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lim f(x) fi
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LIMITI 3 lim f(x) fi ∞ x →Ⓒ X qui la fume. mom esiste Intonmo di l: um qual star intervallo aperto sull'arse y di Xo: um qualsiasi intervallo aperto sull'osse x 2 a. lim f(x) = + =+8 X-C diversi casi: @ lim f(x) = l хэс + ε>0}d=√(ε) | | x-c| < ✔^² => | f(x)-l| < E M>03√=√(M) | |x-c | <^^ => f(x) > M b. lim f(x) = -00 X→C M<03 ^^= √(M) | |x-c|< d => f(x) <-M ]d=d(M) 3 2 lim f(x) = l X →+∞ + ε> 0 ] N= N(E) | X > N => | 8(x) -l | < E X→-8 → | x-xo | <d Xo-d<x< xo+d b. lim 8(x) = l > | f(x) - l | < ε l-E< f(x) < l + ε 3> |8- (x) 8 | <= N => × | (3) N= NEO<3 A M _M l+ ε l l-E 1 c-d c+d l X=C asi mtoto verticale y=l asimtoto ONzzontale 4 2. lim f(x) = +00 X+00 M>ON=N(m) x > N => 8(x) > M | b. lim 8(x) = +00 8-4X (x)} <= N-> × | (w) N=N E O<H A c. lim 8(x) = -0 00 + ←←X < > M W-> (x) <= N<x (w) N = NEO<WA d. lim f(x) = -₁ X→-8 M<O=N=N(m) × <-N => => f (x) <-M N N M M M I M N Z ALGEBRA DEI UMITI -f±g →l₁ ± l₂<∞0 l+co=+00 +∞0 ± ∞0 = +00 + ∞ ∞ = 1md - f.g 96/00 l₁.lz ²00 < - (+∞0). (+∞0) = + ∞0 (+∞0).(-∞0) = (-∞0).(-00) = +00 =-∞ (+∞). N+ = +∞0 (-∞0)•N² = +00 :- -∞ ·∞ (+∞o). N (-∞0). ∞. N*= 0 =...

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imd N₂ 212 0|2 8|1/2 2/0 2/8 8/0 0/8 8/8 0/0 O <∞ = 0 2 - : +∞ 8 8 Ind. = 1md. A lim f [ g(x)] = f [lim g(x)] X-C UMITE DI FUNZIONI FRATTE -X→ ∞o 2 casi: grado P(x) = grado Q(x) guardo solo i momomi di grodo maggiore grado P(x) = grado Q(x) ie lim è uguale al rapporto tra coefficienti di grado max -x→c: Im generale svolgo i polimonui e semplifico tutto ciò che tende a O TEOREMA DEL CONFRONTO Def. a parole: Se due funzioni f(x) e g(x) hanno lo stesso limite I per x che tende a un numero c ( finito o infinito) ed esiste un'altra funzione z(x) e un intorno U(c) tale che f(x)≤z(x)≤g(x), allora anche il limite della funzione z(x) è uguale a I per x che tende a c, escluso al più x=C. Siamo f(x), g(x), h(x) definite im \ × € I (c) : f(x) ≤ g(x) ≤ h (x) 2.] lim f(x) = l X→C b. 3 lim h(x) = l X→C 36 O C 3 h(x) : g(x) f (x) X I (c) Q{c} lim g(x) = l X→X tramme tuttalpiù c dim. : 3. \ ε > 0 ] √ = √(E)| (x-cl<d => >= |x-c\< d => | f(x) -l\ < E l-E< f(x) l + E x b. \ E>0 ] ♪ = d (ε) | |x-c\ <d^ => | h(x)-l | < E l - E<h (x) < l + E l - E < f ( x ) ≤ g(x) ≤ h (x) < b + E ↓ l- E < g(x) < l + E | g(x) = l | < E APPUCAZIONI ℗ lim semx X→0* X dim: 2 lim tom x X→O X 3 dim: 11 = lim 1-cosx x² X-O 11 = 1 = y = -tomx X dim: lim 1-cosx = 1 = = 1 ® lim 1-cosx х-0 X Semx COSX lim /sem³² x →O (sem ³x lim [sen 1² f(x) = Semx X lim sem³x lim 11-cosx.1+cosx X 40 x² 17 COSX X40 1 SIN = 1 lim cosx=1 1 1+ COSX dùm: lim (1-cosx + cosx X x →>0 1+cosx – 1 Atcosx = 2 1+ Semx ≤ x ≤ tomx XĐ0 x(1+cosx) xo 1 ≤ COSX S fumz. par X 1 semx COSX S : semx lim semx semx \X(1+COSX) semx X sy lim1=1 X→O lim 1-cos X→0 X(1+cosx) lim 1-cos[] []→0 []² 0 = 0 f(-x) = .semx semx= 8(x) -X X ↓ che lo avuvi da destra o da sinistra mom combia →→→0* LIMITE ASINTOTICO sem (-x) -X → posso mom studiare i casi perché sto analizzando a ot la funz. I pare = 1/1/2 lim f(x). X→O g(x) UMITE ASINTOTICO X' per x y = semxe y=x Si comportamo mello stesso modo lim [] [] = sem [] = 1 →>>> ↑ = 1 lim 1-cos [] []→0 [] e poi perché → f(x) e g(x) fumt. = 0 osiritotiche

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