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1021
โข
2 gen 2026
โข
Vitto ๐ฑ
@_.vvittooo._
La trigonometria puรฒ sembrare complessa, ma in realtร รจ solo... Mostra di piรน
Immagina un cerchio perfetto con centro nell'origine degli assi e raggio sempre uguale a 1 - questa รจ la circonferenza trigonometrica, il tuo migliore amico per capire la trigonometria!
Tutto inizia dal raggio OA che punta verso destra. Da qui parti sempre e ti muovi in senso antiorario per trovare gli angoli positivi. ร come girare la lancetta di un orologio al contrario!
La cosa furba รจ che non puoi usare i normali gradi sul piano cartesiano. Serve una nuova unitร di misura: il radiante. Un radiante รจ un angolo che "abbraccia" un pezzo di circonferenza lungo quanto il raggio stesso. Siccome il raggio รจ 1, l'intera circonferenza misura 2ฯ radianti (che corrispondono ai 360ยฐ).
๐ก Ricorda: Gli angoli 0ยฐ e 360ยฐ sono lo stesso punto sulla circonferenza!
Questa tabella รจ oro puro per i tuoi esami! Contiene tutti i valori delle funzioni trigonometriche per gli angoli piรน importanti che incontrerai.
Gli angoli fondamentali sono 30ยฐ, 45ยฐ, 60ยฐ, 90ยฐ e i loro "fratelli" negli altri quadranti. Nota come i valori di seno e coseno si ripetono con segni diversi a seconda del quadrante.
Per esempio, sen 30ยฐ = 1/2 e cos 30ยฐ = โ3/2. Questi stessi valori li ritrovi a 150ยฐ, ma con segni diversi! Il trucco รจ capire in quale quadrante ti trovi.
๐ก Trucco veloce: "N.E." significa "Non Esiste" - succede quando dividi per zero!
Passare da gradi a radianti (e viceversa) รจ facilissimo con la proporzione magica: ฮฑยฐ : ฮฑสณ = 180 : ฯ
Le formule dirette sono: ฮฑสณ = (ฮฑยฐ ร ฯ)/180 e ฮฑยฐ = (ฮฑสณ ร 180)/ฯ. Memorizzale perchรฉ le userai tantissimo!
Esempio pratico: 15ยฐ = (15 ร ฯ)/180 = ฯ/12 radianti. Oppure al contrario: 4ฯ/7 radianti = (4ฯ/7 ร 180)/ฯ = 144ยฐ.
๐ก Consiglio: Esercitati con questi calcoli finchรฉ non diventano automatici!
Il seno di un angolo รจ l'altezza del punto sulla circonferenza (coordinata y), mentre il coseno รจ la sua distanza dall'asse y (coordinata x). Semplice, no?
Il bello รจ che seno e coseno sono sempre compresi tra -1 e +1. Non potranno mai uscire da questo intervallo!
La relazione fondamentale Senยฒฮฑ + Cosยฒฮฑ = 1 deriva dal teorema di Pitagora. ร la formula piรน importante della trigonometria - impara questa e sei giร a metร strada! Entrambe le funzioni si ripetono ogni 360ยฐ (sono periodiche).
๐ก Visualizza: Pensa al seno come "quanto vai su/giรน" e al coseno come "quanto vai destra/sinistra"!
La tangente รจ semplicemente Tgฮฑ = senฮฑ/cosฮฑ. Attenzione: il coseno deve essere diverso da zero, altrimenti la tangente non esiste!
Geometricamente, tracci una retta tangente alla circonferenza nel punto A. Dove questa retta incontra il prolungamento del raggio che forma l'angolo, lรฌ trovi il valore della tangente.
A differenza di seno e coseno, la tangente puรฒ assumere qualsiasi valore reale . Per questo motivo Tg 90ยฐ = +โ e Tg 270ยฐ = -โ. La tangente si ripete ogni 180ยฐ, non ogni 360ยฐ!
๐ก Attenzione: Quando il coseno รจ zero, la tangente "esplode" verso l'infinito!
Quando conosci uno tra seno e coseno, puoi sempre trovare l'altro usando la relazione fondamentale Senยฒฮฑ + Cosยฒฮฑ = 1.
Il procedimento รจ standard: sostituisci il valore noto, eleva al quadrato, porta tutto da una parte e estrai la radice. Il trucco sta nel decidere il segno in base al quadrante!
Nell'esempio: dato cos ฮฑ = -4/5 con ฯ < ฮฑ < 3ฯ/2 (terzo quadrante), ottieni senยฒฮฑ = 1 - 16/25 = 9/25, quindi sen ฮฑ = ยฑ3/5. Siccome siamo nel terzo quadrante dove il seno รจ negativo, sen ฮฑ = -3/5.
๐ก Regola d'oro: Controlla sempre i segni in base al quadrante!
Quando hai la tangente e devi trovare seno e coseno, usi un sistema di due equazioni: la definizione di tangente e la relazione fondamentale.
Dall'esempio con Tg ฮฑ = -3 e 90ยฐ < ฮฑ < 180ยฐ: esprimi il seno in funzione del coseno , sostituisci nella relazione fondamentale e risolvi per il coseno.
Ottieni cosยฒฮฑ = 1/10, quindi cos ฮฑ = ยฑโ10/10. Nel secondo quadrante il coseno รจ negativo, quindi cos ฮฑ = -โ10/10 e sen ฮฑ = 3โ10/10.
๐ก Strategia: Prima trova una funzione, poi usa la relazione per trovare l'altra!
Le equazioni trigonometriche ti chiedono: "Per quali angoli x questa uguaglianza รจ vera?" La risposta include sempre la periodicitร .
Per senx = 1/2, gli angoli sono 30ยฐ e 150ยฐ (supplementari tra loro). In radianti: x = ฯ/6 + 2kฯ e x = 5ฯ/6 + 2kฯ.
Casi speciali: senx = 0 ha soluzioni ogni ฯ , mentre senx = 1 ha solo una famiglia di soluzioni . Quasi sempre ci sono due famiglie di soluzioni da scrivere!
๐ก Pattern: Cerca l'angolo principale, poi il suo supplementare, infine aggiungi la periodicitร !
Quando il valore non รจ nella tabella , usi le funzioni inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente.
La funzione arcoseno trasforma un numero tra -1 e 1 nell'angolo corrispondente. Scrivi x = arcsen(1/7) per la prima soluzione.
Per la seconda soluzione (l'angolo supplementare), usi la formula: x = + 2kฯ. Non dimenticare mai di aggiungere + 2kฯ per la periodicitร !
๐ก Ricorda: Le funzioni inverse ti salvano quando i valori non sono "belli"!
Per cosx = 1/2, gli angoli sono ฯ/6 e -ฯ/6 (sono simmetrici rispetto all'asse x, non supplementari come per il seno!).
Puoi scrivere le soluzioni in due modi: x = ฯ/6 + 2kฯ e x = -ฯ/6 + 2kฯ, oppure in forma compatta: x = ยฑฯ/6 + 2kฯ.
La differenza fondamentale รจ che per il coseno gli angoli sono simmetrici rispetto all'asse x, mentre per il seno sono supplementari.
๐ก Distinzione chiave: Seno โ angoli supplementari; Coseno โ angoli simmetrici!
Il nostro assistente AI รจ costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente รจ in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
ร possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sรฌ, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! ร molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
ร bellissima questa app, la adoro. ร utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone รจ molto utile perchรจ posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione รจ semplicemente fantastica! Tutto ciรฒ che devo fare รจ inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA
Aurora
utente Android
Lโapp funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho lโabbonamento ma la parte gratuita รจ sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo รจ ormai poco, mi sta aiutando molto perchรฉ piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi giร fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app รจ una delle migliori, nientโaltro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! ร molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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Anastasia
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Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA
Aurora
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Martina
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Chiara
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Questa app รจ una delle migliori, nientโaltro da dire.
Andrea
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Vitto ๐ฑ
@_.vvittooo._
La trigonometria puรฒ sembrare complessa, ma in realtร รจ solo questione di capire alcune regole fondamentali e memorizzare qualche valore chiave. Vedrai che una volta comprese le basi della circonferenza trigonometrica e le funzioni principali, tutto diventerร piรน chiaro!
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Immagina un cerchio perfetto con centro nell'origine degli assi e raggio sempre uguale a 1 - questa รจ la circonferenza trigonometrica, il tuo migliore amico per capire la trigonometria!
Tutto inizia dal raggio OA che punta verso destra. Da qui parti sempre e ti muovi in senso antiorario per trovare gli angoli positivi. ร come girare la lancetta di un orologio al contrario!
La cosa furba รจ che non puoi usare i normali gradi sul piano cartesiano. Serve una nuova unitร di misura: il radiante. Un radiante รจ un angolo che "abbraccia" un pezzo di circonferenza lungo quanto il raggio stesso. Siccome il raggio รจ 1, l'intera circonferenza misura 2ฯ radianti (che corrispondono ai 360ยฐ).
๐ก Ricorda: Gli angoli 0ยฐ e 360ยฐ sono lo stesso punto sulla circonferenza!
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Gli angoli fondamentali sono 30ยฐ, 45ยฐ, 60ยฐ, 90ยฐ e i loro "fratelli" negli altri quadranti. Nota come i valori di seno e coseno si ripetono con segni diversi a seconda del quadrante.
Per esempio, sen 30ยฐ = 1/2 e cos 30ยฐ = โ3/2. Questi stessi valori li ritrovi a 150ยฐ, ma con segni diversi! Il trucco รจ capire in quale quadrante ti trovi.
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Passare da gradi a radianti (e viceversa) รจ facilissimo con la proporzione magica: ฮฑยฐ : ฮฑสณ = 180 : ฯ
Le formule dirette sono: ฮฑสณ = (ฮฑยฐ ร ฯ)/180 e ฮฑยฐ = (ฮฑสณ ร 180)/ฯ. Memorizzale perchรฉ le userai tantissimo!
Esempio pratico: 15ยฐ = (15 ร ฯ)/180 = ฯ/12 radianti. Oppure al contrario: 4ฯ/7 radianti = (4ฯ/7 ร 180)/ฯ = 144ยฐ.
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La tangente รจ semplicemente Tgฮฑ = senฮฑ/cosฮฑ. Attenzione: il coseno deve essere diverso da zero, altrimenti la tangente non esiste!
Geometricamente, tracci una retta tangente alla circonferenza nel punto A. Dove questa retta incontra il prolungamento del raggio che forma l'angolo, lรฌ trovi il valore della tangente.
A differenza di seno e coseno, la tangente puรฒ assumere qualsiasi valore reale . Per questo motivo Tg 90ยฐ = +โ e Tg 270ยฐ = -โ. La tangente si ripete ogni 180ยฐ, non ogni 360ยฐ!
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Nell'esempio: dato cos ฮฑ = -4/5 con ฯ < ฮฑ < 3ฯ/2 (terzo quadrante), ottieni senยฒฮฑ = 1 - 16/25 = 9/25, quindi sen ฮฑ = ยฑ3/5. Siccome siamo nel terzo quadrante dove il seno รจ negativo, sen ฮฑ = -3/5.
๐ก Regola d'oro: Controlla sempre i segni in base al quadrante!
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Dall'esempio con Tg ฮฑ = -3 e 90ยฐ < ฮฑ < 180ยฐ: esprimi il seno in funzione del coseno , sostituisci nella relazione fondamentale e risolvi per il coseno.
Ottieni cosยฒฮฑ = 1/10, quindi cos ฮฑ = ยฑโ10/10. Nel secondo quadrante il coseno รจ negativo, quindi cos ฮฑ = -โ10/10 e sen ฮฑ = 3โ10/10.
๐ก Strategia: Prima trova una funzione, poi usa la relazione per trovare l'altra!
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Le equazioni trigonometriche ti chiedono: "Per quali angoli x questa uguaglianza รจ vera?" La risposta include sempre la periodicitร .
Per senx = 1/2, gli angoli sono 30ยฐ e 150ยฐ (supplementari tra loro). In radianti: x = ฯ/6 + 2kฯ e x = 5ฯ/6 + 2kฯ.
Casi speciali: senx = 0 ha soluzioni ogni ฯ , mentre senx = 1 ha solo una famiglia di soluzioni . Quasi sempre ci sono due famiglie di soluzioni da scrivere!
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Quando il valore non รจ nella tabella , usi le funzioni inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente.
La funzione arcoseno trasforma un numero tra -1 e 1 nell'angolo corrispondente. Scrivi x = arcsen(1/7) per la prima soluzione.
Per la seconda soluzione (l'angolo supplementare), usi la formula: x = + 2kฯ. Non dimenticare mai di aggiungere + 2kฯ per la periodicitร !
๐ก Ricorda: Le funzioni inverse ti salvano quando i valori non sono "belli"!
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Per cosx = 1/2, gli angoli sono ฯ/6 e -ฯ/6 (sono simmetrici rispetto all'asse x, non supplementari come per il seno!).
Puoi scrivere le soluzioni in due modi: x = ฯ/6 + 2kฯ e x = -ฯ/6 + 2kฯ, oppure in forma compatta: x = ยฑฯ/6 + 2kฯ.
La differenza fondamentale รจ che per il coseno gli angoli sono simmetrici rispetto all'asse x, mentre per il seno sono supplementari.
๐ก Distinzione chiave: Seno โ angoli supplementari; Coseno โ angoli simmetrici!
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Strumenti Intelligenti NUOVO
Trasforma questi appunti in: โ 50+ Domande di Pratica โ Flashcard Interattive โ Simulazione Completa d'Esame โ Schemi per Saggi
In questo pdf: -definizione di circonferenza goniometria -seno e coseno ed i loro andamenti -tangente e cotangente -secante e cosecante -angoli associati -formule goniometriche -equazioni elementari -equazioni lineari -equazioni omogenee -disequazioni
MatematicaGoniometria angoli associati (angoli opposti, angoli supplementari, angoli complementari, angoli la cui somma fa 270ยฐ, angoli esplementari, angoli che differiscono di ฯ, angoli che differiscono di ฯ/2 e angoli che differiscono di 3/2ฯ)
Matematicatrovare il periodo di una funzione goniometrica
MatematicaFormulario
MatematicaGoniometria
MatematicaGoniometria,seno,coseno,tangente,cotangente,arcsin,arccos,angoli associati e grafici
MatematicaApp Store
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L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! ร molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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ร bellissima questa app, la adoro. ร utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone รจ molto utile perchรจ posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione รจ semplicemente fantastica! Tutto ciรฒ che devo fare รจ inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA
Aurora
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Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo รจ ormai poco, mi sta aiutando molto perchรฉ piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi giร fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app รจ una delle migliori, nientโaltro da dire.
Andrea
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L'applicazione รจ molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerรฒ sicuramente l'app per i compiti in classe! ร molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione รจ davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, รจ il francese e l'app ha cosรฌ tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perchรฉ l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app รจ L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone รจ molto utile perchรจ posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Marianna
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Knowunity รจ un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" รจ almeno per me molto utile, perchรฉ a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciรฒ che non รจ chiaro! Posso studiare piรน velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi รจ una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity รจ PERFETTA
Aurora
utente Android
Lโapp funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho lโabbonamento ma la parte gratuita รจ sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo รจ ormai poco, mi sta aiutando molto perchรฉ piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi giร fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app รจ una delle migliori, nientโaltro da dire.
Andrea
utente iOS
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