Il Piano Cartesiano e la Retta
Il piano cartesiano รจ un sistema di riferimento bidimensionale essenziale per la geometria analitica. ร composto da due assi perpendicolari, l'asse delle ascisse (x) e l'asse delle ordinate (y), che si intersecano nell'origine formando quattro quadranti. Questo sistema permette di rappresentare punti, segmenti e rette utilizzando coordinate numeriche.
Definizione: Le coordinate di un punto sono rappresentate da una coppia ordinata (x,y) che indica la sua posizione rispetto agli assi. Ad esempio, A(3,4) si trova 3 unitร a destra sull'asse x e 4 unitร in alto sull'asse y.
Per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano, si utilizza la formula generale basata sul teorema di Pitagora:
Formula: AB = โ[(xโ-xโ)ยฒ + (yโ-yโ)ยฒ]
Questa formula si applica a segmenti obliqui. Per segmenti orizzontali o verticali, si calcola semplicemente la differenza tra le coordinate x o y rispettivamente.
Esempio: Per i punti A(3,-1) e B(-2,2), la distanza รจ:
AB = โ[(-2-3)ยฒ + (2-(-1))ยฒ] = โ(25 + 9) = โ34
Il punto medio di un segmento รจ un concetto importante che divide esattamente a metร un segmento. Le sue coordinate si calcolano con la seguente formula:
Formula: xโ = (xโ + xโ)/2, yโ = (yโ + yโ)/2
Esempio: Per il segmento AB con A(3,2) e B(-1,4), il punto medio M ha coordinate:
xโ = (3 + (-1))/2 = 1, yโ = (2 + 4)/2 = 3
Quindi M(1,3)
Le rette nel piano cartesiano possono essere rappresentate attraverso le loro equazioni. L'equazione generale di una retta รจ y = mx + q, dove:
- m รจ il coefficiente angolare che determina la pendenza della retta
- q รจ l'intercetta, ovvero il punto in cui la retta interseca l'asse y
Highlight: Per una retta passante per l'origine, q = 0 e l'equazione si semplifica in y = mx.
Esistono casi particolari di rette:
- Retta orizzontale (parallela all'asse x): y = q
- Retta verticale (parallela all'asse y): x = h
Per verificare se un punto appartiene a una retta, si sostituiscono le sue coordinate nell'equazione della retta. Se l'uguaglianza รจ soddisfatta, il punto giace sulla retta.
Esempio: Per la retta y = -5x e il punto B(-1,5):
y = -5(-1) = 5
Poichรฉ 5 = 5, il punto B(-1,5) appartiene alla retta.
Questi concetti fondamentali del piano cartesiano e delle rette sono essenziali per risolvere problemi di geometria analitica e comprendere le relazioni tra oggetti geometrici nel piano.