Il Piano Cartesiano e la Retta

Il piano cartesiano è un sistema di riferimento bidimensionale essenziale per la geometria analitica. È composto da due assi perpendicolari, l'asse delle ascisse (x) e l'asse delle ordinate (y), che si intersecano nell'origine formando quattro quadranti. Questo sistema permette di rappresentare punti, segmenti e rette utilizzando coordinate numeriche.

Definizione: Le coordinate di un punto sono rappresentate da una coppia ordinata (x,y) che indica la sua posizione rispetto agli assi. Ad esempio, A(3,4) si trova 3 unità a destra sull'asse x e 4 unità in alto sull'asse y.

Per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano, si utilizza la formula generale basata sul teorema di Pitagora:

Formula: AB = √[(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²]

Questa formula si applica a segmenti obliqui. Per segmenti orizzontali o verticali, si calcola semplicemente la differenza tra le coordinate x o y rispettivamente.

Esempio: Per i punti A(3,-1) e B(-2,2), la distanza è: AB = √[(-2-3)² + (2-(-1))²] = √(25 + 9) = √34

Il punto medio di un segmento è un concetto importante che divide esattamente a metà un segmento. Le sue coordinate si calcolano con la seguente formula:

Formula: xₘ = (x₁ + x₂)/2, yₘ = (y₁ + y₂)/2

Esempio: Per il segmento AB con A(3,2) e B(-1,4), il punto medio M ha coordinate: xₘ = (3 + (-1))/2 = 1, yₘ = (2 + 4)/2 = 3 Quindi M(1,3)

Le rette nel piano cartesiano possono essere rappresentate attraverso le loro equazioni. L'equazione generale di una retta è y = mx + q, dove:

• m è il coefficiente angolare che determina la pendenza della retta
• q è l'intercetta, ovvero il punto in cui la retta interseca l'asse y

Highlight: Per una retta passante per l'origine, q = 0 e l'equazione si semplifica in y = mx.

Esistono casi particolari di rette:

• Retta orizzontale (parallela all'asse x): y = q
• Retta verticale (parallela all'asse y): x = h

Per verificare se un punto appartiene a una retta, si sostituiscono le sue coordinate nell'equazione della retta. Se l'uguaglianza è soddisfatta, il punto giace sulla retta.

Esempio: Per la retta y = -5x e il punto B(-1,5): y = -5(-1) = 5 Poiché 5 = 5, il punto B(-1,5) appartiene alla retta.

Questi concetti fondamentali del piano cartesiano e delle rette sono essenziali per risolvere problemi di geometria analitica e comprendere le relazioni tra oggetti geometrici nel piano.