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Matematica
4 dic 2025
657
11 pagine
cristina @cristina_wbmjlzcb5h7
Le funzioni sono uno strumento matematico fondamentale che ci permette di collegare due insiemi attraverso una regola precisa.... Mostra di più
Una funzione è come una macchina che prende un numero in ingresso e restituisce sempre uno e un solo numero in uscita. Se hai l'insieme A (chiamato dominio) e l'insieme B (chiamato codominio), la funzione collega ogni elemento di A a esattamente un elemento di B.
Quando scriviamo f(1) = ½, stiamo dicendo che il numero 1 viene trasformato nel numero ½. Il numero 1 è chiamato controimmagine, mentre ½ è l'immagine di 1 attraverso la funzione f.
Le coppie (x, y) che otteniamo formano i punti che possiamo disegnare sul piano cartesiano per visualizzare la funzione. Per esempio, con y = x² - 2x otteniamo una parabola con vertice nel punto (1, -1).
💡 Ricorda Una funzione è valida solo se ogni valore di x produce un unico valore di y!
I grafici più comuni che incontrerai sono le rette e le parabole . Questi sono i mattoncini base per capire funzioni più complesse.
Facciamo un esempio pratico con y = x² - 2x, per trovare dove la parabola tocca l'asse x, risolviamo x² - 2x = 0. Fattorizzando otteniamo x = 0, quindi x = 0 oppure x = 2. I punti di intersezione sono (0,0) e (2,0).
Attenzione ai casi impossibili! Se nel calcolo ti capita una divisione 0/0 o il logaritmo di un numero negativo, significa che devi controllare il dominio della funzione.
⚠️ Trucco Quando vedi ln(x), ricorda che ln(e) = 1 perché e elevato alla 1 fa e!
Le funzioni polinomiali come y = 5x⁵ - 2x³ + 12 hanno il dominio più semplice tutti i numeri reali. Non devi preoccuparti di condizioni particolari.
Le funzioni razionali hanno la forma y = A(x)/B(x) e qui devi stare attento il denominatore non può mai essere zero! Per esempio, con y = /, devi escludere x = 4 dal dominio.
Per trovare il campo di esistenza (C.E.), segui sempre questa regola identifica tutto ciò che può rendere la funzione indefinita e escludi quei valori dal dominio.
🎯 Metodo veloce Scrivi subito le condizioni che escludono valori dal dominio, poi risolvi il sistema!
Con le funzioni irrazionali del tipo y = ⁿ√A(x) devi fare attenzione all'indice della radice. Se n è pari, l'espressione sotto radice deve essere maggiore o uguale a zero.
Esempio pratico y = √. Per il C.E. serve 4 - x² ≥ 0, che diventa x² ≤ 4. Studiando il segno otteniamo -2 ≤ x ≤ 2.
Quando hai funzioni irrazionali fratte, devi combinare le condizioni il denominatore diverso da zero E l'argomento della radice non negativo. Con y = √/, risolvi il sistema e studia il segno della frazione.
📊 Tecnica Usa sempre lo schema dei segni per visualizzare dove numeratore e denominatore sono positivi o negativi!
Le funzioni algebriche (polinomiali, razionali, irrazionali) sono solo una parte della storia. Esistono anche le funzioni trascendenti che includono esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
Le funzioni esponenziali y = aˣ (con a > 0 e a ≠ 1) hanno dominio R, mentre le funzioni logaritmiche y = log_a x hanno dominio x > 0. Memorizza questi domini perché sono fissi!
Le funzioni trigonometriche come y = sen x, y = cos x hanno i loro domini specifici. Per y = tg x devi escludere i punti dove cos x = 0.
🔄 Nota importante Se n è dispari nelle radici (come ³√x), il dominio è tutto R perché puoi estrarre radici dispari anche da numeri negativi!
Quando una funzione è composizione di più funzioni, il C.E. si trova risolvendo il sistema con tutte le condizioni di esistenza insieme. Non puoi studiare le parti separatamente!
Esempio y = √/ + log. Devi imporre argomento della radice ≥ 0, denominatore ≠ 0, e argomento del logaritmo > 0.
Per trovare le intersezioni con gli assi, risolvi due sistemi semplici con l'asse y poni x = 0, con l'asse x poni y = 0. Questi punti ti aiuteranno a disegnare il grafico.
💪 Strategia vincente Prima trova il C.E., poi le intersezioni, infine lo studio del segno. Quest'ordine ti semplificherà tutto!
Lo studio del segno ti dice dove la funzione è positiva (sopra l'asse x) e dove è negativa (sotto l'asse x). Risolvi sempre la disequazione f(x) > 0.
Esempio con y = / le intersezioni con l'asse x si trovano ponendo 9 - x² = 0, ottenendo x = ±3. L'intersezione con l'asse y (se esiste) si trova ponendo x = 0.
Per le funzioni fratte, studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore, poi combina i risultati con la regola dei segni. Ricorda più per più fa più, più per meno fa meno!
📈 Visualizza sempre Disegna uno schema con i segni di numeratore e denominatore per non commettere errori!
Quando il dominio esclude alcuni punti (come x ≠ 0 per C.E.), non puoi calcolare l'intersezione con l'asse y in quel punto. Adatta sempre lo studio alle condizioni del dominio.
Per risolvere / > 0, studia numeratore 1-x > 0 → x < 1, denominatore x²-2x > 0 → x < 0 ∪ x > 2. Combina i risultati con lo schema dei segni.
Il risultato finale ti dice che la funzione è positiva per x < 0 ∪ 1 < x < 2. Questo significa che il grafico sta sopra l'asse x in quegli intervalli.
✅ Verifica sempre Prova con un valore test in ciascun intervallo per controllare se il segno è corretto!
Una funzione è pari se f = f(x) il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Una funzione è dispari se f = -f(x) il grafico è simmetrico rispetto all'origine.
Esempio di funzione pari y = -x⁴ + 2x². Calcolando f = -⁴ + 2² = -x⁴ + 2x² = f(x). Esempio di funzione dispari y = 4x⁵ - x, dove f = -4x⁵ + x = -f(x).
Queste proprietà ti aiutano a disegnare il grafico più velocemente se sai com'è fatto da una parte, puoi dedurre l'altra metà per simmetria.
🎨 Trucco del disegno Se una funzione è pari, disegna solo la parte destra e specchia rispetto all'asse y!
Una funzione iniettiva significa che ogni y corrisponde al massimo a un x (test della retta orizzontale). Una funzione suriettiva significa che ogni y del codominio ha almeno un x che lo genera.
Una funzione biunivoca è sia iniettiva che suriettiva perfetta corrispondenza uno-a-uno. Queste funzioni sono importanti perché ammettono funzione inversa.
Le funzioni possono essere crescenti (se x₁ > x₂ allora f(x₁) > f(x₂)) o decrescenti (se x₁ > x₂ allora f(x₁) < f(x₂)). Le funzioni periodiche come seno e coseno si ripetono con un periodo fisso.
🔍 Osserva i grafici Impara a riconoscere queste proprietà visivamente - ti servirà moltissimo negli esercizi!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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cristina
@cristina_wbmjlzcb5h7
Le funzioni sono uno strumento matematico fondamentale che ci permette di collegare due insiemi attraverso una regola precisa. Capire come funzionano ti aiuterà a risolvere tantissimi problemi di matematica e a comprendere meglio il mondo che ci circonda.
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Una funzione è come una macchina che prende un numero in ingresso e restituisce sempre uno e un solo numero in uscita. Se hai l'insieme A (chiamato dominio) e l'insieme B (chiamato codominio), la funzione collega ogni elemento di A a esattamente un elemento di B.
Quando scriviamo f(1) = ½, stiamo dicendo che il numero 1 viene trasformato nel numero ½. Il numero 1 è chiamato controimmagine, mentre ½ è l'immagine di 1 attraverso la funzione f.
Le coppie (x, y) che otteniamo formano i punti che possiamo disegnare sul piano cartesiano per visualizzare la funzione. Per esempio, con y = x² - 2x otteniamo una parabola con vertice nel punto (1, -1).
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Per trovare il campo di esistenza (C.E.), segui sempre questa regola: identifica tutto ciò che può rendere la funzione indefinita e escludi quei valori dal dominio.
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Le funzioni trigonometriche come y = sen x, y = cos x hanno i loro domini specifici. Per y = tg x devi escludere i punti dove cos x = 0.
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Esempio: y = √/ + log. Devi imporre: argomento della radice ≥ 0, denominatore ≠ 0, e argomento del logaritmo > 0.
Per trovare le intersezioni con gli assi, risolvi due sistemi semplici: con l'asse y poni x = 0, con l'asse x poni y = 0. Questi punti ti aiuteranno a disegnare il grafico.
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Esempio con y = /: le intersezioni con l'asse x si trovano ponendo 9 - x² = 0, ottenendo x = ±3. L'intersezione con l'asse y (se esiste) si trova ponendo x = 0.
Per le funzioni fratte, studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore, poi combina i risultati con la regola dei segni. Ricorda: più per più fa più, più per meno fa meno!
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Per risolvere / > 0, studia: numeratore 1-x > 0 → x < 1, denominatore x²-2x > 0 → x < 0 ∪ x > 2. Combina i risultati con lo schema dei segni.
Il risultato finale ti dice che la funzione è positiva per x < 0 ∪ 1 < x < 2. Questo significa che il grafico sta sopra l'asse x in quegli intervalli.
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Una funzione è pari se f = f(x): il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Una funzione è dispari se f = -f(x): il grafico è simmetrico rispetto all'origine.
Esempio di funzione pari: y = -x⁴ + 2x². Calcolando f = -⁴ + 2² = -x⁴ + 2x² = f(x). Esempio di funzione dispari: y = 4x⁵ - x, dove f = -4x⁵ + x = -f(x).
Queste proprietà ti aiutano a disegnare il grafico più velocemente: se sai com'è fatto da una parte, puoi dedurre l'altra metà per simmetria.
🎨 Trucco del disegno: Se una funzione è pari, disegna solo la parte destra e specchia rispetto all'asse y!
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Una funzione iniettiva significa che ogni y corrisponde al massimo a un x (test della retta orizzontale). Una funzione suriettiva significa che ogni y del codominio ha almeno un x che lo genera.
Una funzione biunivoca è sia iniettiva che suriettiva: perfetta corrispondenza uno-a-uno. Queste funzioni sono importanti perché ammettono funzione inversa.
Le funzioni possono essere crescenti (se x₁ > x₂ allora f(x₁) > f(x₂)) o decrescenti (se x₁ > x₂ allora f(x₁) < f(x₂)). Le funzioni periodiche come seno e coseno si ripetono con un periodo fisso.
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È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Andrea
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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