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Limite sinistro

Matematica

27 nov 2025

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Limiti notevoli: Guida essenziale e formule utili

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Beatrice Coroban @beatricecoroban_kntp

I limiti notevolisono formule fondamentali che ti permettono di risolvere rapidamente limiti che sembrano complicati. Insieme alle... Mostra di più

# Limiti NOTEVOLI •) $\lim_{X \to 0} \frac{\sin x}{X} = 1$ $\lim_{X \to -0} \frac{X}{\sin x} = 1$ •) $\lim_{X \to 0} \frac{1- \cos x}{X^2}

Limiti Notevoli e Proprietà Fondamentali

Questi limiti notevoli sono le tue armi segrete per risolvere rapidamente calcoli che altrimenti sarebbero un incubo. Memorizza soprattutto lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 e lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 - li vedrai ovunque!

Per le funzioni trigonometriche, ricorda l'identità fondamentale sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 e che tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Le formule di duplicazione come sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x ti salveranno spesso.

I logaritmi seguono regole logiche log⁡a1=0\log_a 1 = 0 perché $a^0 = 1$, log⁡aa=1\log_a a = 1, e le operazioni si trasformano $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

Tip Non cercare di capire tutto subito - usa queste formule nei problemi e diventeranno automatiche!

# Limiti NOTEVOLI •) $\lim_{X \to 0} \frac{\sin x}{X} = 1$ $\lim_{X \to -0} \frac{X}{\sin x} = 1$ •) $\lim_{X \to 0} \frac{1- \cos x}{X^2}

Potenze e Discontinuità

Le proprietà delle potenze sono più semplici di quanto sembri. Ricorda che a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}, a0=1a^0 = 1 sempre tranne per $a = 0$, e amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.

Una funzione è continua quando non ha "salti" o "buchi". Matematicamente significa che il limite destro e sinistro in un punto sono uguali, e corrispondono al valore della funzione.

Le discontinuità di prima specie (salti) succedono quando i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi. È come se la funzione facesse un salto improvviso.

Le discontinuità di seconda specie sono più drammatiche almeno uno dei due limiti tende a infinito. La funzione "esplode" in quel punto.

Trucco Disegna sempre un grafico mentale - ti aiuta a visualizzare che tipo di discontinuità hai davanti!

# Limiti NOTEVOLI •) $\lim_{X \to 0} \frac{\sin x}{X} = 1$ $\lim_{X \to -0} \frac{X}{\sin x} = 1$ •) $\lim_{X \to 0} \frac{1- \cos x}{X^2}

Discontinuità di Terza Specie ed Esempi

Le discontinuità di terza specie sono più sottili i limiti destro e sinistro esistono e sono uguali, ma la funzione in quel punto non esiste o ha un valore diverso. È come un "buco" nel grafico.

Nell'esempio con la funzione a tratti, vedi come si lavora calcoli separatamente il limite da sinistra usando $\frac{e^{2x}-1}{x}$ e da destra usando $3x + 1$. Quando ottieni risultati diversi (2 e 1), hai una discontinuità di prima specie.

Il secondo esempio è più interessante nonostante sembri complicato con ln⁡(2x+1)x\frac{\ln(2x+1)}{x}, usando i limiti notevoli ottieni lo stesso risultato da entrambi i lati. La funzione risulta continua in x=0x = 0!

Strategia vincente Con le funzioni a tratti, calcola sempre i limiti separatamente e poi confronta i risultati - è l'unico modo per essere sicuro del tipo di discontinuità!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

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4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

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I limiti notevoli sono formule fondamentali che ti permettono di risolvere rapidamente limiti che sembrano complicati. Insieme alle proprietà di funzioni trigonometriche, logaritmi e potenze, diventano strumenti potentissimi per affrontare anche le discontinuità delle funzioni.

# Limiti NOTEVOLI •) $\lim_{X \to 0} \frac{\sin x}{X} = 1$ $\lim_{X \to -0} \frac{X}{\sin x} = 1$ •) $\lim_{X \to 0} \frac{1- \cos x}{X^2}

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Limiti Notevoli e Proprietà Fondamentali

Questi limiti notevoli sono le tue armi segrete per risolvere rapidamente calcoli che altrimenti sarebbero un incubo. Memorizza soprattutto lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 e lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 - li vedrai ovunque!

Per le funzioni trigonometriche, ricorda l'identità fondamentale sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 e che tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Le formule di duplicazione come sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x ti salveranno spesso.

I logaritmi seguono regole logiche: log⁡a1=0\log_a 1 = 0 perché $a^0 = 1$, log⁡aa=1\log_a a = 1, e le operazioni si trasformano $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

Tip: Non cercare di capire tutto subito - usa queste formule nei problemi e diventeranno automatiche!

# Limiti NOTEVOLI •) $\lim_{X \to 0} \frac{\sin x}{X} = 1$ $\lim_{X \to -0} \frac{X}{\sin x} = 1$ •) $\lim_{X \to 0} \frac{1- \cos x}{X^2}

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Potenze e Discontinuità

Le proprietà delle potenze sono più semplici di quanto sembri. Ricorda che a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}, a0=1a^0 = 1 sempre tranne per $a = 0$, e amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.

Una funzione è continua quando non ha "salti" o "buchi". Matematicamente significa che il limite destro e sinistro in un punto sono uguali, e corrispondono al valore della funzione.

Le discontinuità di prima specie (salti) succedono quando i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi. È come se la funzione facesse un salto improvviso.

Le discontinuità di seconda specie sono più drammatiche: almeno uno dei due limiti tende a infinito. La funzione "esplode" in quel punto.

Trucco: Disegna sempre un grafico mentale - ti aiuta a visualizzare che tipo di discontinuità hai davanti!

# Limiti NOTEVOLI •) $\lim_{X \to 0} \frac{\sin x}{X} = 1$ $\lim_{X \to -0} \frac{X}{\sin x} = 1$ •) $\lim_{X \to 0} \frac{1- \cos x}{X^2}

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Discontinuità di Terza Specie ed Esempi

Le discontinuità di terza specie sono più sottili: i limiti destro e sinistro esistono e sono uguali, ma la funzione in quel punto non esiste o ha un valore diverso. È come un "buco" nel grafico.

Nell'esempio con la funzione a tratti, vedi come si lavora: calcoli separatamente il limite da sinistra usando $\frac{e^{2x}-1}{x}$ e da destra usando $3x + 1$. Quando ottieni risultati diversi (2 e 1), hai una discontinuità di prima specie.

Il secondo esempio è più interessante: nonostante sembri complicato con ln⁡(2x+1)x\frac{\ln(2x+1)}{x}, usando i limiti notevoli ottieni lo stesso risultato da entrambi i lati. La funzione risulta continua in x=0x = 0!

Strategia vincente: Con le funzioni a tratti, calcola sempre i limiti separatamente e poi confronta i risultati - è l'unico modo per essere sicuro del tipo di discontinuità!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

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Appunti, formule, dimostrazioni sulle derivate

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Funzioni elementari, operazioni, funzione invers, funzioni composte, punti di non derivabilità, teorema di rolle, massimi e minimi, funzioni crescenti e decrescenti

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Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

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4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

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