Equazioni di Secondo Grado: Spiegazione e Risoluzione

Le equazioni di secondo grado sono una parte fondamentale dell'algebra. La loro forma standard è ax² + bx + c = 0, dove a, b e c sono coefficienti reali e a deve essere diverso da zero. Questa pagina fornisce una spiegazione dettagliata dei vari tipi di equazioni di secondo grado e dei metodi per risolverle.

Classificazione delle Equazioni di Secondo Grado

1. Equazione completa: ax² + bx + c = 0
2. Equazione pura: ax² + c = 0
3. Equazione spuria: ax² + bx = 0
4. Equazione monomia: ax² = 0

Definizione: Un'equazione di secondo grado è detta completa quando tutti i termini (ax², bx, e c) sono presenti e diversi da zero.

Metodi di Risoluzione

Per le equazioni monomie (ax² = 0), la soluzione è sempre x = 0.

Esempio: -7x² = 0 ⇒ x = 0

Per le equazioni pure (ax² + c = 0), si utilizza la radice quadrata.

Esempio: 3x² = 6 ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2

Le equazioni spurie (ax² + bx = 0) hanno sempre due soluzioni, di cui una è sempre zero.

Esempio: 3x² - 4x = 0 ⇒ x(3x - 4) = 0 ⇒ x = 0 o x = 4/3

Per le equazioni complete, si utilizza la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:

x₁,₂ = (-b ± √Δ) / (2a), dove Δ = b² - 4ac

Highlight: Il discriminante Δ determina il numero e il tipo di soluzioni:

• Se Δ > 0, ci sono due soluzioni reali e distinte
• Se Δ = 0, c'è una soluzione reale doppia
• Se Δ < 0, non ci sono soluzioni reali

Equazioni Fratte di Secondo Grado

Le equazioni fratte di secondo grado richiedono un approccio particolare:

1. Scomporre i denominatori
2. Calcolare le condizioni di esistenza (C.E.)
3. Risolvere l'equazione risultante
4. Verificare le soluzioni con le C.E.

Esempio: 1/(x²) + 2/x = 4 C.E.: x ≠ 0 Risoluzione: x + 2 = 4x² ⇒ 4x² - x - 2 = 0

Questa guida fornisce gli strumenti essenziali per affrontare e risolvere vari tipi di equazioni di secondo grado, dalle più semplici alle più complesse, incluse le equazioni fratte.