Materie

Materie

Di più

Cerca

Knowunity Pro

AI Knowunity

Materie

/

Matematica

/

Aritmetica e algebra

/

I sistemi lineari

/

Il metodo di sostituzione, riduzione e confronto

Scopri i Sistemi Lineari: Schemi e Esercizi PDF Facili

Vedi

Scopri i Sistemi Lineari: Schemi e Esercizi PDF Facili
user profile picture

Giulia Colonna

@giuliacolonna_tivd

·

46 Follower

Segui

Linear systems of equations form the foundation of solving multiple equations simultaneously. Sistemi lineari pdf resources provide comprehensive methods for understanding and solving these mathematical problems.

• A linear system consists of two or more equations that must be satisfied simultaneously with the same variables
• Three main types exist: Sistema determinato esempio (finite solutions), indeterminate (infinite solutions), and impossible (no solutions)
• Four primary solving methods: substitution, comparison, reduction, and Cramer's rule
• Special cases include literal systems and fractional systems requiring additional consideration
• The ratio criterion helps determine system type without solving

20/12/2022

8785

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Solution of a Linear System

The solution to a linear system is a set of values for the unknowns that satisfies all equations in the system simultaneously.

Highlight: A solution to a linear system must:

  1. Be an ordered pair (for two unknowns)
  2. Consist of real numbers
  3. Satisfy all equations in the system

Example: For a system with two unknowns, a solution might be represented as (7, 3), where x = 7 and y = 3.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Types of Linear Systems

Linear systems can be classified into three main categories based on their solutions:

  1. Sistema determinato (Determined system): Has a finite number of solutions.
  2. Sistema indeterminato (Undetermined system): Has an infinite number of solutions.
  3. Sistema impossibile (Impossible system): Has no solution.

Highlight: Understanding the type of system is crucial for choosing the appropriate solving method and interpreting the results.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Methods for Solving Linear Systems

There are several methods to solve linear systems. This guide covers four main approaches:

  1. Sistemi lineari - metodo di sostituzione (Substitution method)
  2. Sistemi lineari metodo di confronto (Comparison method)
  3. Sistemi lineari metodo di riduzione (Reduction method)
  4. Cramer's method

Each method has its advantages and is suitable for different types of systems.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Substitution Method

The metodo di sostituzione is a straightforward approach to solving linear systems.

Steps:

  1. Express one variable in terms of the other from one equation.
  2. Substitute this expression into the other equation.
  3. Solve for the remaining variable.
  4. Substitute back to find the value of the first variable.

Example: For the system {x + y = 10, x - y = 4}:

  1. From the first equation: x = 10 - y
  2. Substitute into the second equation: (10 - y) - y = 4
  3. Solve: 10 - 2y = 4, y = 3
  4. Substitute back: x = 10 - 3 = 7

The solution is (7, 3).

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Comparison Method

The metodo di confronto involves comparing expressions for the same variable derived from different equations.

Steps:

  1. Express one variable in terms of the other from both equations.
  2. Set these expressions equal to each other.
  3. Solve the resulting equation for one variable.
  4. Substitute to find the other variable.

Example: For the system {2x + y = 1, x + y = 4}:

  1. From both equations: y = 1 - 2x and y = 4 - x
  2. Set equal: 1 - 2x = 4 - x
  3. Solve: -x = 3, x = -3
  4. Substitute: y = 4 - (-3) = 7

The solution is (-3, 7).

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Reduction Method

The metodo di riduzione aims to eliminate one variable by adding or subtracting equations.

Steps:

  1. Multiply equations to make coefficients of one variable equal in magnitude but opposite in sign.
  2. Add or subtract the equations to eliminate that variable.
  3. Solve for the remaining variable.
  4. Substitute to find the eliminated variable.

Example: For the system {2x - 3y = 5, 5x + 3y = 9}:

  1. Multiply the first equation by 5 and the second by 2: 10x - 15y = 25 10x + 6y = 18
  2. Subtract: -21y = 7
  3. Solve: y = -1/3
  4. Substitute into 2x - 3y = 5 to find x = 2

The solution is (2, -1/3).

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Cramer's Method

Cramer's method uses determinants to solve linear systems.

Steps:

  1. Calculate the system determinant D.
  2. Calculate determinants Dx and Dy by replacing columns with constants.
  3. If D ≠ 0, the solution is x = Dx/D, y = Dy/D.

Highlight: Cramer's method also helps determine the system type:

  • If D ≠ 0, the system is determined.
  • If D = 0 and Dx or Dy ≠ 0, the system is impossible.
  • If D = Dx = Dy = 0, the system is undetermined.

Example: For the system {2x - 5y = 4, 3x - 4y = 6}: D = 2(-4) - (-5)(3) = 7 Dx = 4(-4) - 6(-5) = 14 Dy = 2(6) - 4(4) = 0 x = 14/7 = 2, y = 0/7 = 0

The solution is (2, 0).

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Special Cases and Exceptions

When dealing with linear systems, there are some special cases to consider:

  1. Sistemi letterali (Literal systems): These systems contain variables as coefficients. They should be solved using Cramer's method, followed by a discussion of possible cases.

  2. Sistemi fratti (Fractional systems): These systems involve fractions. It's important to find common denominators before solving.

Highlight: Always check for domain restrictions when dealing with fractional systems.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Criterion of Ratios

For systems in the form: {ax + by = c {a'x + b'y = c'

The criterion of ratios helps determine the system type without solving:

  1. If a/a' = b/b' ≠ c/c', the system is determined.
  2. If a/a' = b/b' = c/c', the system is undetermined.
  3. If a/a' = b/b' and b/b' ≠ c/c', the system is impossible.

Highlight: This criterion provides a quick way to analyze the nature of a linear system before attempting to solve it.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Vedi

Criterio dei Rapporti

Questa pagina finale introduce il criterio dei rapporti per analizzare i sistemi lineari. Si spiegano le condizioni per determinare se un sistema è determinato, impossibile o indeterminato basandosi sui rapporti tra i coefficienti delle equazioni.

Definizione: Il criterio dei rapporti è un metodo per determinare la natura di un sistema lineare senza risolverlo completamente. Highlight: Questo criterio è particolarmente utile per analizzare rapidamente la natura di un sistema senza dover eseguire calcoli complessi.

Contenuti simili

Know Sistemi lineari e i metodi di risoluzione thumbnail

359

12820

2ªl/3ªl

Sistemi lineari e i metodi di risoluzione

appunti sui sistemi di equazioni lineari. metodo di sostituzione, metodo di riduzione, metodo del confronto, metodo di Cramer. Confronto fra i rapporti dei coefficienti.

Know equazioni di secondo grado thumbnail

797

15028

2ªl/3ªl

equazioni di secondo grado

equazioni di secondo grado: classificazione, risoluzione e equazioni frazionarie

Know I sistemi lineari thumbnail

9

1106

1ªl/2ªl

I sistemi lineari

I sistemi lineari: cosa sono, relazioni tra i coefficienti, metodi di risoluzione (sostituzione, confronto, riduzione e cramer) e sistemi letterali

Know Sistemi di disequazioni thumbnail

114

4027

2ªl

Sistemi di disequazioni

Imformazioni esseziali per svolgere e capire i sistemi di disequazioni

Know Sistemi Lineari thumbnail

592

10162

2ªl

Sistemi Lineari

sistema lineari definizione, vari metodi di risoluzione (metodo di sostituzione, metodo di addizione e sottrazione, medoto di Cramer) e esempi

Know Sistemi di Equazione thumbnail

46

1371

2ªl/3ªl

Sistemi di Equazione

Equazioni lineari a 2 incognite, Sistemi, Sistemi lineari a due incognite, Risolvere i sistemi

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Knowunity è l'app per l'istruzione numero 1 in cinque paesi europei

Knowunity è stata inserita in un articolo di Apple ed è costantemente in cima alle classifiche degli app store nella categoria istruzione in Germania, Italia, Polonia, Svizzera e Regno Unito. Unisciti a Knowunity oggi stesso e aiuta milioni di studenti in tutto il mondo.

Ranked #1 Education App

Scarica

Google Play

Scarica

App Store

Knowunity è l'app per l'istruzione numero 1 in cinque paesi europei

4.9+

Valutazione media dell'app

15 M

Studenti che usano Knowunity

#1

Nelle classifiche delle app per l'istruzione in 12 Paesi

950 K+

Studenti che hanno caricato appunti

Non siete ancora sicuri? Guarda cosa dicono gli altri studenti...

Utente iOS

Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

Materie

/

Matematica

/

Aritmetica e algebra

/

I sistemi lineari

/

Il metodo di sostituzione, riduzione e confronto

Scopri i Sistemi Lineari: Schemi e Esercizi PDF Facili

user profile picture

Giulia Colonna

@giuliacolonna_tivd

·

46 Follower

Segui

Linear systems of equations form the foundation of solving multiple equations simultaneously. Sistemi lineari pdf resources provide comprehensive methods for understanding and solving these mathematical problems.

• A linear system consists of two or more equations that must be satisfied simultaneously with the same variables
• Three main types exist: Sistema determinato esempio (finite solutions), indeterminate (infinite solutions), and impossible (no solutions)
• Four primary solving methods: substitution, comparison, reduction, and Cramer's rule
• Special cases include literal systems and fractional systems requiring additional consideration
• The ratio criterion helps determine system type without solving

20/12/2022

8785

 

2ªl

 

Matematica

420

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Solution of a Linear System

The solution to a linear system is a set of values for the unknowns that satisfies all equations in the system simultaneously.

Highlight: A solution to a linear system must:

  1. Be an ordered pair (for two unknowns)
  2. Consist of real numbers
  3. Satisfy all equations in the system

Example: For a system with two unknowns, a solution might be represented as (7, 3), where x = 7 and y = 3.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Types of Linear Systems

Linear systems can be classified into three main categories based on their solutions:

  1. Sistema determinato (Determined system): Has a finite number of solutions.
  2. Sistema indeterminato (Undetermined system): Has an infinite number of solutions.
  3. Sistema impossibile (Impossible system): Has no solution.

Highlight: Understanding the type of system is crucial for choosing the appropriate solving method and interpreting the results.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Methods for Solving Linear Systems

There are several methods to solve linear systems. This guide covers four main approaches:

  1. Sistemi lineari - metodo di sostituzione (Substitution method)
  2. Sistemi lineari metodo di confronto (Comparison method)
  3. Sistemi lineari metodo di riduzione (Reduction method)
  4. Cramer's method

Each method has its advantages and is suitable for different types of systems.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Substitution Method

The metodo di sostituzione is a straightforward approach to solving linear systems.

Steps:

  1. Express one variable in terms of the other from one equation.
  2. Substitute this expression into the other equation.
  3. Solve for the remaining variable.
  4. Substitute back to find the value of the first variable.

Example: For the system {x + y = 10, x - y = 4}:

  1. From the first equation: x = 10 - y
  2. Substitute into the second equation: (10 - y) - y = 4
  3. Solve: 10 - 2y = 4, y = 3
  4. Substitute back: x = 10 - 3 = 7

The solution is (7, 3).

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Comparison Method

The metodo di confronto involves comparing expressions for the same variable derived from different equations.

Steps:

  1. Express one variable in terms of the other from both equations.
  2. Set these expressions equal to each other.
  3. Solve the resulting equation for one variable.
  4. Substitute to find the other variable.

Example: For the system {2x + y = 1, x + y = 4}:

  1. From both equations: y = 1 - 2x and y = 4 - x
  2. Set equal: 1 - 2x = 4 - x
  3. Solve: -x = 3, x = -3
  4. Substitute: y = 4 - (-3) = 7

The solution is (-3, 7).

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Reduction Method

The metodo di riduzione aims to eliminate one variable by adding or subtracting equations.

Steps:

  1. Multiply equations to make coefficients of one variable equal in magnitude but opposite in sign.
  2. Add or subtract the equations to eliminate that variable.
  3. Solve for the remaining variable.
  4. Substitute to find the eliminated variable.

Example: For the system {2x - 3y = 5, 5x + 3y = 9}:

  1. Multiply the first equation by 5 and the second by 2: 10x - 15y = 25 10x + 6y = 18
  2. Subtract: -21y = 7
  3. Solve: y = -1/3
  4. Substitute into 2x - 3y = 5 to find x = 2

The solution is (2, -1/3).

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Cramer's Method

Cramer's method uses determinants to solve linear systems.

Steps:

  1. Calculate the system determinant D.
  2. Calculate determinants Dx and Dy by replacing columns with constants.
  3. If D ≠ 0, the solution is x = Dx/D, y = Dy/D.

Highlight: Cramer's method also helps determine the system type:

  • If D ≠ 0, the system is determined.
  • If D = 0 and Dx or Dy ≠ 0, the system is impossible.
  • If D = Dx = Dy = 0, the system is undetermined.

Example: For the system {2x - 5y = 4, 3x - 4y = 6}: D = 2(-4) - (-5)(3) = 7 Dx = 4(-4) - 6(-5) = 14 Dy = 2(6) - 4(4) = 0 x = 14/7 = 2, y = 0/7 = 0

The solution is (2, 0).

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Special Cases and Exceptions

When dealing with linear systems, there are some special cases to consider:

  1. Sistemi letterali (Literal systems): These systems contain variables as coefficients. They should be solved using Cramer's method, followed by a discussion of possible cases.

  2. Sistemi fratti (Fractional systems): These systems involve fractions. It's important to find common denominators before solving.

Highlight: Always check for domain restrictions when dealing with fractional systems.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Criterion of Ratios

For systems in the form: {ax + by = c {a'x + b'y = c'

The criterion of ratios helps determine the system type without solving:

  1. If a/a' = b/b' ≠ c/c', the system is determined.
  2. If a/a' = b/b' = c/c', the system is undetermined.
  3. If a/a' = b/b' and b/b' ≠ c/c', the system is impossible.

Highlight: This criterion provides a quick way to analyze the nature of a linear system before attempting to solve it.

MATEMATICA 2ª SUPERIORE a SISTEMI LINEARI appunti INTRODUZIONE 2 Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza è 4 e la loro somma 10 x

Iscriviti per mostrare il contenuto. È gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Criterio dei Rapporti

Questa pagina finale introduce il criterio dei rapporti per analizzare i sistemi lineari. Si spiegano le condizioni per determinare se un sistema è determinato, impossibile o indeterminato basandosi sui rapporti tra i coefficienti delle equazioni.

Definizione: Il criterio dei rapporti è un metodo per determinare la natura di un sistema lineare senza risolverlo completamente. Highlight: Questo criterio è particolarmente utile per analizzare rapidamente la natura di un sistema senza dover eseguire calcoli complessi.

Contenuti simili

Matematica - Sistemi lineari e i metodi di risoluzione

appunti sui sistemi di equazioni lineari. metodo di sostituzione, metodo di riduzione, metodo del confronto, metodo di Cramer. Confronto fra i rapporti dei coefficienti.

359

12820

1

Know Sistemi lineari e i metodi di risoluzione thumbnail

Matematica - equazioni di secondo grado

equazioni di secondo grado: classificazione, risoluzione e equazioni frazionarie

797

15028

8

Know equazioni di secondo grado thumbnail

Matematica - I sistemi lineari

I sistemi lineari: cosa sono, relazioni tra i coefficienti, metodi di risoluzione (sostituzione, confronto, riduzione e cramer) e sistemi letterali

9

1106

0

Know I sistemi lineari thumbnail

Matematica - Sistemi di disequazioni

Imformazioni esseziali per svolgere e capire i sistemi di disequazioni

114

4027

1

Know Sistemi di disequazioni thumbnail

Matematica - Sistemi Lineari

sistema lineari definizione, vari metodi di risoluzione (metodo di sostituzione, metodo di addizione e sottrazione, medoto di Cramer) e esempi

592

10162

3

Know Sistemi Lineari thumbnail

Matematica - Sistemi di Equazione

Equazioni lineari a 2 incognite, Sistemi, Sistemi lineari a due incognite, Risolvere i sistemi

46

1371

0

Know Sistemi di Equazione thumbnail

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Knowunity è l'app per l'istruzione numero 1 in cinque paesi europei

Knowunity è stata inserita in un articolo di Apple ed è costantemente in cima alle classifiche degli app store nella categoria istruzione in Germania, Italia, Polonia, Svizzera e Regno Unito. Unisciti a Knowunity oggi stesso e aiuta milioni di studenti in tutto il mondo.

Ranked #1 Education App

Scarica

Google Play

Scarica

App Store

Knowunity è l'app per l'istruzione numero 1 in cinque paesi europei

4.9+

Valutazione media dell'app

15 M

Studenti che usano Knowunity

#1

Nelle classifiche delle app per l'istruzione in 12 Paesi

950 K+

Studenti che hanno caricato appunti

Non siete ancora sicuri? Guarda cosa dicono gli altri studenti...

Utente iOS

Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.