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Come Calcolare la Distanza tra Due Punti e il Punto Medio nel Piano Cartesiano

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13/09/2022

Matematica

Il piano Cartesiano

Come Calcolare la Distanza tra Due Punti e il Punto Medio nel Piano Cartesiano

Il piano cartesiano รจ un sistema di coordinate bidimensionale fondamentale per la geometria analitica. Consente di rappresentare punti, segmenti e rette utilizzando coppie di numeri.

Punti chiave:

  • Composto da due assi perpendicolari (x e y) che si intersecano nell'origine
  • Suddiviso in quattro quadranti
  • Permette di calcolare distanze tra punti e trovare punti medi
  • Consente di rappresentare e analizzare rette attraverso le loro equazioni
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  • Composto da due assi perpendicolari (x e y) che si intersecano nell'origine
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Il Piano Cartesiano e la Retta
il piano cartesiano e composto da:
la distanza tra 2 punti
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Il Piano Cartesiano e la Retta

Il piano cartesiano รจ un sistema di riferimento bidimensionale essenziale per la geometria analitica. รˆ composto da due assi perpendicolari, l'asse delle ascisse (x) e l'asse delle ordinate (y), che si intersecano nell'origine formando quattro quadranti. Questo sistema permette di rappresentare punti, segmenti e rette utilizzando coordinate numeriche.

Definizione: Le coordinate di un punto sono rappresentate da una coppia ordinata (x,y) che indica la sua posizione rispetto agli assi. Ad esempio, A(3,4) si trova 3 unitร  a destra sull'asse x e 4 unitร  in alto sull'asse y.

Per calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano, si utilizza la formula generale basata sul teorema di Pitagora:

Formula: AB = โˆš[(xโ‚-xโ‚‚)ยฒ + (yโ‚-yโ‚‚)ยฒ]

Questa formula si applica a segmenti obliqui. Per segmenti orizzontali o verticali, si calcola semplicemente la differenza tra le coordinate x o y rispettivamente.

Esempio: Per i punti A(3,-1) e B(-2,2), la distanza รจ: AB = โˆš[(-2-3)ยฒ + (2-(-1))ยฒ] = โˆš(25 + 9) = โˆš34

Il punto medio di un segmento รจ un concetto importante che divide esattamente a metร  un segmento. Le sue coordinate si calcolano con la seguente formula:

Formula: xโ‚˜ = (xโ‚ + xโ‚‚)/2, yโ‚˜ = (yโ‚ + yโ‚‚)/2

Esempio: Per il segmento AB con A(3,2) e B(-1,4), il punto medio M ha coordinate: xโ‚˜ = (3 + (-1))/2 = 1, yโ‚˜ = (2 + 4)/2 = 3 Quindi M(1,3)

Le rette nel piano cartesiano possono essere rappresentate attraverso le loro equazioni. L'equazione generale di una retta รจ y = mx + q, dove:

  • m รจ il coefficiente angolare che determina la pendenza della retta
  • q รจ l'intercetta, ovvero il punto in cui la retta interseca l'asse y

Highlight: Per una retta passante per l'origine, q = 0 e l'equazione si semplifica in y = mx.

Esistono casi particolari di rette:

  • Retta orizzontale (parallela all'asse x): y = q
  • Retta verticale (parallela all'asse y): x = h

Per verificare se un punto appartiene a una retta, si sostituiscono le sue coordinate nell'equazione della retta. Se l'uguaglianza รจ soddisfatta, il punto giace sulla retta.

Esempio: Per la retta y = -5x e il punto B(-1,5): y = -5(-1) = 5 Poichรฉ 5 = 5, il punto B(-1,5) appartiene alla retta.

Questi concetti fondamentali del piano cartesiano e delle rette sono essenziali per risolvere problemi di geometria analitica e comprendere le relazioni tra oggetti geometrici nel piano.

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