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lim f(x) të
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LIMITI $ lim f(x) të ∞ x →Ⓒ X qui la fumz. mom esiste Intormo de l: um qualsiasi intervallo aperto sull'asse y di Xo: um qualsiasi intervallo aperto sull'asse x 2 a lim f(x) = +0 X-C diversi casi: @lim f(x) = l x →C + ε>0 ]d=√(ε) | |x-c| <d^ => | g(x) -l | < E M>03√=√(M) |x-₁| <₁^² => f(x) > M C b. lim f(x) = -00 X→C \M<0] d^= √(M) | |x-c|< d => f(x) <-M 3 a lim f(x) = l (3 X →+∞ + ε> 0 ] N = N(E) | X >N => | f(x)-l | < E •| f(x) -l | < E l-ε < f (x) < l + ε → |x-xo | <d Xo- < x < xo+d b. lim 8(x) = l X→-∞ + ε> 0 ] N= N(E)| X <-N => | 8 (X) -l | < E | M _M l+ ε l l-E N I c-d C+ d l X=C asimtoto verticale y=l asimtoto OMIZZomtale (44) 2. lim f(x) = +00 X→+00 M>O=N=N(m) x > N => 8(x) > M b. lim 8(x) = +00 X-8 *M>0=N=N(m) c. lim 8(x) = - X→+∞ x < -N => f(x) > M +/M>0=N= N(m) x> N => f(x) <-M d. lim f(x) = -1 X→-8 M<O] N=N(m) x <-N => => f (x) <-M N N M 1 M 1 M T M N > N ALGEBRA DEI UMITI ・f+g →l₁ ± l₂<∞0 l + co = +∞0 - f.g 46100 g +∞0 ± 00 = ±00 ∞ = 1md + ∞o l₁.l₂ < 00 (+∞0). (+∞0) = +∞0 (+∞0) • (-∞0) = (-∞0).(-∞0) = +00 =-X (+∞). N+ = +∞ (-∞0)•N² = +00 (+∞o). N =-∞ (-∞). N₁...

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= -∞0 ∞. O = imd 2|2 0|2 812 2|0 2|88|0 018 8/8 0/0 N₂ - <∞ = 0 = +∞ (J = 8 O 8 Imd. = 1md. A lim f [ g(x)] = f [lim g(x)] X-C UMITE DI FUNZIONI FRATTE - X→ ± co 2 casi: grado P(x) = grado Q(x) ie lim è uguale al rapporto tra i coefficienti di grado max -x→C: Im generale svolgo i polimonui e semplifico tutto ciò che tende a O grado P(x) grado Q(x) guardo solo i momomi di grodo maggiore TEOREMA DEL CONFRONTO Def. a parole: Se due funzioni f(x) e g(x) hanno lo stesso limite I per x che tende a un numero c ( finito o infinito) ed esiste un'altra funzione z(x) e un intorno U(c) tale che f(x)≤z(x)≤g(x), allora anche il limite della funzione z(x) è uguale a I per x che tende a c, escluso al più x=C. Siamo f(x), g(x), h(x) definite im × € I (c) : f(x) ≤ g (x) ≤ h (x) 2. 3 lim 8(x) = l X→C 6.3 lim h(x) = l X→C 30 y O C 3 h(x) : g(x) f (x) X I (c) Q{c} lim g(x) = l x → Xo dim. : 3. \ £ > 0 ] ƒ^ = √(ε) tramme tuttalpiù c [x-cl<d => N(E) | => f(x) -l | <ε l-E< f (x) < l + E b. # E> 0 ] d = d (ε) | |x-c\ < d => | h(x)-l | < E l - E<h (x) < l + E) b- ε < f ( x ) ≤ g (x) ≤ h ( x ) < l + E ⇓ l - E < g(x) < l + E | g(x) = l | < E APPUCAZIONI ℗ lim semx X x →0* dim: 2 lim tom x X→O X dim: = 1 y = JJ - tomx X ® lim 1-cosx X² X-O = 1 = dim: lim 1-cOSX X-O x² = ₁/2 ® lim 1-cosx X→0 X (Semx COSX 1² x² 2 lim (1-cosx.1+cosx x →O 17 COSX f(x) = Semx fumz. par X lim /sem³ (sem ³x x →O 2 lim [sema ít con ê x 1 1 = 1+ cosx lim sem³x 1 SIN ㄷ 1 1+cosx lim cosx-1 X40 = dùm: lim (1-cosx 1+ COSX X x →0 14 COSX lim 1 X30 X(1+cosx) x 0 Semx sxs tomx = 1 ≤ COSXS X 1 semx COSX S : semx semx X Semx semx \x(1+cosx) s q lim1=1 X→O lim 1-cos²x X→0 X(1+cosx) f(-x) = lim 1-cos[] []→0 []² O = 0 LIMITE ASINTOTICO = sem (-x) semx -X - X ↓ → che lo arrivi da destra o da simistra mom cambia x →0* I 1/12 - posso mom studiare i cosi perchè sto analizzando a ote poi perché la fumz. I pare lim [] →o lim f(x) x →O g(x) UMITE ASINTOTICO X' рег хэто у= semxe y=x Si comportamo mello stesso modo = 1 = sem [] [] ↑ semx = f(x) X = 1 lim 1-cos [] []→0 [] • f(x) e g(x) fumz. = 0 asinitotiche 5 lim (₁ + 1 = |²= l 1 da un denva: lim (₁ + [])²³ [[ ] → 0 © lim loga (1+x) x →O X = = l dim: lim · log ₂ (₁+x) = X-O lim loga (1+x)²) == loga l X→O Ⓒ lim ln (₁+x). (7) X→O X = loga l 04x dim: lim loga (1+x) X →O X = 1 dim: lim at-1 x →O X lim lm (1+x) = lome = 1 X X 8 lim a^² -1 = lma × X→O ↓ ax-1=t = a=t+1 ↑ x = loga (1+t) loga → Indeterminato — > lim loga (1+[ ]) [] []→O → t 1 lim X÷0 loga (1+t) = loga l lim lm (1 + []) [] →0 C = с вода е e lma LIMITE ASINTOTICO = 1 [] lim a =^= lma [] →0 [] © lim l²² - 1 = lme = 1 []+0 [] LIMITE ASINTOTICO TEOREMA DI UNICITA' DEL UNITE Def a parole: Se per x che tende a c la funzione f(x) ammette limite I finito, allora esso è unico. Se 7 lim 8(x) = l => il limite è unico X-C dim. xossundo: Suppongo che esistono due limita di f(x) per x → c li e l ₂ + b ₁ le 2. limm f(x) = ₁ → \ £ >0 = √₂ = √( ε) | | x-c\<d₂ ⇒ | 8(x) - L₁ | < E E l₁ - E < f (x) < l₁ + E b. lim f (x) = l₂ + ₁ →→→ \ E >0 7 √₂ = √₂ (E) | | x-c/ < №₂ => [ f(x)-l₂] < E X→C l₁-E < f (x) < l₂ + E вл ег ====-=-=-=- Se 7 lim 8(x) = l +0 X→C X dim: a. l>o ε =l → с mom è possibile x' se scegliessix im um punto im Comunie ai 2 nitonui la fimz. avrebbe 2 valore TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO cosa mom possibile x la def. di funzione Def a parole: Se per x->c con c appartenente a R, la funzione f(x) ammette limite finito I, positivo/negativo, allora esiste un intorno di c per ogni x del quale, eccetto al più c, f è positiva/negativa. → 3 I (c) √x € I (c) ` {c} → segno f(x) = segno I в \ E >0]d=√(E) | \x-cl < d => | 8(x) -l | <l દ) l-l< f (x) < l + l 0<f(x) <2l x l>o f(x) è semipre compresa tra 0 e 2 l b. l <0 E = -l → \ E > 0 7 d= √(E) | |x-cl<d^ => | 8(x) +1| <-l -l-l< f (x) < -l+l - 2l< f(x) <0 semipre positiva x l< o f (x) è sempre. compresa tra -2ec0 sempre megativa

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= -∞0 ∞. O = imd 2|2 0|2 812 2|0 2|88|0 018 8/8 0/0 N₂ - <∞ = 0 = +∞ (J = 8 O 8 Imd. = 1md. A lim f [ g(x)] = f [lim g(x)] X-C UMITE DI FUNZIONI FRATTE - X→ ± co 2 casi: grado P(x) = grado Q(x) ie lim è uguale al rapporto tra i coefficienti di grado max -x→C: Im generale svolgo i polimonui e semplifico tutto ciò che tende a O grado P(x) grado Q(x) guardo solo i momomi di grodo maggiore TEOREMA DEL CONFRONTO Def. a parole: Se due funzioni f(x) e g(x) hanno lo stesso limite I per x che tende a un numero c ( finito o infinito) ed esiste un'altra funzione z(x) e un intorno U(c) tale che f(x)≤z(x)≤g(x), allora anche il limite della funzione z(x) è uguale a I per x che tende a c, escluso al più x=C. Siamo f(x), g(x), h(x) definite im × € I (c) : f(x) ≤ g (x) ≤ h (x) 2. 3 lim 8(x) = l X→C 6.3 lim h(x) = l X→C 30 y O C 3 h(x) : g(x) f (x) X I (c) Q{c} lim g(x) = l x → Xo dim. : 3. \ £ > 0 ] ƒ^ = √(ε) tramme tuttalpiù c [x-cl<d => N(E) | => f(x) -l | <ε l-E< f (x) < l + E b. # E> 0 ] d = d (ε) | |x-c\ < d => | h(x)-l | < E l - E<h (x) < l + E) b- ε < f ( x ) ≤ g (x) ≤ h ( x ) < l + E ⇓ l - E < g(x) < l + E | g(x) = l | < E APPUCAZIONI ℗ lim semx X x →0* dim: 2 lim tom x X→O X dim: = 1 y = JJ - tomx X ® lim 1-cosx X² X-O = 1 = dim: lim 1-cOSX X-O x² = ₁/2 ® lim 1-cosx X→0 X (Semx COSX 1² x² 2 lim (1-cosx.1+cosx x →O 17 COSX f(x) = Semx fumz. par X lim /sem³ (sem ³x x →O 2 lim [sema ít con ê x 1 1 = 1+ cosx lim sem³x 1 SIN ㄷ 1 1+cosx lim cosx-1 X40 = dùm: lim (1-cosx 1+ COSX X x →0 14 COSX lim 1 X30 X(1+cosx) x 0 Semx sxs tomx = 1 ≤ COSXS X 1 semx COSX S : semx semx X Semx semx \x(1+cosx) s q lim1=1 X→O lim 1-cos²x X→0 X(1+cosx) f(-x) = lim 1-cos[] []→0 []² O = 0 LIMITE ASINTOTICO = sem (-x) semx -X - X ↓ → che lo arrivi da destra o da simistra mom cambia x →0* I 1/12 - posso mom studiare i cosi perchè sto analizzando a ote poi perché la fumz. I pare lim [] →o lim f(x) x →O g(x) UMITE ASINTOTICO X' рег хэто у= semxe y=x Si comportamo mello stesso modo = 1 = sem [] [] ↑ semx = f(x) X = 1 lim 1-cos [] []→0 [] • f(x) e g(x) fumz. = 0 asinitotiche 5 lim (₁ + 1 = |²= l 1 da un denva: lim (₁ + [])²³ [[ ] → 0 © lim loga (1+x) x →O X = = l dim: lim · log ₂ (₁+x) = X-O lim loga (1+x)²) == loga l X→O Ⓒ lim ln (₁+x). (7) X→O X = loga l 04x dim: lim loga (1+x) X →O X = 1 dim: lim at-1 x →O X lim lm (1+x) = lome = 1 X X 8 lim a^² -1 = lma × X→O ↓ ax-1=t = a=t+1 ↑ x = loga (1+t) loga → Indeterminato — > lim loga (1+[ ]) [] []→O → t 1 lim X÷0 loga (1+t) = loga l lim lm (1 + []) [] →0 C = с вода е e lma LIMITE ASINTOTICO = 1 [] lim a =^= lma [] →0 [] © lim l²² - 1 = lme = 1 []+0 [] LIMITE ASINTOTICO TEOREMA DI UNICITA' DEL UNITE Def a parole: Se per x che tende a c la funzione f(x) ammette limite I finito, allora esso è unico. Se 7 lim 8(x) = l => il limite è unico X-C dim. xossundo: Suppongo che esistono due limita di f(x) per x → c li e l ₂ + b ₁ le 2. limm f(x) = ₁ → \ £ >0 = √₂ = √( ε) | | x-c\<d₂ ⇒ | 8(x) - L₁ | < E E l₁ - E < f (x) < l₁ + E b. lim f (x) = l₂ + ₁ →→→ \ E >0 7 √₂ = √₂ (E) | | x-c/ < №₂ => [ f(x)-l₂] < E X→C l₁-E < f (x) < l₂ + E вл ег ====-=-=-=- Se 7 lim 8(x) = l +0 X→C X dim: a. l>o ε =l → с mom è possibile x' se scegliessix im um punto im Comunie ai 2 nitonui la fimz. avrebbe 2 valore TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO cosa mom possibile x la def. di funzione Def a parole: Se per x->c con c appartenente a R, la funzione f(x) ammette limite finito I, positivo/negativo, allora esiste un intorno di c per ogni x del quale, eccetto al più c, f è positiva/negativa. → 3 I (c) √x € I (c) ` {c} → segno f(x) = segno I в \ E >0]d=√(E) | \x-cl < d => | 8(x) -l | <l દ) l-l< f (x) < l + l 0<f(x) <2l x l>o f(x) è semipre compresa tra 0 e 2 l b. l <0 E = -l → \ E > 0 7 d= √(E) | |x-cl<d^ => | 8(x) +1| <-l -l-l< f (x) < -l+l - 2l< f(x) <0 semipre positiva x l< o f (x) è sempre. compresa tra -2ec0 sempre megativa