Didascalia alternativa:

! ! ! DEFINIZIONE: Sidice insieme vuoto e si indica con il simbolo , un insieme privo di elementi Che cos'è un sottoinsieme? Dati due insiemi A e B, si dice che B è un sotto insieme di A se ogni elemento di B appartiene ad A. Se ogni elemento di B appartiene ad A, diciamo che_B è sottoinsieme di A. L₂BEA [Bè incluso in A Se Bè sotto insieme di A e almeno un elemento e di A non appartiene a B diciamo che B è incluso strettamente in A. и вса ·a B. •b.c la rappresentazione dell'insieme con il diagramma di Venn A. of e Il simbolo & indica che un insieme non è sottoinsieme di un altro. D A. 1 BcA perchè B≤A e ma f& B. FEA, 3 B. 4 2 Proprio o improprie Se B è sotto insieme non vuoto di A e almeno un elemento di A non appartiene a B, diciamo che Bè sottoinsieme proprio di A; indichiamo questo con: BcA. A. E 8. •3.4 5.6.7 •2 B≤A perchè se x €B, allora × € A; BcA perchè B≤A e, per esempio, 2EA ma 2 B. A. •1.3 B. •2.4 40 A=B •1.2 3.4 Sotto insiemi Sotto insiemi 4 ● Impropri Propri •2 B. A. A. .1 .3 :2 D B •1 .3 Insieme delle parti Dato un qualsiasi insieme A, l'insieme formato da tutti i suoi sotto insiemi (propri e impropri) si chiama insieme delle parti di A e si indica con il simbolo P(A). Dato l'insieme A, P(A) = {x|x≤A}. Esempio: Se x = {a,b,c}, allora l'insieme delle parti di x è: P(x) = {0, (a), (b), (c), (a,b), (a,c), (b, c), (a, b, c.) } Te Co 6 C C C G C C C C G G 5555 J F F F G H 1 : Intersezione fra insiemi → Consideriamo l'insieme A = {1,3,5,7} e l'insieme B=3,5,8). A partire da A e B possiamo costruire l'insieme C formato dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B; in questo caso C = {3,5]. C. L'insieme C è detto A. intersezione di A e B. .1 .3 AnB = 0 •7 · min 5 。 8 B. DEFINIZIONE: L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme, indicato con ANB, costituito dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B. In simboli: AB = {X/X EA ex € B} еx AOB = A L'intersezione di due insiemi A e B può coincidere con A o B, se uno dei due insiemi è contenuto nell'altro: per esempio, Se A≤B, allora AnB = A. Se due insiemi A e B non hanno elementi in comune, allora la loro intersezione è l'insieme vuoto e i due insiemi si dicono disgiunti. L'unione fra insiemi Consideriamo gli insiemi A = {a,b,c} e B = {b,c,d,e} a partire da questi due insiemi, possiamo costruire un terzo insieme C, formato dagli elementi che appartengono ad A o a B (o a entrambi). C= {a,b,c,d, e}. L'insieme C è detto unione di A e B. B. A. a b C d e C. a b c de DEFINIZIONE: L'unione di due insiemi A e B è l'insieme, indicato con AUB, che è costituito dagli elementi che appartengono ad Ao a B. In simboli : AUB= {xIXE AO XE B} A. 8. Differenza fra insiemi Consideriamo gli insiemi A={a,b,c,d} e B = {c.d, e} A partire da A e B, possiamo costruire l'insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A ma non B. In questo caso per determinare C dobbiamo togliere da A i due elementi ced, quindi: C = {a,b} A B L'insieme si chiama differenza di A e B. .a b .d ∙e ·A-B=C C JU U DEFINIZIONE: La differenza di due insiemi A e B l'insieme, con A-B, costituito dagli elementi appartengono di A che non fa B. In simboli: A-B = {x|x EA ek & B} 1 ESEMPIO: I ristoranti A e B hanno questi menu a prezzo fisso: A = {antipasto, primo, secondo}; B = {primo, secondo, dolce? A - B = {antipasto}, B-A = { dolce}. CASI PARTICOLARI: 1) A ≤BA-B = & A. non ci sono elementi. di A che non appartengono a B. 2) AnB = Ø A-B = A · tutti gli elementi di A non apparten, gono a B. B. A. e O A-B P 8 O B. Il complementare di un insieme Dato un insieme B, sottoinsieme di A, si dice complementare di B rispetto ad A, e si indica con il simbolo CAB oppure con il simbolo BA, l'insieme A-B. A. Se B≤A, BA=A-B. BA Esempio dall'orto Stai preparando un minestrone con prodotti dell'or to: 0 = {lattuga, carote, fagioli, zucchine, piselli. Consideriamo il sotto insieme delle verdure: V= [lattuga, carote, zucchines. ▶ Qual'è l'insieme Vo? VCO e Vo è il sotto insieme dei legumi. {fagioli, piselli. Casi particolari: Ã₁ = Ø A perchè A-A = Ø JA = A \ Фа • perchè A-Ø = A Partizione di un insieme Dato un insieme A e una famiglia di n suoi sottoinsiemi A₁, A₂, ---, An, si dice che questi formano una partizione di A se verificano le seguenti proprietà: a. non sono vuoti. b. Sono a due a due disgiunti, c. la loro unione coincide con A. TULE Esempio: Una partizione di A = { a, b, c, d, e} è : B = {(a,b), (c,d), (e)}. ● 000000000000 000 00 Proprietà delle operazioni fra insiemi 1. Proprietà di idempotenza ΑΠΑΞΑ AUA = A 2. Commutativa dell'intersezione AnB =BnA 3. Commutativa dell'unione AUB = BUA 4. associativa dell'intersazione • AnBnc) = (ANB) nC 5. associativa dell'unione AU (BUC) = (AUB) UC 6. Leggi di assorbimento An (AUB) = A AU(ANB) = A 7. distributiva dell'intersezione rispetto all'unione An (Buc)=(ANB)U(ANC) 8. distributiva dell'unione rispetto all'intersezione Au (BOC) = (AUB) n(AUC) 9. leggi di De Morgan (la complementazione a un insieme ambiente U è intesa rispetto fissato) AOB AUB = AUB=AOB Per convincersi della validità di tali proprietà, basta ricorrere ai diagrammi di Venn. Verifichiamo per esempio la proprietă distributiva dell'intersezione rispetto all'unione, espressa dall'uguaglianza: An (BuC) = (ANB) U(ANC) Cominciamo con il rappresentare l'insieme An (BUC), An (Buc) A A B. C. A BUC B. A B C C. a. Rappresentiamo b. Rappresentiamo c. Intersechiamo l'insieme A. l'insieme Buc l'insieme A con l'insieme BUC: otteniamo così An (BUC). Prodotto cartesiano. DEFINIZIONE! Coppia ordinata Una coppia formata da due elementi a eb, tali che a è il primo elemento della coppia e b è il secondo, si dice coppia ordinata e SI indica con il simbolo (a, b). 0 0 0 0 0 J W WWW WWW DEFINIZIONE Prodotto cartesiano Dati gli insiemi A e B, il prodotto cartesiano Ax B è l'insieme delle coppie ordinate (a, b), con a che appartiene all'insieme A e b che appartiene all'insieme B. Ax B = {(a, b) | a € A e b E B} Se uno dei due insiemi A oB è vuoto, per convenzione si stabilisce che anche il loro prodotto cartesiano Ax B sia vuoto. ESEMPI: Insieme A = {a,b}, Insieme B = { } Insieme AXB = {(a, ), (a), (b, ), (b, )} Insieme BxA={(a), (b), (a) (b)} ▶Insieme A = {N}, Insieme B = {z} Insieme Ax B= {(x,y) 1x € Ne y €Z} Insieme Bx A = {(x,y) |x€ZeyEN} Si puó eseguire il prodotto cartesiano di un insieme con se stesso. Per esempio, A={1,2} allora AXA = {(¹, ¹), (1,2), (2,¹), (2, 2)} [AxA=A²] Se un insieme A han elementi e un insieme B ham elementi, il loro prodotto cartesiano ha n.m elementi. • Si può estendere in modo naturale la nozione di prodotto cartesiano a più di due insiemi. Per esempio: AxBxC = {(a,b,c) | a€ A eb€ Bee e C ] Come si rappresenta il prodotto cartesiano? Il prodotto cartesiano può essere rappresentat con una ta bella a doppia entrata, con il diagramma cartesiano e con il diagramma ad albero. ESEMPI: AXB, dove A = {1,2,3} e B = {2, w}. ▶ Rappresentiamo graficamente il prodotto Cartesiano mediante una tabella a doppia entrata. radice 1 3 B +8 Rappresentiamo graficamente il prodotto cartesiano mediante un diagramma ad albero. 2 At Z 1 (1, 2) (1, w) 2 (2.2) (2,w) 3 (3,2) (3,w) ♥ 3 Z W N W Z 13 W • (1,²) .(1, W) •(2, 2) (2,w) +(3,2) •(3, W) ● C C C C 0000 ▶Rappresentiamo graficamente il prodotto cartesiano mediante un diagramma cartesiano. B W Z (1,w) (2,w) (3, w) (1,2) (2,2) (3,2) 1 2 3 A Quindi, in generale, AxB #BxA LOGICA DEFINIZIONI +) Proposizione è una frase alla quale è possibile. attribuire un valore vero o falso. Per esempio, sono proposizioni : < 5 è un numero pari » <Roma è la capitale d'Italia » FALSO VERO Le proposizioni vengono indicate con la lettera p. 2) Enunciato aperto è una frase che contiene variabili cioè viene utilizzata qualche lettera per rappresentare un elemento generico di un insieme, che si trasforma in una proposizione quando si assegna dei valori alle variabili che ci sono. Per esempio viene chiamato 4 x è un numero naturale DOMINIO è un enunciato aperto, perche dipende dalla variabile x e si trasforma in una proposizione quando si assegna un valore numerico a x. Un enunciato aperto che si trasforma in una proposizione vera è detto insieme di verita. ^ maggiore di 7 >> {XENIX>7} 3) Connettivi logici sono strumenti che collegano tra loro più proposizioni e più enunciati aperti per creare nuove proposizioni. TIT "e" "0" "non" "se...allora" V P 介 "Se e solo se" > VVVVVIENE 00000 Il connettivo «e, o, non 27 La congiunzione di due proposizioni A e B la e proposizione «A e B». Essa è vera solo Se le due proposizioni sono entrambe vere. In tutti gli altri casi è falsa. Se A È VERA e B È VERA : AMB È VERA ALTRIMENTI: A B E FALSA Esempio: Lucia e Anna sono sorelle (NO) Lucia e Anno frequentano la scuola (si) TAVOLA DI VERITÀ дрла V P V V VF FIV FIF >H F F F ▶ La disgiunzione inclusiva di due proposizioni A e B è la proposizione «<AoB». Essa è ESEMPIO: Il prossimo anno mi iscriveró al majorana o al fermi. • falsa solo se le due proposizioni sono entrambi false. In tutti gli altri casi è vera. Se A È FALSA e B È FALSA: AVB È FALSA E ALTRIMENTI: AVBE VERA TAVOLA DI VERITA P 9 PV q V V V VIF FN FIF ESCLUSIVO Jurassic Park ti piace se ami i film di avventura o se sei appassionato di dinosauri. INCLUSIVO >>>< V V ▶La negazione proposizione Se A è falsa E se A È VERA allora A È FALSA Se A È FALSA allora A È VERA di una proposizione A è la non A», che risulta vera e falsa se A è vera. R P = 9 Il connettivo 4 se...allora >> Il connettivo « se... allora» viene indicato con il simbolo ⇒ e viene chiamato implicazione Condizione Sufficiente ESEMPIO: • Se p è vera (il tempo è e q e vera q (tizio va al mare) chiaramente pq è vera. • Se p è vera (il tempo è bello) e a è falsa (Tizio va al mare) chiaramente pq è falsa. • Se p è falsa (il tempo non è bello) quindi in ogni caso è vera. è bello) condizione necessaria P9 P9 V V V | V|F << < PP VF FV F F|V FV V TAVOLA DI VERITA V Il connettivo « se e solo se » Il connettivo «se e solo se» viene indicato. con il simbolo e viene chiamato doppia implicazione. Se A É VERA e B È VERA oppure Se A É FALSA e B È FALSA ALTRIMENTI: P#9 equivale a (p⇒9) ^ (9⇒p) : A B È VERA P9 P99⇒P (P→9)^(9P) V V V > > > V A B E FALSA VE F FV V FIF >> ++> V FEY V 14 4341