LE FUNZIONI

Didascalia alternativa:

rappresentabili in un sistema di assi cartesiani attraverso espressioni di vario tipo: algebriche razionali e irrazionali, goniometriche, logaritmiche ed esponenziali. Per rappresentare graficamente questo tipo di funzioni sugli assi cartesiani, basta dare dei valori a piacere alla variabile indipendente e determinare i corrispondenti valori della variabile dipendente. Per farlo, basta sostituire i valori dati alla x nell'equazione della funzione per trovare così i corrispondenti valori di y. A lato è riportato un esempio. Il grafico è stato tracciato in base ai punti dati dalla tabella qui sotto X y 0 -1 1 1 -1 -3 DOMINIO DI UNA FUNZIONE Il Dominio di una funzione è l'insieme dei valori reali di x in corrispondenza dei quali risulta reale anche la y. y = f(x) x= viene detta “variabile indipendente" y= viene detta “variabile dipendente” perché i suoi valori dipendono dai valori che assume la x -1 y=2x-1 Esempio. Data la funzione 2- 2 y = √3x +2 Come si verifica facilmente x=-1 non appartiene al Dominio. Infatti sostituendo -1 al posto della x si ottiene y = √-1 che è impossibile x=+2 invece appartiene al Dominio. Infatti sostituendo 2 al posto della x si ottiene y = √8 che è un valore accettabile Pag. 2 a 6 Funzione razionale intera Classificazione Funzione razionale fratta Funzione irrazionale intera Funzione irrazionale fratta Funzione trascendente Funzione definita a tratti Funzioni uguali delle funzioni È definita da un polinomio Zeri di una funzione (Relativi a funzioni rappresentate sul piano cartesiano) È definita dal rapporto di due polinomi x³ - 3x² -7 x+9 y = 2x³-4x² + 5x - 6 y È definita da un'espressione contenente una radice e al suo interno una funzione (in questo caso si tratta di un polinomio) y = √x²-5x-6 È definita da un'espressione contenente una radice e al suo interno un rapporto tra funzioni (in questo caso, polinomi) 2 y = x²-3x²-7 x +9 È definita da un'espressione contenente un logaritmo, una funzione esponenziale o una funzione goniometrica y = sen(4x - 3) È definita da espressioni analitiche diverse a seconda della parte di piano individuata dalla x y = Altre definizioni 2 5x x -x² + 2 3 → per x ≥ 3 per x < 3 Due funzioni sono uguali se hanno lo stesso Dominio e se ad ogni valore di x del Dominio fanno corrispondere lo stesso valore y del Codominio Sono i punti in cui una funzione interseca l'asse x, cioè quelli che hanno y=0 Pag. 3 a 6 Proprietà delle funzioni Funzione iniettiva Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento b E B è immagine di un solo elemento a EA Come si vede dal grafico a lato, non ci sono due elementi di A che hanno stessa immagine in B. La funzione è quindi iniettiva Funzione suriettiva Una funzione si dice suriettiva se il suo Codominio coincide con B Funzione biiettiva o biunivoca Una funzione è biiettiva o biunivoca quando è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva Una funzione biunivoca è anche invertibile come si vedrà a breve Funzione crescente Sia data una funzione in x e y Si dice che una funzione è crescente se al crescere dei valori della variabile indipendente x, crescono anche corrispondenti valori della variabile dipendente y Funzione decrescente Sia data una funzione in x e y. Si dice che una funzione è decrescente se al crescere dei valori della variabile indipendente x, decrescono i corrispondenti valori di y A a b C A a b C: d. e A α b с d B X • y Z • t B X .y • Z B X • y Z ..t Pag. 4 a 6 Segue "Proprietà delle funzioni" Funzione monotona Una funzione si dice monotona quando è solo crescente o solo decrescente in tutto il dominio. Nell'esempio a lato, la prima è sempre decrescente nel dominio, la seconda decresce, cresce e poi riprende a decrescere Funzione pari Una funzione si dice pari se verifica la seguente uguaglianza: f(-x) = f(x) Una funzione di questo tipo viene detta anche funzione simmetrica rispetto all'asse y Funzione dispari Una funzione si dice dispari se verifica la seguente uguaglianza: f(-x) = -f(x) Una funzione di questo tipo viene detta anche funzione simmetrica rispetto all'origine Funzione monotona Funzione non monotona Data la funzione y = x² − 4 è facile verificare che f(-x) = f(x). Infatti mettendo -x al posto della x, la funzione non cambia - Y(-x) = (-x)² − 4 = x² − 4 Data la funzione y = x² – 2x è facile verificare che f(-x) = -f(x). Infatti mettendo -x al posto della x, la funzione cambia segno 3 Y(-x) = (-x)³ − 2(-x) = −x³ + 2x = −(x³ −2x) Pag. 5 a 6 Segue "Proprietà delle funzioni" Funzione periodica Una funzione si dice periodica se assume gli stessi valori dopo un determinato intervallo chiamato periodo. Algebricamente si può scrivere così: ƒ(x) = f(x + T) Dove Tè il periodo Esempi di funzioni periodiche sono le funzioni goniometriche Funzione composta A La funzione composta, detta anche funzione di funzione associa ad un elemento c E C un elemento a E A nel modo seguente: Ad a corrisponde b; a → b A b corrisponde c; b → c Quindi, attraverso la funzione composta g of Ad a corrisponde c; a-c In altre parole, una funzione è composta laddove si "sovrappongono" due o più funzioni Se f(x) è una funzione che associa ad ogni x E A una y E B, la funzione inversa, ovvero x = f¯¹(y), associa una x E A ad ogni y E B y=senx B C b 60 6 a Funzione inversa Esempio: =/log(x) È una funzione composta in quanto all'interno della radice non compare una semplice variabile indipendente (la x), ma un'altra funzione (in questo caso una funzione razionale fratta). Ecco perché si usa anche definirla "funzione di funzione" Affinché una funzione sia invertibile, deve essere biunivoca, cioè sia iniettiva che suriettiva. Se non fosse iniettiva, invertendola, ad un elemento dell'insieme A corrisponderebbero più elementi dell'insieme B (quindi non sarebbe una y = f(x) = 3x → x = f-¹(y) == funzione). Se non fosse suriettiva, non tutti gli elementi dell'insieme A avrebbero un'immagine in B e quindi, anche in questo caso, non sarebbe una funzione Pag. 6 a 6