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Impara la Parabola: Traslazioni, Dilatazioni e Formule Semplici!

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Jessica Cheorleu

08/09/2022

Matematica

La parabola

Impara la Parabola: Traslazioni, Dilatazioni e Formule Semplici!

La parabola: caratteristiche, equazioni e trasformazioni geometriche

Questo documento esplora in dettaglio le proprietà e le equazioni delle parabole, concentrandosi sulle loro caratteristiche geometriche e algebriche. Vengono analizzate le equazioni delle parabole con traslazione e dilatazione, la simmetria e concavità delle funzioni paraboliche, e il concetto di parabola come luogo geometrico dei punti equidistanti direttrice e fuoco.

Punti chiave:

  • Definizione della parabola come luogo geometrico
  • Equazione generale e casi particolari
  • Trasformazioni geometriche applicate alle parabole
  • Significato dei coefficienti nell'equazione della parabola
  • Simmetria e concavità delle funzioni paraboliche
...

08/09/2022

1833

LA PARABOLA
Definizione luogo geometrico: luogo dei punti equidistanti dalla retta D (direttrice) e dal punto F (fuoco).
y=ax²+bx+c
Asse di

Vedi

Trasformazioni Geometriche e Parabole Traslate

Le trasformazioni geometriche sono fondamentali per comprendere come le funzioni, incluse le parabole, possono essere modificate nel piano cartesiano.

Definizione: Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.

Le trasformazioni si dividono in:

  • Isometrie: conservano distanze, angoli e superfici
  • Non isometrie: modificano alcune proprietà geometriche

La traslazione è un esempio di isometria, definita da un vettore che sposta ogni punto della figura di una distanza e direzione fisse.

Per le funzioni, incluse le parabole, le traslazioni si esprimono come:

  • Traslazione orizzontale: y = fx±ax ± a +a sposta la funzione verso sinistra -a sposta la funzione verso destra
  • Traslazione verticale: y = fxx ± b +b sposta la funzione verso l'alto -b sposta la funzione verso il basso

Esempio: La traslazione di una parabola con asse parallelo all'asse y si ottiene con un vettore Vxv,yvxv, yv, dove:

  • xv = -b/2a2a
  • yv = -b24acb²-4ac/4a4a

L'equazione di una parabola traslata diventa: y = axxvx-xv² + yv

Highlight: La formula della traslazione della parabola permette di spostare la curva nel piano mantenendo la sua forma e orientamento.

LA PARABOLA
Definizione luogo geometrico: luogo dei punti equidistanti dalla retta D (direttrice) e dal punto F (fuoco).
y=ax²+bx+c
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Dilatazioni, Simmetrie e Significato dei Coefficienti

Questo capitolo esplora ulteriori trasformazioni geometriche e il significato dei coefficienti nell'equazione della parabola.

Le dilatazioni sono trasformazioni che modificano le dimensioni di una figura:

  • Dilatazione orizzontale: y = fxmxm m < 1 produce una dilatazione m > 1 produce una contrazione
  • Dilatazione verticale: y = nfxx n > 1 produce una dilatazione n < 1 produce una contrazione

Vocabulary: La simmetria è un'isometria che riflette una figura rispetto a un asse o un punto.

Tipi di simmetria:

  • Rispetto all'asse x: y' = -y
  • Rispetto all'asse y: x' = -x
  • Rispetto all'origine: fx-x = -fxx funzionedisparifunzione dispari

Il significato dei coefficienti nell'equazione y = ax² + bx + c:

Highlight: Il coefficiente 'a' determina la concavità e l'apertura della parabola:

  • a > 0: concavità verso l'alto, vertice è il punto più basso
  • a < 0: concavità verso il basso, vertice è il punto più alto

Il coefficiente 'b' influenza la posizione dell'asse di simmetria:

  • b = 0: l'asse di simmetria coincide con l'asse y
  • ab > 0: l'asse è nel semipiano delle ascisse negative
  • ab < 0: l'asse è nel semipiano delle ascisse positive

Example: Quando una parabola ha il vertice sull'asse x, il suo coefficiente c nell'equazione y = ax² + bx + c è uguale a zero.

Il coefficiente 'c' rappresenta l'ordinata del punto di intersezione tra la parabola e l'asse y.

Quote: "Geometricamente: ciò che influenza l'apertura della parabola è la reciproca distanza tra fuoco e direttrice."

Questa affermazione sottolinea l'importanza della relazione tra il fuoco della parabola e la sua direttrice nel determinare la forma complessiva della curva.

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

1833

8 set 2022

3 pagine

Impara la Parabola: Traslazioni, Dilatazioni e Formule Semplici!

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Jessica Cheorleu

@jess15

La parabola: caratteristiche, equazioni e trasformazioni geometriche

Questo documento esplora in dettaglio le proprietà e le equazioni delle parabole, concentrandosi sulle loro caratteristiche geometriche e algebriche. Vengono analizzate le equazioni delle parabole con traslazione e dilatazione, la simmetria e... Mostra di più

LA PARABOLA
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Trasformazioni Geometriche e Parabole Traslate

Le trasformazioni geometriche sono fondamentali per comprendere come le funzioni, incluse le parabole, possono essere modificate nel piano cartesiano.

Definizione: Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.

Le trasformazioni si dividono in:

  • Isometrie: conservano distanze, angoli e superfici
  • Non isometrie: modificano alcune proprietà geometriche

La traslazione è un esempio di isometria, definita da un vettore che sposta ogni punto della figura di una distanza e direzione fisse.

Per le funzioni, incluse le parabole, le traslazioni si esprimono come:

  • Traslazione orizzontale: y = fx±ax ± a +a sposta la funzione verso sinistra -a sposta la funzione verso destra
  • Traslazione verticale: y = fxx ± b +b sposta la funzione verso l'alto -b sposta la funzione verso il basso

Esempio: La traslazione di una parabola con asse parallelo all'asse y si ottiene con un vettore Vxv,yvxv, yv, dove:

  • xv = -b/2a2a
  • yv = -b24acb²-4ac/4a4a

L'equazione di una parabola traslata diventa: y = axxvx-xv² + yv

Highlight: La formula della traslazione della parabola permette di spostare la curva nel piano mantenendo la sua forma e orientamento.

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Dilatazioni, Simmetrie e Significato dei Coefficienti

Questo capitolo esplora ulteriori trasformazioni geometriche e il significato dei coefficienti nell'equazione della parabola.

Le dilatazioni sono trasformazioni che modificano le dimensioni di una figura:

  • Dilatazione orizzontale: y = fxmxm m < 1 produce una dilatazione m > 1 produce una contrazione
  • Dilatazione verticale: y = nfxx n > 1 produce una dilatazione n < 1 produce una contrazione

Vocabulary: La simmetria è un'isometria che riflette una figura rispetto a un asse o un punto.

Tipi di simmetria:

  • Rispetto all'asse x: y' = -y
  • Rispetto all'asse y: x' = -x
  • Rispetto all'origine: fx-x = -fxx funzionedisparifunzione dispari

Il significato dei coefficienti nell'equazione y = ax² + bx + c:

Highlight: Il coefficiente 'a' determina la concavità e l'apertura della parabola:

  • a > 0: concavità verso l'alto, vertice è il punto più basso
  • a < 0: concavità verso il basso, vertice è il punto più alto

Il coefficiente 'b' influenza la posizione dell'asse di simmetria:

  • b = 0: l'asse di simmetria coincide con l'asse y
  • ab > 0: l'asse è nel semipiano delle ascisse negative
  • ab < 0: l'asse è nel semipiano delle ascisse positive

Example: Quando una parabola ha il vertice sull'asse x, il suo coefficiente c nell'equazione y = ax² + bx + c è uguale a zero.

Il coefficiente 'c' rappresenta l'ordinata del punto di intersezione tra la parabola e l'asse y.

Quote: "Geometricamente: ciò che influenza l'apertura della parabola è la reciproca distanza tra fuoco e direttrice."

Questa affermazione sottolinea l'importanza della relazione tra il fuoco della parabola e la sua direttrice nel determinare la forma complessiva della curva.

LA PARABOLA
Definizione luogo geometrico: luogo dei punti equidistanti dalla retta D (direttrice) e dal punto F (fuoco).
y=ax²+bx+c
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La Parabola: Definizione e Caratteristiche Principali

La parabola è una curva geometrica fondamentale in matematica. Questo capitolo introduce la definizione di parabola e le sue componenti essenziali.

Definizione: La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta fissa chiamata direttrice e da un punto fisso chiamato fuoco.

L'equazione generale della parabola è y = ax² + bx + c, dove:

  • a determina la concavità e l'apertura della parabola
  • b è legato alla posizione dell'asse di simmetria
  • c rappresenta l'intersezione con l'asse y

Highlight: L'asse di simmetria della parabola è la retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice, dividendo la parabola in due parti simmetriche.

Il vertice della parabola è il punto dell'asse di simmetria che appartiene alla curva.

Esempio: Nel caso particolare di una parabola con vertice nell'origine 0,00,0, l'equazione si semplifica a y = ax², con l'asse di simmetria coincidente con l'asse y.

Per una parabola con vertice nell'origine:

  • Il fuoco ha coordinate F0,1/4a0, 1/4a
  • La direttrice ha equazione y = -1/4a

Vocabulary: La direttrice della parabola è la retta fissa da cui tutti i punti della parabola sono equidistanti rispetto al fuoco.

Questa configurazione permette di derivare l'equazione della parabola utilizzando la definizione di luogo geometrico, dimostrando la relazione tra la forma della curva e la posizione del fuoco e della direttrice.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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