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Sofia Mastella
11/12/2025
Matematica
I sistemi lineari e le matrici
5184
•
11 dic 2025
•
Sofia Mastella
@ofiaastella_1dd7mkd6
I sistemi di equazioni lineari sono uno degli strumenti più... Mostra di più
Immagina di dover trovare due numeri che soddisfano contemporaneamente due condizioni diverse - ecco cosa fa un sistema di equazioni! È semplicemente un insieme di equazioni nelle stesse incognite che devono essere tutte vere insieme.
Una soluzione per un sistema a due incognite è una coppia di numeri che rende vere entrambe le equazioni. Ma attenzione: non tutti i sistemi si comportano allo stesso modo!
I sistemi possono essere determinati (una sola soluzione), impossibili (nessuna soluzione) o indeterminati (infinite soluzioni). Inoltre, distinguiamo tra sistemi interi (incognite solo al numeratore) e frazionari (incognite anche al denominatore).
💡 Trucco: Per riconoscere il tipo di sistema, guarda sempre prima se le incognite compaiono al denominatore!
Il metodo di sostituzione è probabilmente il più intuitivo per iniziare. Funziona come un gioco di sostituzione: prendi una delle equazioni e "isoli" un'incognita.
Ecco i passaggi: prima risolvi una equazione rispetto a un'incognita (scegli la più semplice!), poi sostituisci questa espressione nell'altra equazione. Ti ritroverai con una equazione risolvente in una sola incognita.
Dopo aver trovato il valore della prima incognita, lo sostituisci indietro per trovare la seconda. È come risolvere un puzzle pezzo per pezzo!
💡 Suggerimento: Scegli sempre l'equazione e l'incognita che ti danno i calcoli più semplici - ti risparmierai un sacco di tempo!
Il metodo del confronto è perfetto quando vuoi mettere le due equazioni "faccia a faccia". Risolvi entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita (di solito quella che ti semplifica di più i calcoli).
Una volta che hai due espressioni che rappresentano la stessa incognita, le uguagli tra loro - et voilà! Hai la tua equazione risolvente. È come dire: "se y = 1-2x e y = 4-x, allora 1-2x = 4-x".
Risolvi questa equazione per trovare la prima incognita, poi sostituisci per trovare la seconda. Il bello è che puoi verificare facilmente il risultato sostituendo in entrambe le equazioni originali.
💡 Consiglio: Questo metodo è fantastico quando i coefficienti delle incognite sono semplici da manipolare!
Il metodo di addizione e sottrazione è il re dell'efficienza! Guarda i coefficienti delle incognite: se sono uguali o opposti, puoi sommare o sottrarre le equazioni per eliminare un'incognita.
Se i coefficienti non sono perfetti, nessun problema! Moltiplica le equazioni per numeri opportuni finché non ottieni coefficienti uguali o opposti. È come preparare gli ingredienti prima di cucinare.
Una volta eliminate le incognite scomode, risolvi l'equazione risultante e usa la sostituzione per trovare l'altra incognita. Questo metodo diventa incredibilmente veloce con la pratica.
💡 Trucco veloce: Cerca sempre prima se ci sono già coefficienti opposti - ti farà risparmiare passaggi!
Il metodo di Cramer trasforma i sistemi in un gioco con le matrici e i determinanti. Una matrice 2×2 ha un determinante che si calcola come: ab' - a'b.
Il teorema di Cramer ti dice tutto: se D≠0, il sistema è determinato e le soluzioni sono x = Dx/D e y = Dy/D. Se D=0 ma Dx o Dy sono diversi da zero, il sistema è impossibile. Se tutti sono zero, hai infinite soluzioni!
Il criterio dei rapporti è ancora più veloce: confronta i rapporti a/a', b/b' e c/c'. Se sono tutti diversi, sistema determinato. Se i primi due sono uguali ma diversi dal terzo, impossibile. Se tutti uguali, indeterminato.
💡 Super trucco: Il criterio dei rapporti ti fa capire il tipo di sistema senza calcolare nemmeno un determinante!
I sistemi letterali contengono parametri (lettere) oltre alle incognite - sono come sistemi con un ingrediente misterioso! La strategia è sempre la stessa: calcola D, Dx e Dy, poi discuti i vari casi.
Prima trova per quali valori del parametro D≠0 (sistema determinato). Poi esamina separatamente i casi problematici dove D=0 - questi potrebbero essere impossibili o indeterminati.
La discussione è fondamentale: devi considerare tutti i possibili valori del parametro e dire cosa succede in ciascun caso. È come esplorare tutti i sentieri di un labirinto.
💡 Strategia vincente: Inizia sempre trovando quando D=0, poi lavora sui casi rimanenti - ti organizzerà meglio il lavoro!
I sistemi a tre incognite sembrano più complicati, ma il principio è lo stesso: riduci il problema a qualcosa che già sai fare! La soluzione è una terna ordinata di numeri.
Con il metodo di sostituzione, isoli un'incognita da una delle tre equazioni, poi sostituisci nelle altre due. Ecco il trucco: ora hai un sistema di due equazioni in due incognite - territorio familiare!
Risolvi il sistema ridotto, trova due delle tre incognite, poi sostituisci per trovare la terza. È come sbucciare una cipolla, strato dopo strato.
💡 Consiglio pratico: Scegli sempre l'incognita più semplice da isolare - spesso è quella con coefficiente 1!
Il metodo di addizione e sottrazione per tre incognite è una danza di eliminazioni strategiche. L'obiettivo è sempre lo stesso: ridurre a un sistema a due incognite.
Elimina la stessa incognita da due coppie diverse di equazioni - otterrai due equazioni in due incognite. Poi applica i metodi che già conosci per sistemi più semplici.
La chiave è l'organizzazione: tieni traccia di quale incognita stai eliminando e da quali equazioni. Con un po' di pratica, questo metodo diventa molto efficiente.
💡 Strategia: Elimina sempre l'incognita con i coefficienti più semplici da manipolare!
Le matrici sono tabelle di numeri organizzate in righe e colonne - pensa a esse come a dei contenitori ordinati di informazioni. Una matrice m×n ha m righe e n colonne.
L'addizione di matrici è semplicissima: sommi elemento per elemento, ma solo se le matrici hanno le stesse dimensioni. È come sommare due tabelle casella per casella.
La moltiplicazione per un numero moltiplica ogni elemento della matrice per quel numero. La moltiplicazione tra matrici è più complessa: ogni elemento risultante viene da una combinazione di riga per colonna.
💡 Regola d'oro: Per moltiplicare due matrici, il numero di colonne della prima deve uguagliare il numero di righe della seconda!
Il determinante di una matrice quadrata è un numero speciale che ci dice molto sulla matrice stessa. Ha proprietà interessanti: se una riga è zero, il determinante è zero; se scambi due righe, il determinante cambia segno.
Una matrice invertibile ha un determinante diverso da zero e possiede una matrice inversa - è come avere una "funzione opposta" in algebra. La formula per l'inversa coinvolge il determinante e i complementi algebrici.
Il teorema di Cramer generalizzato estende tutto quello che sai sui sistemi 2×2 ai sistemi di qualsiasi dimensione. Se det(A)≠0, il sistema ha una soluzione unica calcolabile con le formule di Cramer.
💡 Fatto interessante: Il determinante ti dice se un sistema ha soluzione unica ancora prima di risolverlo!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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Anastasia
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Sofia Mastella
@ofiaastella_1dd7mkd6
I sistemi di equazioni lineari sono uno degli strumenti più potenti della matematica per risolvere problemi con più incognite. Scoprirai diversi metodi per risolverli e come le matrici possono semplificare notevolmente i calcoli.
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Immagina di dover trovare due numeri che soddisfano contemporaneamente due condizioni diverse - ecco cosa fa un sistema di equazioni! È semplicemente un insieme di equazioni nelle stesse incognite che devono essere tutte vere insieme.
Una soluzione per un sistema a due incognite è una coppia di numeri che rende vere entrambe le equazioni. Ma attenzione: non tutti i sistemi si comportano allo stesso modo!
I sistemi possono essere determinati (una sola soluzione), impossibili (nessuna soluzione) o indeterminati (infinite soluzioni). Inoltre, distinguiamo tra sistemi interi (incognite solo al numeratore) e frazionari (incognite anche al denominatore).
💡 Trucco: Per riconoscere il tipo di sistema, guarda sempre prima se le incognite compaiono al denominatore!
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Dopo aver trovato il valore della prima incognita, lo sostituisci indietro per trovare la seconda. È come risolvere un puzzle pezzo per pezzo!
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Una volta che hai due espressioni che rappresentano la stessa incognita, le uguagli tra loro - et voilà! Hai la tua equazione risolvente. È come dire: "se y = 1-2x e y = 4-x, allora 1-2x = 4-x".
Risolvi questa equazione per trovare la prima incognita, poi sostituisci per trovare la seconda. Il bello è che puoi verificare facilmente il risultato sostituendo in entrambe le equazioni originali.
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La chiave è l'organizzazione: tieni traccia di quale incognita stai eliminando e da quali equazioni. Con un po' di pratica, questo metodo diventa molto efficiente.
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La moltiplicazione per un numero moltiplica ogni elemento della matrice per quel numero. La moltiplicazione tra matrici è più complessa: ogni elemento risultante viene da una combinazione di riga per colonna.
💡 Regola d'oro: Per moltiplicare due matrici, il numero di colonne della prima deve uguagliare il numero di righe della seconda!
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Il determinante di una matrice quadrata è un numero speciale che ci dice molto sulla matrice stessa. Ha proprietà interessanti: se una riga è zero, il determinante è zero; se scambi due righe, il determinante cambia segno.
Una matrice invertibile ha un determinante diverso da zero e possiede una matrice inversa - è come avere una "funzione opposta" in algebra. La formula per l'inversa coinvolge il determinante e i complementi algebrici.
Il teorema di Cramer generalizzato estende tutto quello che sai sui sistemi 2×2 ai sistemi di qualsiasi dimensione. Se det(A)≠0, il sistema ha una soluzione unica calcolabile con le formule di Cramer.
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Spiegazione dei sistemi lineari e del metodo di sostituzione.
MatematicaAppunti di Matematica (Algebra Lineare) sui Sistemi Lineari - Sistemi lineari - Teorema Rouché-Capelli - Regola di Cramer - Metodo di eliminazione di Gauss (MEG)
MatematicaAppunti di matematica riguardo le frazioni algebriche: ripasso scomposizione polinomi, CE, semplicazione, operazioni (somma algebrica, moltiplicazione, divisione, potenza)
MatematicaI sistemi lineari: cosa sono, relazioni tra i coefficienti, metodi di risoluzione (sostituzione, confronto, riduzione e cramer) e sistemi letterali
Matematicaappunti sui sistemi di equazioni lineari. metodo di sostituzione, metodo di riduzione, metodo del confronto, metodo di Cramer. Confronto fra i rapporti dei coefficienti.
Matematicapassaggi dettagliati per il metodo di sostituzione
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
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Francesca
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Marianna
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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