Calcolo dei Limiti Matematici: Guida Pratica

Alice Pasquali

22/11/2025

Matematica

I Limiti Matematici

Materie

Matematica

1314

•

22 nov 2025

•

6 pagine

Calcolo dei Limiti Matematici: Guida Pratica

Alice Pasquali

@alicepasquali_gcbt

I limiti sono uno degli strumenti più importanti del calcolo... Mostra di più

1 / 6

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Che cosa sono i limiti?

Calcolare un limite significa analizzare come si comporta una funzione quando ti avvicini a un punto specifico. È come osservare cosa succede "nelle vicinanze" di quel punto senza mai toccarlo davvero.

Prendiamo l'esempio della funzione $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ . Anche se non possiamo calcolare direttamente il valore per x = 2 $darebbe 0/0$ , possiamo vedere cosa succede avvicinandoci: per x = 2,1 otteniamo 4,1, per x = 1,9 otteniamo 3,9, e così via.

La tabella mostra chiaramente che più ci avviciniamo a 2, più il risultato si avvicina a 4. Questo significa che $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ . Semplificando la frazione otteniamo y = x + 2, che in x = 2 vale proprio 4!

💡 Trucco: Quando hai una frazione che dà 0/0, prova sempre a scomporre e semplificare prima di arrenderti!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Forme indeterminate: +∞ - ∞ e ∞/∞

Le forme indeterminate sono situazioni dove il limite non è immediatamente chiaro. Non preoccuparti: esistono strategie precise per risolverle!

Per la forma +∞ - ∞ con i polinomi, raccogli sempre la x di grado massimo. Nell'esempio $\lim_{x \to +∞} 2x³ - x² + 3$ , raccogli x³: ottieni $x³(2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x²})$ . Quando x tende a +∞, i termini con x al denominatore diventano zero, quindi il risultato è +∞ · 2 = +∞.

Per la forma ∞/∞ con le frazioni di polinomi, raccogli le x di grado massimo sia sopra che sotto. Nel caso di $\frac{x + 2}{2x² - 5}$ , raccogli x sopra e x² sotto. Semplificando ottieni $\frac{1}{x} \cdot \frac{qualcosa}{qualcosa}$ , che tende a 0 perché 1/∞ = 0.

💡 Ricorda: Il grado più alto comanda sempre! È lui che determina il comportamento all'infinito.

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

La forma indeterminata 0/0

La forma 0/0 è probabilmente quella che incontrerai più spesso negli esercizi. La strategia vincente è sempre: scomponi e semplifica!

Nell'esempio $\lim_{x \to 1} \frac{x² - 1}{x - 1}$ , sostituendo x = 1 ottieni 0/0. Però x² - 1 si può scomporre come $x+1$ $x-1$ . A questo punto puoi semplificare il fattore $x-1$ comune e ottenere semplicemente x + 1.

Il limite diventa quindi $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ . Facilissimo una volta semplificato!

💡 Strategia: Quando vedi 0/0, cerca sempre fattori comuni da semplificare. Spesso il problema si risolve in pochi passaggi!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Limiti notevoli trigonometrici

I limiti notevoli sono formule che devi assolutamente memorizzare perché ti fanno risparmiare un sacco di tempo negli esercizi!

Il più importante è $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Questo limite è fondamentale e lo userai continuamente. Per esempio, in $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$ puoi riscrivere come $5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$ .

Altri due limiti essenziali sono $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ e $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x²} = \frac{1}{2}$ . La differenza tra questi due è nel denominatore: con x al denominatore il limite è 0, con x² è 1/2.

💡 Consiglio: Impara questi tre limiti a memoria! Li riconoscerai subito negli esercizi e ti semplificheranno la vita.

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Esempi pratici con i limiti trigonometrici

Ora vediamo come applicare i limiti notevoli in situazioni più complesse. Non è difficile come sembra: basta riconoscere le forme che conosci!

Nel limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - \cos x}$ , il numeratore tende a 0 mentre il denominatore tende anche lui a 0. Però attenzione: usando i limiti notevoli, $\sin x \sim x$ e $1 - \cos x \sim \frac{x²}{2}$ per x → 0.

Per $\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{\tan² x}$ , riscrivilo come $\frac{2x \sin x \cos² x}{\sin² x}$ . Semplificando ottieni $\frac{2x \cos² x}{\sin x}$ , che diventa $2 \cos² x \cdot \frac{x}{\sin x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ .

💡 Trucco: Quando hai funzioni trigonometriche miste, prova sempre a esprimere tutto in termini di seno e coseno!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Limiti con esponenziali e logaritmi

I limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche hanno anch'essi le loro formule notevoli che devi conoscere assolutamente!

Il limite fondamentale è $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ . Per usarlo negli esercizi, cerca sempre di ricondurre la tua espressione a questa forma. Per esempio, in $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{2x}}{\sin x}$ puoi riscrivere il numeratore e usare il fatto che $\sin x \sim x$ .

Per i logaritmi, ricorda che $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ . Il limite più famoso di tutti è però $\lim_{x \to ∞} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ , la definizione stessa del numero di Eulero!

💡 Importante: Il numero e nasce proprio da questo limite! È la base dei logaritmi naturali e compare ovunque in matematica e fisica.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Materie

Matematica

•

1314

•

22 nov 2025

•

6 pagine

Calcolo dei Limiti Matematici: Guida Pratica

Alice Pasquali

@alicepasquali_gcbt

I limiti sono uno degli strumenti più importanti del calcolo matematico! Ti permettono di capire come si comporta una funzione quando ti avvicini a un punto particolare o quando vai verso l'infinito. Può sembrare complesso all'inizio, ma con le tecniche... Mostra di più

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Che cosa sono i limiti?

💡 Trucco: Quando hai una frazione che dà 0/0, prova sempre a scomporre e semplificare prima di arrenderti!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Forme indeterminate: +∞ - ∞ e ∞/∞

Le forme indeterminate sono situazioni dove il limite non è immediatamente chiaro. Non preoccuparti: esistono strategie precise per risolverle!

💡 Ricorda: Il grado più alto comanda sempre! È lui che determina il comportamento all'infinito.

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

La forma indeterminata 0/0

La forma 0/0 è probabilmente quella che incontrerai più spesso negli esercizi. La strategia vincente è sempre: scomponi e semplifica!

Il limite diventa quindi $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ . Facilissimo una volta semplificato!

💡 Strategia: Quando vedi 0/0, cerca sempre fattori comuni da semplificare. Spesso il problema si risolve in pochi passaggi!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Limiti notevoli trigonometrici

I limiti notevoli sono formule che devi assolutamente memorizzare perché ti fanno risparmiare un sacco di tempo negli esercizi!

💡 Consiglio: Impara questi tre limiti a memoria! Li riconoscerai subito negli esercizi e ti semplificheranno la vita.

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Esempi pratici con i limiti trigonometrici

Ora vediamo come applicare i limiti notevoli in situazioni più complesse. Non è difficile come sembra: basta riconoscere le forme che conosci!

💡 Trucco: Quando hai funzioni trigonometriche miste, prova sempre a esprimere tutto in termini di seno e coseno!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Accesso a tutti i documenti

Migliora i tuoi voti

Unisciti a milioni di studenti

Iscrivendosi si accettano i Termini di servizio e la Informativa sulla privacy.

Limiti con esponenziali e logaritmi

I limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche hanno anch'essi le loro formule notevoli che devi conoscere assolutamente!

💡 Importante: Il numero e nasce proprio da questo limite! È la base dei logaritmi naturali e compare ovunque in matematica e fisica.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Strumenti Intelligenti NUOVO

Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi

Simulazione d'Esame

Quiz

Flashcard

Saggio

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS