'origine. Questo significa che se un punto appartiene all'iperbole, anche i suoi simmetrici rispetto a questi elementi appartengono alla curva.
I vertici reali sono i punti dove l'iperbole interseca l'asse trasverso: A₁ e A₂(a,0) se i fuochi sono sull'asse x. Il segmento che li unisce è l'asse trasverso di lunghezza 2a. Esistono anche i vertici non reali B₁ e B₂(0,b) che definiscono l'asse non trasverso.
Gli asintoti sono le rette y = ±x che l'iperbole si avvicina sempre di più senza mai toccarle. Per disegnarli facilmente, traccia il rettangolo con vertici (±a, ±b) e disegna le sue diagonali: quelle sono le rette degli asintoti.
Trucco per il disegno: Il rettangolo con lati 2a e 2b ti dà subito sia i vertici che gli asintoti dell'iperbole!
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I fuochi si trovano sempre sull'asse trasverso a distanza c dal centro. Se l'asse trasverso è l'asse x: F₁ e F₂. Se è l'asse y: F₁ e F₂.
L'eccentricità e misura quanto l'iperbole è "aperta": e = c/a. Poiché c > a, l'eccentricità è sempre maggiore di 1. Più e è grande, più i rami dell'iperbole sono aperti.
Per studiare la posizione di una retta rispetto all'iperbole, metti a sistema le due equazioni. Se ottieni un'equazione di secondo grado: Δ > 0 significa retta secante, Δ = 0 tangente, Δ < 0 esterna. Se ottieni un'equazione di primo grado, la retta è secante in un solo punto.
Ricorda: L'eccentricità dell'iperbole è sempre e > 1, mentre per l'ellisse era 0 < e < 1.
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Un'iperbole traslata ha centro in (p,q) invece che nell'origine. Le equazioni diventano: ²/a² - ²/b² = 1 oppure ²/a² - ²/b² = -1. In forma generale: a'x² + b'y² + cx + dy + e = 0, dove a' e b' hanno segno opposto.
L'iperbole equilatera si ha quando a = b. In questo caso l'equazione diventa x² - y² = a² e gli asintoti sono le rette y = ±x (le bisettrici dei quadranti). L'eccentricità vale sempre e = √2.
Quando un'iperbole equilatera è riferita agli asintoti (cioè gli assi sono le bisettrici), l'equazione diventa semplicemente xy = k. Se k > 0, i rami sono nel I° e III° quadrante; se k < 0, nel II° e IV° quadrante.
Caso speciale: L'equazione xy = k rappresenta una delle forme più semplici di iperbole che incontrerai spesso negli esercizi!
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La funzione omografica y = / rappresenta un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi. Perché sia davvero un'iperbole servono due condizioni: c ≠ 0 e ad - bc ≠ 0.
Gli asintoti sono le rette x = -d/c (verticale) e y = a/c (orizzontale). Il centro di simmetria si trova nel punto C, ovvero nell'intersezione degli asintoti.
Se le condizioni non sono rispettate, non ottieni un'iperbole ma una retta: se c = 0, diventa y = x + b/d; se ad - bc = 0, diventa y = costante con un punto escluso.
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