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Guida agli Integrali: Esercizi Svolti, Formule e PDF Utili

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Arianna Battaglia

03/12/2022

Matematica

integrali

Guida agli Integrali: Esercizi Svolti, Formule e PDF Utili

Gli integrali indefiniti rappresentano uno strumento fondamentale del calcolo differenziale e integrale, essenziale per comprendere l'area sotto una curva e le primitive di una funzione.

Il concetto di integrale definito si basa sulla somma di Riemann e rappresenta l'area compresa tra una funzione e l'asse delle ascisse in un intervallo definito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce la connessione tra derivate e integrali, permettendo di calcolare l'area attraverso le primitive della funzione integranda.

Per risolvere gli integrali, esistono diverse tecniche fondamentali. L'integrazione per parti è utilizzata quando si devono integrare prodotti di funzioni, mentre l'integrazione di funzioni razionali fratte richiede la scomposizione in fratti semplici. Gli integrali immediati sono quelli che si possono risolvere direttamente utilizzando le formule base, come l'integrale di 2 o l'integrale di 3. Per casi più complessi, è fondamentale consultare le formule integrali indefiniti e le formule integrali definiti raccolte in apposite tabelle. Il metodo dei fratti semplici è particolarmente utile quando si affrontano integrali fratti esercizi svolti, dove la funzione razionale viene decomposta in somma di frazioni più semplici. La comprensione di questi concetti richiede una solida base teorica, supportata da esercizi pratici e esempi concreti, come quelli presenti negli integrali spiegazione pdf e negli integrali funzioni razionali fratte esercizi svolti pdf.

La padronanza di questi strumenti matematici è essenziale per affrontare problemi più complessi in analisi matematica e nelle applicazioni pratiche, dalla fisica all'ingegneria. La definizione integrale matematica fornisce il fondamento teorico necessario per comprendere questi concetti in modo rigoroso e approfondito.

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03/12/2022

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2' INTEGRALE
=D
LA PAMUTUA (= cioè l'integrale)
F(x) +C
Sn
F(x)
2) S x² dx
-
n dx
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PRAMUTI OF DI FUNZIONI ELEMENTARI
=
Integrali
INDEFINIT

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Introduzione agli Integrali Indefiniti e Definiti

Gli integrali indefiniti rappresentano uno strumento fondamentale del calcolo integrale, essenziale per comprendere come calcolare l'area sotto una curva e risolvere problemi di matematica avanzata. La comprensione degli integrali indefiniti immediati costituisce la base per affrontare calcoli più complessi.

Il concetto di integrale definito si basa sul teorema fondamentale del calcolo integrale, che stabilisce la relazione tra derivate e integrali. Quando si lavora con gli integrali, è fondamentale avere a disposizione una tabella integrali indefiniti per consultare rapidamente le formule più comuni.

Definizione: L'integrale indefinito di una funzione fxx è l'insieme di tutte le primitive di fxx, espresso come Fxx + C, dove C è una costante arbitraria.

La notazione standard per l'integrale indefinito è ∫fxxdx = Fxx + C, dove Fxx è una primitiva di fxx. Le formule integrali indefiniti più basilari includono:

  • ∫x^n dx = x(n+1x^(n+1)/n+1n+1 + C pern1per n≠-1
  • ∫e^x dx = e^x + C
  • 1/x1/x dx = ln|x| + C
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LA PAMUTUA (= cioè l'integrale)
F(x) +C
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Tecniche di Integrazione Avanzate

L'integrazione per parti rappresenta una tecnica fondamentale per risolvere integrali più complessi. Questa metodologia si basa sulla formula ∫u dv = uv - ∫v du, dove u e v sono funzioni opportunamente scelte.

Esempio: Per calcolare ∫x lnxx dx, si sceglie u = lnxx e dv = x dx, applicando la formula dell'integrazione per parti.

Gli integrali fratti esercizi svolti richiedono particolare attenzione, specialmente quando si tratta di integrali funzioni razionali fratte. Il metodo dei fratti semplici è essenziale per decomporre frazioni complesse in somme di frazioni più semplici.

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Integrazione di Funzioni Razionali Fratte

L'integrazione funzioni razionali fratte richiede una metodologia specifica basata sulla decomposizione in fratti semplici. Questo processo è particolarmente importante quando si affrontano integrali di funzioni razionali fratte con delta 0.

Evidenziazione: La decomposizione in fratti semplici richiede:

  1. Divisione tra polinomi senecessariose necessario
  2. Fattorizzazione del denominatore
  3. Determinazione dei coefficienti

Gli integrali di funzioni razionali fratte esercizi permettono di applicare queste tecniche in situazioni concrete. È fondamentale padroneggiare questi concetti per affrontare problemi più complessi.

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Applicazioni Pratiche e Casi Speciali

L'integrale di un numero o casi semplici come l'integrale di 2 o l'integrale di 3 rappresentano i primi passi verso la comprensione di integrali più complessi. Le formule integrali definiti trovano applicazione in numerosi contesti pratici.

Vocabolario: Il formulario integrali definiti pdf raccoglie le formule essenziali per:

  • Calcolo di aree
  • Volumi di solidi di rotazione
  • Lunghezze di curve
  • Superfici di rivoluzione

La padronanza degli integrali spiegazione pdf e della definizione integrale matematica è fondamentale per applicazioni in fisica, ingegneria e altre discipline scientifiche.

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Integrazione per Parti e Metodi Avanzati di Calcolo Integrale

L'integrazione per parti rappresenta uno dei metodi fondamentali per risolvere integrali indefiniti complessi. Questa tecnica si basa sul teorema fondamentale del calcolo integrale e viene utilizzata quando abbiamo il prodotto di due funzioni.

La formula base dell'integrazione per parti è: ∫fxxg'xxdx = fxxgxx - ∫f'xxgxxdx

Definizione: L'integrazione per parti deriva dalla regola di derivazione del prodotto e permette di trasformare un integrale complesso in uno più semplice da risolvere.

Quando si applica questa tecnica, è fondamentale scegliere correttamente quali parti della funzione assegnare a fxx e quali a g'xx. Una scelta strategica può semplificare notevolmente il calcolo.

Esempio: Consideriamo l'integrale ∫x·ex dx

  • Scegliamo fxx = x e g'xx = ex
  • Quindi gxx = ex
  • Applicando la formula: x·ex - ∫1·ex dx
  • Il risultato finale sarà: exx1x-1 + C
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Integrazione per Sostituzione e Cambio di Variabile

Il metodo di integrazione per sostituzione è particolarmente utile quando abbiamo a che fare con funzioni composte. Questo approccio semplifica notevolmente il calcolo di integrali indefiniti complessi.

Highlight: La sostituzione consiste nel cambiare la variabile di integrazione per ottenere un integrale più semplice da risolvere.

Il procedimento prevede:

  1. Identificare una sostituzione appropriata t = gxx
  2. Calcolare dt = g'xxdx
  3. Riscrivere l'integrale in termini della nuova variabile
  4. Risolvere l'integrale semplificato
  5. Sostituire nuovamente la variabile originale

Esempio: Per risolvere ∫ex·sinexexdx

  • Poniamo t = ex
  • dt = ex dx
  • L'integrale diventa ∫t·sinttdt
  • Più semplice da risolvere con l'integrazione per parti
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Integrazione di Funzioni Razionali Fratte

Le integrali funzioni razionali fratte rappresentano una classe importante di integrali che richiedono tecniche specifiche di risoluzione. La strategia dipende dal rapporto tra i gradi dei polinomi al numeratore e denominatore.

Definizione: Una frazione razionale è il quoziente di due polinomi Pxx/Qxx, dove Qxx≠0.

Esistono tre casi principali:

  1. Grado numeratore > grado denominatore
  2. Grado numeratore = grado denominatore
  3. Grado numeratore < grado denominatore

Highlight: Per risolvere questi integrali, spesso è necessario utilizzare la decomposizione in fratti semplici.

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Metodo dei Fratti Semplici e Scomposizione del Denominatore

Il metodo dei fratti semplici è fondamentale per l'integrazione funzioni razionali fratte. Questo approccio permette di scomporre una frazione complessa in una somma di frazioni più semplici.

Esempio: Per integrare 6x+46x+4/(x2)(x1)(x-2)(x-1)

  • Scriviamo A/x2x-2 + B/x1x-1
  • Determiniamo A e B attraverso un sistema di equazioni
  • Otteniamo 6/x2x-2 - 5/x1x-1

La scomposizione richiede:

  1. Identificazione delle radici del denominatore
  2. Scrittura della decomposizione appropriata
  3. Determinazione dei coefficienti
  4. Integrazione delle frazioni semplici risultanti

Vocabolario: La decomposizione in fratti semplici è una tecnica che trasforma una frazione razionale complessa in una somma di frazioni più semplici da integrare.

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L'Integrale di Riemann: Concetti Fondamentali e Applicazioni

L'integrale definito rappresenta uno dei concetti più importanti del calcolo integrale, e la sua comprensione è fondamentale per gli studenti di matematica. Il metodo di Riemann ci permette di calcolare l'area tra una curva e l'asse x in un intervallo definito a,ba,b, costituendo la base del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Per comprendere quando una funzione è integrabile secondo Riemann, dobbiamo considerare tre condizioni fondamentali. Prima di tutto, la funzione deve essere continua nell'intervallo a,ba,b. In secondo luogo, deve essere monotona nell'intervallo considerato. Infine, la funzione deve essere limitata, anche se può presentare un numero finito di punti di discontinuità.

Definizione: L'integrale di Riemann rappresenta l'area del trapezoide delimitato dal grafico della funzione fxx e dall'asse x nell'intervallo a,ba,b, dove a è l'estremo inferiore e b l'estremo superiore.

L'applicazione pratica degli integrali indefiniti e della definizione integrale matematica si estende ben oltre il calcolo delle aree. Questi concetti sono fondamentali in fisica per il calcolo del lavoro, in economia per l'analisi dei costi marginali, e in molte altre discipline scientifiche.

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

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L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

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3 dic 2022

28 pagine

Guida agli Integrali: Esercizi Svolti, Formule e PDF Utili

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Arianna Battaglia

@ariannabattaglia_27

Gli integrali indefiniti rappresentano uno strumento fondamentale del calcolo differenziale e integrale, essenziale per comprendere l'area sotto una curva e le primitive di una funzione.

Il concetto di integrale definitosi basa sulla somma di Riemann e rappresenta l'area compresa... Mostra di più

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Introduzione agli Integrali Indefiniti e Definiti

Gli integrali indefiniti rappresentano uno strumento fondamentale del calcolo integrale, essenziale per comprendere come calcolare l'area sotto una curva e risolvere problemi di matematica avanzata. La comprensione degli integrali indefiniti immediati costituisce la base per affrontare calcoli più complessi.

Il concetto di integrale definito si basa sul teorema fondamentale del calcolo integrale, che stabilisce la relazione tra derivate e integrali. Quando si lavora con gli integrali, è fondamentale avere a disposizione una tabella integrali indefiniti per consultare rapidamente le formule più comuni.

Definizione: L'integrale indefinito di una funzione fxx è l'insieme di tutte le primitive di fxx, espresso come Fxx + C, dove C è una costante arbitraria.

La notazione standard per l'integrale indefinito è ∫fxxdx = Fxx + C, dove Fxx è una primitiva di fxx. Le formule integrali indefiniti più basilari includono:

  • ∫x^n dx = x(n+1x^(n+1)/n+1n+1 + C pern1per n≠-1
  • ∫e^x dx = e^x + C
  • 1/x1/x dx = ln|x| + C
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L'integrazione per parti rappresenta una tecnica fondamentale per risolvere integrali più complessi. Questa metodologia si basa sulla formula ∫u dv = uv - ∫v du, dove u e v sono funzioni opportunamente scelte.

Esempio: Per calcolare ∫x lnxx dx, si sceglie u = lnxx e dv = x dx, applicando la formula dell'integrazione per parti.

Gli integrali fratti esercizi svolti richiedono particolare attenzione, specialmente quando si tratta di integrali funzioni razionali fratte. Il metodo dei fratti semplici è essenziale per decomporre frazioni complesse in somme di frazioni più semplici.

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Integrazione di Funzioni Razionali Fratte

L'integrazione funzioni razionali fratte richiede una metodologia specifica basata sulla decomposizione in fratti semplici. Questo processo è particolarmente importante quando si affrontano integrali di funzioni razionali fratte con delta 0.

Evidenziazione: La decomposizione in fratti semplici richiede:

  1. Divisione tra polinomi senecessariose necessario
  2. Fattorizzazione del denominatore
  3. Determinazione dei coefficienti

Gli integrali di funzioni razionali fratte esercizi permettono di applicare queste tecniche in situazioni concrete. È fondamentale padroneggiare questi concetti per affrontare problemi più complessi.

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L'integrale di un numero o casi semplici come l'integrale di 2 o l'integrale di 3 rappresentano i primi passi verso la comprensione di integrali più complessi. Le formule integrali definiti trovano applicazione in numerosi contesti pratici.

Vocabolario: Il formulario integrali definiti pdf raccoglie le formule essenziali per:

  • Calcolo di aree
  • Volumi di solidi di rotazione
  • Lunghezze di curve
  • Superfici di rivoluzione

La padronanza degli integrali spiegazione pdf e della definizione integrale matematica è fondamentale per applicazioni in fisica, ingegneria e altre discipline scientifiche.

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Integrazione per Parti e Metodi Avanzati di Calcolo Integrale

L'integrazione per parti rappresenta uno dei metodi fondamentali per risolvere integrali indefiniti complessi. Questa tecnica si basa sul teorema fondamentale del calcolo integrale e viene utilizzata quando abbiamo il prodotto di due funzioni.

La formula base dell'integrazione per parti è: ∫fxxg'xxdx = fxxgxx - ∫f'xxgxxdx

Definizione: L'integrazione per parti deriva dalla regola di derivazione del prodotto e permette di trasformare un integrale complesso in uno più semplice da risolvere.

Quando si applica questa tecnica, è fondamentale scegliere correttamente quali parti della funzione assegnare a fxx e quali a g'xx. Una scelta strategica può semplificare notevolmente il calcolo.

Esempio: Consideriamo l'integrale ∫x·ex dx

  • Scegliamo fxx = x e g'xx = ex
  • Quindi gxx = ex
  • Applicando la formula: x·ex - ∫1·ex dx
  • Il risultato finale sarà: exx1x-1 + C
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Integrazione per Sostituzione e Cambio di Variabile

Il metodo di integrazione per sostituzione è particolarmente utile quando abbiamo a che fare con funzioni composte. Questo approccio semplifica notevolmente il calcolo di integrali indefiniti complessi.

Highlight: La sostituzione consiste nel cambiare la variabile di integrazione per ottenere un integrale più semplice da risolvere.

Il procedimento prevede:

  1. Identificare una sostituzione appropriata t = gxx
  2. Calcolare dt = g'xxdx
  3. Riscrivere l'integrale in termini della nuova variabile
  4. Risolvere l'integrale semplificato
  5. Sostituire nuovamente la variabile originale

Esempio: Per risolvere ∫ex·sinexexdx

  • Poniamo t = ex
  • dt = ex dx
  • L'integrale diventa ∫t·sinttdt
  • Più semplice da risolvere con l'integrazione per parti
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Le integrali funzioni razionali fratte rappresentano una classe importante di integrali che richiedono tecniche specifiche di risoluzione. La strategia dipende dal rapporto tra i gradi dei polinomi al numeratore e denominatore.

Definizione: Una frazione razionale è il quoziente di due polinomi Pxx/Qxx, dove Qxx≠0.

Esistono tre casi principali:

  1. Grado numeratore > grado denominatore
  2. Grado numeratore = grado denominatore
  3. Grado numeratore < grado denominatore

Highlight: Per risolvere questi integrali, spesso è necessario utilizzare la decomposizione in fratti semplici.

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Metodo dei Fratti Semplici e Scomposizione del Denominatore

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Esempio: Per integrare 6x+46x+4/(x2)(x1)(x-2)(x-1)

  • Scriviamo A/x2x-2 + B/x1x-1
  • Determiniamo A e B attraverso un sistema di equazioni
  • Otteniamo 6/x2x-2 - 5/x1x-1

La scomposizione richiede:

  1. Identificazione delle radici del denominatore
  2. Scrittura della decomposizione appropriata
  3. Determinazione dei coefficienti
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Vocabolario: La decomposizione in fratti semplici è una tecnica che trasforma una frazione razionale complessa in una somma di frazioni più semplici da integrare.

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L'Integrale di Riemann: Concetti Fondamentali e Applicazioni

L'integrale definito rappresenta uno dei concetti più importanti del calcolo integrale, e la sua comprensione è fondamentale per gli studenti di matematica. Il metodo di Riemann ci permette di calcolare l'area tra una curva e l'asse x in un intervallo definito a,ba,b, costituendo la base del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Per comprendere quando una funzione è integrabile secondo Riemann, dobbiamo considerare tre condizioni fondamentali. Prima di tutto, la funzione deve essere continua nell'intervallo a,ba,b. In secondo luogo, deve essere monotona nell'intervallo considerato. Infine, la funzione deve essere limitata, anche se può presentare un numero finito di punti di discontinuità.

Definizione: L'integrale di Riemann rappresenta l'area del trapezoide delimitato dal grafico della funzione fxx e dall'asse x nell'intervallo a,ba,b, dove a è l'estremo inferiore e b l'estremo superiore.

L'applicazione pratica degli integrali indefiniti e della definizione integrale matematica si estende ben oltre il calcolo delle aree. Questi concetti sono fondamentali in fisica per il calcolo del lavoro, in economia per l'analisi dei costi marginali, e in molte altre discipline scientifiche.

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Metodi di Integrazione e Applicazioni Pratiche

Le formule integrali definiti e gli integrali indefiniti immediati costituiscono gli strumenti base per la risoluzione di problemi integrativi. L'integrazione per parti e l'integrazione funzioni razionali fratte sono tecniche avanzate che permettono di risolvere integrali più complessi.

Esempio: Per calcolare l'integrale di 2 o l'integrale di 3, si applicano le proprietà fondamentali degli integrali di costanti. L'integrazione di funzioni costanti produce funzioni lineari, dove la costante viene moltiplicata per la variabile.

Gli integrali fratti esercizi svolti e gli integrali funzioni razionali fratte esercizi svolti pdf sono strumenti didattici essenziali per padroneggiare il metodo dei fratti semplici. Questo metodo è particolarmente utile quando si affrontano integrali di funzioni razionali fratte con denominatori fattorizzabili.

La comprensione approfondita di questi concetti richiede pratica costante e l'utilizzo di risorse come integrali spiegazione pdf e integrali indefiniti tabella. È fondamentale consultare un formulario integrali definiti pdf per avere sempre a disposizione le formule necessarie per la risoluzione degli esercizi.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

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Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS