Equazioni Fratte: Definizione e Metodo di Risoluzione

Le equazioni fratte sono equazioni in cui l'incognita compare anche nel denominatore. Questa pagina illustra il metodo di risoluzione passo-passo per questo tipo di equazioni.

Definizione: Un'equazione si dice fratta se l'incognita compare anche nel denominatore di una o più frazioni algebriche.

Il processo di risoluzione di un'equazione fratta segue questi passaggi fondamentali:

1. Osservare i denominatori ed eventualmente scomporli
2. Controllare se qualche frazione è semplificabile
3. Determinare il minimo comune denominatore $m.c.m.$ fra i denominatori
4. Eseguire i calcoli dei numeratori e sommare i termini simili
5. Eliminare i denominatori imponendo le condizioni di esistenza
6. Procedere come nelle altre equazioni

Esempio: Nell'equazione $x-1$/$x+2$ = 2/3, il campo di esistenza è x ≠ -2, e la soluzione si ottiene moltiplicando entrambi i membri per $x+2$ e risolvendo l'equazione risultante.

Highlight: È fondamentale verificare sempre che la soluzione trovata rispetti le condizioni di esistenza dell'equazione originale.

Esempi di Risoluzione di Equazioni Fratte

Questa pagina presenta esempi dettagliati di risoluzione di equazioni fratte, illustrando l'applicazione pratica dei concetti teorici.

Esempio: Consideriamo l'equazione 2/$x²-x$ + 4/$x²-1$ = 1.

Passi per la risoluzione:

1. Scomponiamo i denominatori: x$x-1$ e $x+1$$x-1$
2. Troviamo il minimo comune denominatore: x$x+1$$x-1$
3. Calcoliamo le condizioni di esistenza: x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ -1
4. Eliminiamo i denominatori e risolviamo l'equazione risultante

Highlight: In questo esempio, la soluzione x = 1 viene esclusa perché non rispetta le condizioni di esistenza, portando a nessuna soluzione valida per l'equazione.

Questi esempi dimostrano l'importanza di seguire attentamente ogni passaggio nella risoluzione delle equazioni fratte, prestando particolare attenzione alle condizioni di esistenza e alla verifica finale della soluzione.

Disequazioni Fratte: Concetti e Metodi di Risoluzione

Le disequazioni fratte sono un tipo particolare di disequazione in cui l'incognita appare sia nel numeratore che nel denominatore di una frazione algebrica. Questa pagina spiega i concetti chiave e i metodi di risoluzione per le disequazioni fratte.

Definizione: Una disequazione fratta è una disequazione in cui l'incognita compare nel denominatore di una o più frazioni algebriche.

Il processo di risoluzione di una disequazione fratta segue questi passaggi fondamentali:

1. Osservare i denominatori ed eventualmente scomporli
2. Controllare se qualche frazione è semplificabile
3. Determinare il m.c.m. fra i denominatori
4. Eseguire i calcoli dei numeratori e sommare i termini simili
5. Imporre le condizioni di esistenza del denominatore
6. Studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore

Highlight: Indipendentemente dal simbolo della disequazione, si pone sempre il numeratore e il denominatore maggiori di zero. Se nella disequazione compare anche il simbolo di uguaglianza, il numeratore va posto ≥ 0 e il denominatore > 0.

Esempio: Per la disequazione $3x+1$/$x+2$ - 5x/$x+2$ + 4 > 0, si studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore dopo aver portato tutto al primo membro.

La rappresentazione grafica dei segni è un metodo efficace per visualizzare e risolvere le disequazioni fratte.

Risoluzione Grafica delle Disequazioni Fratte

Questa pagina illustra il metodo grafico per risolvere le disequazioni fratte, un approccio visuale che aiuta a comprendere meglio il comportamento della disequazione.

Il metodo grafico prevede i seguenti passaggi:

1. Determinare gli intervalli in cui il numeratore e il denominatore sono positivi
2. Rappresentare questi intervalli su un grafico di segni
3. Analizzare le combinazioni di segni per determinare la soluzione

Esempio: Per la disequazione $6x+7$/$x+2$ > 0, si studiano separatamente il numeratore $6x+7 > 0$ e il denominatore $x+2 > 0$.

Il grafico di segni viene costruito su tre rette orizzontali:

• Prima retta: punti critici in ordine crescente
• Seconda retta: segno del numeratore
• Terza retta: segno del denominatore

Highlight: La soluzione della disequazione si trova negli intervalli dove il prodotto dei segni del numeratore e del denominatore corrisponde al segno della disequazione originale.

Questo metodo grafico è particolarmente utile per visualizzare e comprendere le soluzioni delle disequazioni fratte, rendendo più intuitivo il processo di risoluzione.

Studio dei Segni nelle Disequazioni Fratte

Questa sezione si concentra sull'analisi dei segni nelle disequazioni fratte.

Vocabulary: La regola dei segni stabilisce che:

• $-$ × $-$ = +
• $+$ × $-$ = -
• $+$ × $+$ = +

Example: Per la disequazione 6x+7/x+2 > 0, si studiano separatamente i segni di numeratore e denominatore.

Risoluzione di Disequazioni con Simbolo ≥

Procedimento dettagliato per la risoluzione di disequazioni con il simbolo maggiore o uguale.

Highlight: È fondamentale rappresentare graficamente gli intervalli di soluzione su tre rette parallele.

Disequazioni con Simbolo <

Analisi specifica delle disequazioni con il simbolo minore.

Example: Per la disequazione $6x-3$/$12-2x$ < 0, si deve:

1. Scomporre il denominatore
2. Studiare il segno del numeratore
3. Analizzare il segno del denominatore

Disequazioni con Simbolo ≤

Procedimento per la risoluzione di disequazioni con il simbolo minore o uguale.

Highlight: La soluzione finale deve essere espressa in forma di intervalli.

Introduzione alle Frazioni Algebriche

Le frazioni algebriche sono un concetto fondamentale in algebra, definite come il rapporto tra due espressioni letterali. Questa pagina fornisce una spiegazione dettagliata delle frazioni algebriche e delle loro proprietà principali.

Definizione: Una frazione algebrica è un rapporto tra due espressioni letterali, rappresentato come A$x$/B$x$, dove A$x$ e B$x$ sono polinomi.

Le condizioni di esistenza di una frazione algebrica sono cruciali e rappresentano l'insieme delle disuguaglianze che l'incognita deve soddisfare affinché il denominatore non risulti nullo.

Esempio: Per la frazione x/$2x+3$, la condizione di esistenza è 2x+3 ≠ 0, ovvero x ≠ -3/2.

La riduzione ai minimi termini è un passaggio importante nella manipolazione delle frazioni algebriche. Questo processo coinvolge la scomposizione e la semplificazione dei fattori comuni tra numeratore e denominatore.

Highlight: Le operazioni tra frazioni algebriche seguono regole simili a quelle delle frazioni numeriche, ma richiedono particolare attenzione alle variabili e alle condizioni di esistenza.