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I sistemi lineari

Materie

Matematica

Aritmetica e algebra

I sistemi lineari

Il metodo di sostituzione, riduzione e confronto

9406

•

29 giu 2025

•

12 pagine

Scopri i Sistemi Lineari: Schemi e Esercizi PDF Facili

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Giulia Colonna

@giuliacolonna_tivd

Linear systems of equations form the foundation of solving multiple... Mostra di più

MATEMATICA 2ª SUPERIORE
a
SISTEMI
LINEARI
appunti INTRODUZIONE
2
Determina 2 numeri sapendo che la loro differenza
è 4 e la loro somma 10
x

Solution of a Linear System

The solution to a linear system is a set of values for the unknowns that satisfies all equations in the system simultaneously.

Highlight: A solution to a linear system must:

Be an ordered pair $for two unknowns$

Consist of real numbers

Satisfy all equations in the system

Example: For a system with two unknowns, a solution might be represented as $7, 3$ , where x = 7 and y = 3.

Types of Linear Systems

Linear systems can be classified into three main categories based on their solutions:

Sistema determinato $Determined system$ : Has a finite number of solutions.
Sistema indeterminato $Undetermined system$ : Has an infinite number of solutions.
Sistema impossibile $Impossible system$ : Has no solution.

Highlight: Understanding the type of system is crucial for choosing the appropriate solving method and interpreting the results.

Methods for Solving Linear Systems

There are several methods to solve linear systems. This guide covers four main approaches:

Sistemi lineari - metodo di sostituzione $Substitution method$
Sistemi lineari metodo di confronto $Comparison method$
Sistemi lineari metodo di riduzione $Reduction method$
Cramer's method

Each method has its advantages and is suitable for different types of systems.

Substitution Method

The metodo di sostituzione is a straightforward approach to solving linear systems.

Steps:

Express one variable in terms of the other from one equation.
Substitute this expression into the other equation.
Solve for the remaining variable.
Substitute back to find the value of the first variable.

Example: For the system {x + y = 10, x - y = 4}:

From the first equation: x = 10 - y

Substitute into the second equation: $10 - y$ - y = 4

Solve: 10 - 2y = 4, y = 3

Substitute back: x = 10 - 3 = 7

The solution is $7, 3$ .

Comparison Method

The metodo di confronto involves comparing expressions for the same variable derived from different equations.

Steps:

Express one variable in terms of the other from both equations.
Set these expressions equal to each other.
Solve the resulting equation for one variable.
Substitute to find the other variable.

Example: For the system {2x + y = 1, x + y = 4}:

From both equations: y = 1 - 2x and y = 4 - x

Set equal: 1 - 2x = 4 - x

Solve: -x = 3, x = -3

Substitute: y = 4 - $-3$ = 7

The solution is $-3, 7$ .

Reduction Method

The metodo di riduzione aims to eliminate one variable by adding or subtracting equations.

Steps:

Multiply equations to make coefficients of one variable equal in magnitude but opposite in sign.
Add or subtract the equations to eliminate that variable.
Solve for the remaining variable.
Substitute to find the eliminated variable.

Example: For the system {2x - 3y = 5, 5x + 3y = 9}:

Multiply the first equation by 5 and the second by 2: 10x - 15y = 25 10x + 6y = 18

Subtract: -21y = 7

Solve: y = -1/3

Substitute into 2x - 3y = 5 to find x = 2

The solution is $2, -1/3$ .

Cramer's Method

Cramer's method uses determinants to solve linear systems.

Steps:

Calculate the system determinant D.
Calculate determinants Dx and Dy by replacing columns with constants.
If D ≠ 0, the solution is x = Dx/D, y = Dy/D.

Highlight: Cramer's method also helps determine the system type:

If D ≠ 0, the system is determined.

If D = 0 and Dx or Dy ≠ 0, the system is impossible.

If D = Dx = Dy = 0, the system is undetermined.

Example: For the system {2x - 5y = 4, 3x - 4y = 6}: D = 2 $-4$ - $-5$ $3$ = 7 Dx = 4 $-4$ - 6 $-5$ = 14 Dy = 2 $6$ - 4 $4$ = 0 x = 14/7 = 2, y = 0/7 = 0

The solution is $2, 0$ .

Special Cases and Exceptions

When dealing with linear systems, there are some special cases to consider:

Sistemi letterali $Literal systems$ : These systems contain variables as coefficients. They should be solved using Cramer's method, followed by a discussion of possible cases.
Sistemi fratti $Fractional systems$ : These systems involve fractions. It's important to find common denominators before solving.

Highlight: Always check for domain restrictions when dealing with fractional systems.

Criterion of Ratios

For systems in the form: {ax + by = c {a'x + b'y = c'

The criterion of ratios helps determine the system type without solving:

If a/a' = b/b' ≠ c/c', the system is determined.
If a/a' = b/b' = c/c', the system is undetermined.
If a/a' = b/b' and b/b' ≠ c/c', the system is impossible.

Highlight: This criterion provides a quick way to analyze the nature of a linear system before attempting to solve it.

Criterio dei Rapporti

Questa pagina finale introduce il criterio dei rapporti per analizzare i sistemi lineari. Si spiegano le condizioni per determinare se un sistema è determinato, impossibile o indeterminato basandosi sui rapporti tra i coefficienti delle equazioni.

Definizione: Il criterio dei rapporti è un metodo per determinare la natura di un sistema lineare senza risolverlo completamente. Highlight: Questo criterio è particolarmente utile per analizzare rapidamente la natura di un sistema senza dover eseguire calcoli complessi.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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App Store

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Sudenaz Ocak

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Martina

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Linear systems of equations form the foundation of solving multiple equations simultaneously. Sistemi lineari pdf resources provide comprehensive methods for understanding and solving these mathematical problems.

• A linear system consists of two or more equations that must be satisfied... Mostra di più

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Solution of a Linear System

The solution to a linear system is a set of values for the unknowns that satisfies all equations in the system simultaneously.

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Example: For a system with two unknowns, a solution might be represented as $7, 3$ , where x = 7 and y = 3.

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Linear systems can be classified into three main categories based on their solutions:

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Substitution Method

The metodo di sostituzione is a straightforward approach to solving linear systems.

Steps:

Express one variable in terms of the other from one equation.
Substitute this expression into the other equation.
Solve for the remaining variable.
Substitute back to find the value of the first variable.

Example: For the system {x + y = 10, x - y = 4}:

From the first equation: x = 10 - y

Substitute into the second equation: $10 - y$ - y = 4

Solve: 10 - 2y = 4, y = 3

Substitute back: x = 10 - 3 = 7

The solution is $7, 3$ .

Comparison Method

The metodo di confronto involves comparing expressions for the same variable derived from different equations.

Steps:

Express one variable in terms of the other from both equations.
Set these expressions equal to each other.
Solve the resulting equation for one variable.
Substitute to find the other variable.

Example: For the system {2x + y = 1, x + y = 4}:

From both equations: y = 1 - 2x and y = 4 - x

Set equal: 1 - 2x = 4 - x

Solve: -x = 3, x = -3

Substitute: y = 4 - $-3$ = 7

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Reduction Method

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Add or subtract the equations to eliminate that variable.
Solve for the remaining variable.
Substitute to find the eliminated variable.

Example: For the system {2x - 3y = 5, 5x + 3y = 9}:

Multiply the first equation by 5 and the second by 2: 10x - 15y = 25 10x + 6y = 18

Subtract: -21y = 7

Solve: y = -1/3

Substitute into 2x - 3y = 5 to find x = 2

The solution is $2, -1/3$ .

Cramer's Method

Cramer's method uses determinants to solve linear systems.

Steps:

Calculate the system determinant D.
Calculate determinants Dx and Dy by replacing columns with constants.
If D ≠ 0, the solution is x = Dx/D, y = Dy/D.

Highlight: Cramer's method also helps determine the system type:

If D ≠ 0, the system is determined.

If D = 0 and Dx or Dy ≠ 0, the system is impossible.

If D = Dx = Dy = 0, the system is undetermined.

Example: For the system {2x - 5y = 4, 3x - 4y = 6}: D = 2 $-4$ - $-5$ $3$ = 7 Dx = 4 $-4$ - 6 $-5$ = 14 Dy = 2 $6$ - 4 $4$ = 0 x = 14/7 = 2, y = 0/7 = 0

The solution is $2, 0$ .

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If a/a' = b/b' = c/c', the system is undetermined.
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Stefano S

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Samantha Klich

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Anna

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