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1830
•
8 set 2022
•
Jessica Cheorleu
@jess15
La parabola: caratteristiche, equazioni e trasformazioni geometriche
Questo documento esplora... Mostra di più
Le trasformazioni geometriche sono fondamentali per comprendere come le funzioni, incluse le parabole, possono essere modificate nel piano cartesiano.
Definizione: Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.
Le trasformazioni si dividono in:
La traslazione è un esempio di isometria, definita da un vettore che sposta ogni punto della figura di una distanza e direzione fisse.
Per le funzioni, incluse le parabole, le traslazioni si esprimono come:
Esempio: La traslazione di una parabola con asse parallelo all'asse y si ottiene con un vettore V, dove:
- xv = -b/
- yv = -/
L'equazione di una parabola traslata diventa: y = a² + yv
Highlight: La formula della traslazione della parabola permette di spostare la curva nel piano mantenendo la sua forma e orientamento.
Questo capitolo esplora ulteriori trasformazioni geometriche e il significato dei coefficienti nell'equazione della parabola.
Le dilatazioni sono trasformazioni che modificano le dimensioni di una figura:
Vocabulary: La simmetria è un'isometria che riflette una figura rispetto a un asse o un punto.
Tipi di simmetria:
Il significato dei coefficienti nell'equazione y = ax² + bx + c:
Highlight: Il coefficiente 'a' determina la concavità e l'apertura della parabola:
- a > 0: concavità verso l'alto, vertice è il punto più basso
- a < 0: concavità verso il basso, vertice è il punto più alto
Il coefficiente 'b' influenza la posizione dell'asse di simmetria:
Example: Quando una parabola ha il vertice sull'asse x, il suo coefficiente c nell'equazione y = ax² + bx + c è uguale a zero.
Il coefficiente 'c' rappresenta l'ordinata del punto di intersezione tra la parabola e l'asse y.
Quote: "Geometricamente: ciò che influenza l'apertura della parabola è la reciproca distanza tra fuoco e direttrice."
Questa affermazione sottolinea l'importanza della relazione tra il fuoco della parabola e la sua direttrice nel determinare la forma complessiva della curva.
La parabola è una curva geometrica fondamentale in matematica. Questo capitolo introduce la definizione di parabola e le sue componenti essenziali.
Definizione: La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta fissa chiamata direttrice e da un punto fisso chiamato fuoco.
L'equazione generale della parabola è y = ax² + bx + c, dove:
Highlight: L'asse di simmetria della parabola è la retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice, dividendo la parabola in due parti simmetriche.
Il vertice della parabola è il punto dell'asse di simmetria che appartiene alla curva.
Esempio: Nel caso particolare di una parabola con vertice nell'origine , l'equazione si semplifica a y = ax², con l'asse di simmetria coincidente con l'asse y.
Per una parabola con vertice nell'origine:
Vocabulary: La direttrice della parabola è la retta fissa da cui tutti i punti della parabola sono equidistanti rispetto al fuoco.
Questa configurazione permette di derivare l'equazione della parabola utilizzando la definizione di luogo geometrico, dimostrando la relazione tra la forma della curva e la posizione del fuoco e della direttrice.
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
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La parabola: caratteristiche, equazioni e trasformazioni geometriche
Questo documento esplora in dettaglio le proprietà e le equazioni delle parabole, concentrandosi sulle loro caratteristiche geometriche e algebriche. Vengono analizzate le equazioni delle parabole con traslazione e dilatazione, la simmetria e... Mostra di più
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Le trasformazioni geometriche sono fondamentali per comprendere come le funzioni, incluse le parabole, possono essere modificate nel piano cartesiano.
Definizione: Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.
Le trasformazioni si dividono in:
La traslazione è un esempio di isometria, definita da un vettore che sposta ogni punto della figura di una distanza e direzione fisse.
Per le funzioni, incluse le parabole, le traslazioni si esprimono come:
Esempio: La traslazione di una parabola con asse parallelo all'asse y si ottiene con un vettore V, dove:
- xv = -b/
- yv = -/
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Tipi di simmetria:
Il significato dei coefficienti nell'equazione y = ax² + bx + c:
Highlight: Il coefficiente 'a' determina la concavità e l'apertura della parabola:
- a > 0: concavità verso l'alto, vertice è il punto più basso
- a < 0: concavità verso il basso, vertice è il punto più alto
Il coefficiente 'b' influenza la posizione dell'asse di simmetria:
Example: Quando una parabola ha il vertice sull'asse x, il suo coefficiente c nell'equazione y = ax² + bx + c è uguale a zero.
Il coefficiente 'c' rappresenta l'ordinata del punto di intersezione tra la parabola e l'asse y.
Quote: "Geometricamente: ciò che influenza l'apertura della parabola è la reciproca distanza tra fuoco e direttrice."
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L'equazione generale della parabola è y = ax² + bx + c, dove:
Highlight: L'asse di simmetria della parabola è la retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice, dividendo la parabola in due parti simmetriche.
Il vertice della parabola è il punto dell'asse di simmetria che appartiene alla curva.
Esempio: Nel caso particolare di una parabola con vertice nell'origine , l'equazione si semplifica a y = ax², con l'asse di simmetria coincidente con l'asse y.
Per una parabola con vertice nell'origine:
Vocabulary: La direttrice della parabola è la retta fissa da cui tutti i punti della parabola sono equidistanti rispetto al fuoco.
Questa configurazione permette di derivare l'equazione della parabola utilizzando la definizione di luogo geometrico, dimostrando la relazione tra la forma della curva e la posizione del fuoco e della direttrice.
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Chiara
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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