integrali

Didascalia alternativa:

nou totalmente dovrebbe essore 4x 2.2x dx lu²³ (x) 3 4, x dx +C (moltiplico e divido por 2) = Es. S 27/²2 dx -12 २ -D +C Se²x². 16x dx dx af etxe. Leve de A 4e²x² +C lu (x²)+c INTEGRAZIONE PER PARTI =D S f g scegli g ES XIN = оден Sxe* fG - Sf'G come quella + facile da fone integrale dx formule G = ex f¹= 2x fG - Sf'G = x². e* - S2x.ex USO ancora formula f=2x g=e* x ²³. e* - (2x-e²) - Szex x².ex - (2x-e*)-2 Sex x². e*- 2xe - ze* +c ex (x²-zx-2) +C -D fi=2 INTEGRAU PER SOSTI TOZLONE => quando si no que fa. composta fog S f (ga)) • g'a) (x) dx = F(g(x)) + c Doozemo procedere con una "sostituzione di voniabile per ageudone i calcoli aviemo allora ES 6²x dx x.m²x dx = g(x) = F(x) = -² (u(x) = S = [eu (1)] - ² dx dt =t [ f(ga) • g'a) dx Set de = -x dx X CAMBLO DI VARIABILE H t= f(g(x)) dt= g'(x) =D -2 St² a ť -2+1 - 2+1 t" dt + C + C - 1/2 + 5 C t le (x) INTE GRAU دو DI FRAZIONI RAZIONAL - S ES. f(x) g(x) Distinguiamo 3 CAS) e) Grado f(x) > grado g(x) 2) Grado f(x) grado g(x) 3) Grado f(x) < grado g(x) dx = in base ai gradi delle få. si olivide il polinomio f(x) per g(x) Si x3 + 0x² + -x³ S x³+1 -0 fur) f(x) g(x) ox - X +1 Ox²³ +0x² = x + £ f(x) = g(x) • Risultato + Resto f(x) = (x²+₁) • x + (-x+1) x² +1 X = 2° ) S S Ritorna all'integrale sostituendo a foxs la nuova scomposizione - (x²+₁).x ලිs. x+1 S x² dx * = (2x). X dx x²x₁ X Xx+1 2+1 x²-3x+2 -x+1 -S - 25 = 2x olx X+4 x²-3x+2 X-1 x²+1 f₁ f x²+1 + = (n (f) dx S dx 1/²2 - 11/2 lu (x²+1) + anchy (1) 2 Risolvo normalmente con le già viste regole di integrazione Scomposizione del denominatore S (x-2)(x-1) x²+1 dx ancty (*) = 2x +C - S Ritorniamo all'integrale riscrivendo il denominatore Scomposto 6 x +4 (x-2) (x-1) S A (x-2) - S A+B= 1 -A-2B = 4 x (A + B) 6 (x-2) B+1 = olx A (x-₁) + B (x-2) (x-2)(x-1) T X-2 + f/f dx A (x-1) (x-2)(x-1) ORA DOBBIAMO SCRIVERLA IN FORMA : -A-2B s (x-1) -2B-4 =D A ==B+1 A= -2B-4 olx A (m) fle sha X-1 = dx + (~) AX-A +Bx-2B (x-2)(x-1) B = -5 A = 6 6 lu (1x-21) - She (1x-1)) INTEGRALE DI RIEMANN -DESTREMO SOP pb f(x) dx ESTREXO INF Se fé zo grafico tra la funzion po fax) cappresenta l'anea del e l'asse x neu' intervallo [a,b] Per essere integrata con Riemany la fe deve Owene almeno us tra 1) f continua in [a,b] 2) f mouotona in [0,6] 3) fé limitata e ha ou no discontinuità finito di put di RIEMANN 6 4) (LINEARITA'): PER OGNI C₁, C₂ ER Sa+ag = a√³+ +aft C PROPRIETA 2) (MONOTONIA): SE f≤g ALLORA [ f(x) dx = 3) SE acccb 4) SE |f(x) | <M b 15√²+1 = M (b-a) 5) fg E INTEGRABILE SE CONDO RIE MANN 6) |f| E INTEGRABILE SECONDO RIEMANM € f(c)= C b 5² * = √² + +5² + a MEDIA INTEGRALE So fas dx b- ES. f(x)= u(x) So far <=> [1.3] = بخير le (x) dx . . / G(x) 3-1 11 Sgu a g(x) dx = el-el f G en (x) = x - Si 2 xlu (x) - x 2 So f(x) = f(c) (b-a) MA COME SI CALCOLA L'INTEGRALE DI RIEMANN f' 1²³ G(b) - G(Q) . С A rettangolo con base (b-a) e altezza f(c) 2 2 BS. 1 5²³-x -X ES. 2 ES. 3 dx G (₂) = 4 G(₁1) == -=-=/2/2 NIA p½/2 ды сековск O G(x) = (4x+₁) 4 4 6 ( 1 ) = (4 - 1/2 + +1 2 4 G(0) = (0+1) 4 4 G(₂)-6(0) : = + -15 = 1 4 81 4 -14 por ponti f=x to 1 9= ex Sfax) dx X²+1 fºx².₁ de fixe" de Soxex Olx dx dx G (-x) = = = ²2² -x² 2 ex AWA = -22 +22=-=-12/2 -3 (0 = 81 4 80 f(x). - = 20 x²+ xe* +1 AREA CONSEGNO, Significa che la fa. é negativa ∞ -1≤x≤o OCXSI 88 Se dovessimo avere fz. NEGATIVE meuiamo on Dovauti - ²x)" [*²³-fe²] 1. [xe-fe) + [xe-e] o+ (-¹) + [(e-e)-(-+)] + +4 +1 + x = + -6 + ¥ 3 INTEGRACE GENERAUZZATO 1) lo utilizziamo por ou intervallo Semiaperto [a,+∞0) 20 definiamo come: f M π ·+∞ fcx) dx = lim M-D+00 Så f(x) dv = ESISTE EDE FINITO • Si fissa on Me si calcola l'onea e poi lo Spostiamo in avanti e vedo se per caso nol отеидо ou zisultato finito • Stessa cosa per l'integrale generalizzato nell' intervallo (-00,6] 2) O O 0 se =D Quindi il limite DEUE esistere e DEVE essenre FINITO " altrimenti l'onea non esiste Lim M-D-DO peopos an Lo utilizziamo in on intervallo (a,b] Cioè quindi quando in un estremo la fz. integranda noi è definita lim E-Dat = ESISTE ED È FINITO Ciu a quindi si ho un put di discontinuità lim f(x) = = ∞ Asiutoto ). : x-dat f(x) dx Sostituiamo la a cou , perché è solo in a che ho ou problema Quindi si prende un valore &, che soná l'estremo inferiore, calcoliamo l'onea che sta soto bed e - рої qst € lo verso Q Spingiamo Se siamo fortunati l'anea esisterà Analogamente Sof(x) = lim e-ob- are b in un intervallo [a,b] Sef f(x) dx PROPRIETÀ INTEGRALE GENERAUZZATO 1 LINEARITA ! Se =D feg Sono integrabili generalizzato, allora anche la c₁f + C₂g ē in modo generalizzato iu penso generalizzato Combinazione lineone integrabile +00 S cif(x) + (₂ g(x) dx Stessa cosa vale fa. illimitate C₁ +8 (fa) dx + C₂ per intervalli illimitati o So gaxdox Se Ifl é integrabile in modo generalizzato allora anche fu lo è | Sa f(x) dx | ≤ √ Jf (x) ) dx ES. = NEO lº passaggio ло D> = S² =D ·1 1+ 60x ص/- . = 1 I EXEIR l+lox > O 2°) Saivo 2 intervalli GIUSTI SEGNI (- and auremo quindi 2 (-1,2] e 10.1 dk = Vedene and la fz. è positiva o negativa ما 1+10x flf dx x>-1 -1/10 - 11 6 (1+Lox) [" + +5² ㅎ - 1 4 (0) + = 6 lee IND. in b 10.1 ملات -¼ intervali [=-1₁-10) It lox (-9) neu' integrale e co i l'intervoud è <o) dx f'lf en (etcox) | .... + ( - 16 m (1 + 10 • (-1)) + 1 1 (1+0. (-1)) + (1 6 (1+10.2) - 11/14 (1+10- (- = 0 ) ) -19 + 1-1/₁0 lu (21) 1/16 (0) IND. in a b= = = f(x) == 8 1+60x lim E-D-1-1+10x =D Perciò 10) = = = lim E-D-100 lim E-D-1- 50 il significato di 5². lim E-»----- lim E-D-! ¯ 10) 1+60x illimitata =D CALCOLo ora il CUITE e se il LIUTE esiste dx Se il limite nou esiste 98 {"'/ & - با 8 (= 6/1 + 10x | | ^²) - W (1+60€) = 1 6 ملا - S₂ 1+60x f(x) = = NON ē integrabile 1+60x okc - 1 (4 (9) = esiste l'onea 1 W (1+we) - ± 6 (9)) 3 = la fz. Nor é integrabile in senso generalizzato = 88 Stessa cosa lim E-0-1+ =D ESEMPLO 2 = l lim E-80* 2 1² = E 2 per se Itlox dx له x1| + =D quindi dato Ju seu es dx Ancora qst limite nou è calcolabile Perció nou é possibile calcolone l'onca tra f(x) e l'osse x (Solo per l'intervallo [1,2]) dx -19 +%2 generalizzato Itlox = lim E-D-1 +0 -O dx = Lim ( 1 W (21) - — mu (1+1 €)) = = +00 E-D-1/1 60 = =D Si nota che per o x 1/2+1 x¹/2 2√x ( = 1 (1+60-2) - 1 1 4 1 1+60€) 6 빛이 lim E-bot 1 (ava) l'e 3 +8 nou è O Definito! Llima ema (2.6 Lim (2.5₁-2√2) E-DO* che viene on nº finito, la fa. ē integrabile ESEMPLO 3 +00 so that of the dx X lim E-> +∞o = lim E-8 +∞0 Non esiste ESEMPLO 4 S² + de dx X ㅅ So to ou dx line on E-DO a E -D intervallo semi aperto. quindi uso lim E-DO+ lu (2) - lu (1) =0 340 = + 호호 Non é integrabile lim Abbiamo un problema in o E-DO+ lim eller er (exces)/₁ dx lim = = - 1-0 = 1 0 +1 -1 integrale generalizzato = = +∞ iu (0,1) -1+∞ = = +∞ -10 = -10 ESEMPLOS = +8 line E-0 +∞ עד +2 -√x dx x² Cim E-D+∞ dx =-=-= E integrabile + = intervallo Gim E-D+∞0 -1- au = -- illimitato ६ 1 - 0+1=1 [1.100) INTEGRALE GENERAUZZATO α=1 1, +8 = +∞ lu (x) | *** 2+1 = I dx X = +∞ (u (ε) - (u (1) (٤) -x+1 -x+1 X lim -0+∞ =D abbiamo problemi -241 =0 Lim ܢܩܧ E-D +∞ = 0 ∞ S₁ 5+00 dx = 5+²x*-* +∞ E +00 = +∞ -x+1 (lx) 1₁ = DI - lim ou+1-3 1-2+1 -x+1 [lim 100 ε-x+1-1] dx -|³x ха L −2+一 &#1 E x-x+1 1₁ 1 Se α = 2 (x >1) No FINITO se α= 1/2/20 늦 (Ocaci) N° INFINITO =D +00 Es. S ㅗ x³ 5+⁹0 === 9 -R dx ||| = -D O VALORE FINITO VALORE INFINITO ½/2 = O ok: DIVERGE +∞ : CONVERGE ε¹-₁ E½/2. = -D -1.1-1 E 2. √E - CONVERSE (asi) DIVERGE (0<x<1) STABIURE CONVERGENZA DIVERGENZA DEGU INTEGRAU (QUACUNQUE ESSI SIANO) • Tramite =D 1°) CRITERI DI CONFRONTO Un ipotesi fonolamentale è che le fouzioni NON HANNO VALORI NEGATIO Nell'intervallo scelto [a, +∞0) f≤g 2°) fzg 3º) se fē g ē T.S.G. (= integrabile in senso generalizzato) allora anche f ē I.S.G. NON é I.S.G. allora nemmeno feg I.S.G. TRASCURABILE rispetto age g # - cioe and il = 0 lim f(x) X-D+ g(x) " gēI.S.S Lo significa che f(x) va a o quindi anche f è I.S.G.. più velocemente a g(x) (entrambi sono infinitesime Quora) ESEMPLO f(x) g(x) IC a w Significa che ad u certo pouto il grafico g(x) auchá soño fox) 4°) +∞ f(x) dx • Da verif.cone che line X-DO Perché se f(x) nou va a o allora l'integrale Deve ES. f= essere trascurabile f = = = g= - =44 lim x-*+00x²x quindi gas пол сашегде : é trasurabile x²(x) (verificane che Sta converge il (im 8(x) =0) x+00 f(x) lim 1 x² x-000 lux e trascurabile = = O Se f eg havno stesso ordine di grandezza pen x-> +00 ciaé (im f(x) = K A-D+∞0 g(x) Significa che hanno lo stesso Ossia viceversa CARATTERE afe iutegrobile 6 ё auche ge =D Quando si applicano questi criteri si cerca di ricondurs e confrontone la fz.com са potenza xx =D ● ESEMPI =D +x astroder se fé trascurabile rispeño a t Se é trascurabile - Se - importante é dove va 1 xx allora sex>1 Confronto lux x3 fe lu (x) dx x3 modifico lu (x) x 3 É trascurabile +00 poiché Shoo +∞ Ši S St Troviamo una fz + grande il se 0<x<I: X x³ x² -D CONUERGE X>1 DDIVERGE fé I.S.G. rispetis ag, gran ē I.S.G. x² : converge divenge sovo dello Stesso andine ear qualcosa di wi so l'andamento 02841 olx converge grande il co: integrale cauerge -Déli che manca la potenza lu (x) dx é I.S.G. x3 1 = couverge ESEMPLO 2 2 +∞ l lu (x) +∞ lu (x) maggionazione 1 = X Si S J trovo one potenza + piccola di lu (x) (se cowerge) I dx ESEXPO 3 +0 dx xe dx O : Divenge DIMOSTRAMOLO miuorazione 오 lu (x) 2 IV +00 =D =o quindi sempre x il confronto So wird de (u(x) 1 × qlc di + grande (se diverge) =D Trovone potenza rispetto al quale 2 x.ex é infinitesima per x-DOO perché il lim xẻ X-400 x1 * é la potenza + facile pos coufizontone lu (x) e lu(x) ≤ x : DIVERGE - = ex domiua e va a O + velocemente quindi cawenge é trasarabile e che converge lim X-D400 =0 • Potenza · Convergente • trascurabile tentativo 1) = lim X-400 tentativo 2 é traswcobile → ex • X x² ac! é trascurabile nou va bene Lim = X-D100 " *|*|-|* - 1* - perció so = O TA DWERGE 8/% CONVERGE dx CONVERGE Senx-xcosx x-x3 -X(1-x2) 3 - X3 3 + 이구 g