Materie

Matematica

12 dic 2025

1412

6 pagine

Calcolo dei Limiti Matematici: Guida Pratica

Alice Pasquali @alicepasquali_gcbt

Segui

I limiti sono uno degli strumenti più importanti del calcolo matematico! Ti permettono di capire come si comporta... Mostra di più

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Che cosa sono i limiti?

Calcolare un limite significa analizzare come si comporta una funzione quando ti avvicini a un punto specifico. È come osservare cosa succede "nelle vicinanze" di quel punto senza mai toccarlo davvero.

Prendiamo l'esempio della funzione $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ . Anche se non possiamo calcolare direttamente il valore per x = 2 $darebbe 0/0$ , possiamo vedere cosa succede avvicinandoci per x = 2,1 otteniamo 4,1, per x = 1,9 otteniamo 3,9, e così via.

La tabella mostra chiaramente che più ci avviciniamo a 2, più il risultato si avvicina a 4. Questo significa che $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ . Semplificando la frazione otteniamo y = x + 2, che in x = 2 vale proprio 4!

💡 Trucco Quando hai una frazione che dà 0/0, prova sempre a scomporre e semplificare prima di arrenderti!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Forme indeterminate +∞ - ∞ e ∞/∞

Le forme indeterminate sono situazioni dove il limite non è immediatamente chiaro. Non preoccuparti esistono strategie precise per risolverle!

Per la forma +∞ - ∞ con i polinomi, raccogli sempre la x di grado massimo. Nell'esempio $\lim_{x \to +∞} 2x³ - x² + 3$ , raccogli x³ ottieni $x³(2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x²})$ . Quando x tende a +∞, i termini con x al denominatore diventano zero, quindi il risultato è +∞ · 2 = +∞.

Per la forma ∞/∞ con le frazioni di polinomi, raccogli le x di grado massimo sia sopra che sotto. Nel caso di $\frac{x + 2}{2x² - 5}$ , raccogli x sopra e x² sotto. Semplificando ottieni $\frac{1}{x} \cdot \frac{qualcosa}{qualcosa}$ , che tende a 0 perché 1/∞ = 0.

💡 Ricorda Il grado più alto comanda sempre! È lui che determina il comportamento all'infinito.

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

La forma indeterminata 0/0

La forma 0/0 è probabilmente quella che incontrerai più spesso negli esercizi. La strategia vincente è sempre scomponi e semplifica!

Nell'esempio $\lim_{x \to 1} \frac{x² - 1}{x - 1}$ , sostituendo x = 1 ottieni 0/0. Però x² - 1 si può scomporre come $x+1$ $x-1$ . A questo punto puoi semplificare il fattore $x-1$ comune e ottenere semplicemente x + 1.

Il limite diventa quindi $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ . Facilissimo una volta semplificato!

💡 Strategia Quando vedi 0/0, cerca sempre fattori comuni da semplificare. Spesso il problema si risolve in pochi passaggi!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Limiti notevoli trigonometrici

I limiti notevoli sono formule che devi assolutamente memorizzare perché ti fanno risparmiare un sacco di tempo negli esercizi!

Il più importante è $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Questo limite è fondamentale e lo userai continuamente. Per esempio, in $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$ puoi riscrivere come $5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$ .

Altri due limiti essenziali sono $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ e $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x²} = \frac{1}{2}$ . La differenza tra questi due è nel denominatore con x al denominatore il limite è 0, con x² è 1/2.

💡 Consiglio Impara questi tre limiti a memoria! Li riconoscerai subito negli esercizi e ti semplificheranno la vita.

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Esempi pratici con i limiti trigonometrici

Ora vediamo come applicare i limiti notevoli in situazioni più complesse. Non è difficile come sembra basta riconoscere le forme che conosci!

Nel limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - \cos x}$ , il numeratore tende a 0 mentre il denominatore tende anche lui a 0. Però attenzione usando i limiti notevoli, $\sin x \sim x$ e $1 - \cos x \sim \frac{x²}{2}$ per x → 0.

Per $\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{\tan² x}$ , riscrivilo come $\frac{2x \sin x \cos² x}{\sin² x}$ . Semplificando ottieni $\frac{2x \cos² x}{\sin x}$ , che diventa $2 \cos² x \cdot \frac{x}{\sin x} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ .

💡 Trucco Quando hai funzioni trigonometriche miste, prova sempre a esprimere tutto in termini di seno e coseno!

$DEFINIZIONE DI y = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} CE. : x ≠ 2 f(x) = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} y = x + 2 limite CALCOLARE UN LIMITE: anal$

Limiti con esponenziali e logaritmi

I limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche hanno anch'essi le loro formule notevoli che devi conoscere assolutamente!

Il limite fondamentale è $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ . Per usarlo negli esercizi, cerca sempre di ricondurre la tua espressione a questa forma. Per esempio, in $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{2x}}{\sin x}$ puoi riscrivere il numeratore e usare il fatto che $\sin x \sim x$ .

Per i logaritmi, ricorda che $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ . Il limite più famoso di tutti è però $\lim_{x \to ∞} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ , la definizione stessa del numero di Eulero!

💡 Importante Il numero e nasce proprio da questo limite! È la base dei logaritmi naturali e compare ovunque in matematica e fisica.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Strumenti Intelligenti NUOVO

Trasforma questi appunti in: ✓ 50+ Domande di Pratica ✓ Flashcard Interattive ✓ Simulazione Completa d'Esame ✓ Schemi per Saggi

Simulazione d'Esame

Quiz

Flashcard

Saggio

Contenuti più popolari: analisi matematica

Le funzioni

Teoria sulle funzioni: definizione, crescente, decrescente, monotona, pari o dispari, iniettiva, suriettiva o biunivoca, trascendente, classificazione.

Calcolo dei Limiti Matematici: Guida Pratica

Che cosa sono i limiti?

Forme indeterminate +∞ - ∞ e ∞/∞

La forma indeterminata 0/0

Limiti notevoli trigonometrici

Esempi pratici con i limiti trigonometrici

Limiti con esponenziali e logaritmi

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti più popolari: analisi matematica

Le funzioni

Studio di funzione

Appunti Analisi 1

Funzioni

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ

GUIDA PER LO STUDIO DI FUNZIONI MATEMATICHE

funzioni

STUDIO DI FUNZIONE

Matematica per la maturità

Contenuti più popolari di Matematica

Le funzioni

Funzioni

le funzioni

Domini delle funzioni

I logaritmi

matematica: le funzioni

I radicali - appunti di matematica

Funzioni esponenziali, equazioni esponenziali, disequazioni esponenziali e grafici esponenziali

Prodotti notevoli

Contenuti più popolari

teoria patente B

Leopardi

riassunti promessi sposi capitolo 1/2/3/4/5/6

Riassunto patente B

PATENTE B

HEGEL

Patente

I promessi sposi

HEGEL

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

4.8/5

Calcolo dei Limiti Matematici: Guida Pratica

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Che cosa sono i limiti?

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Forme indeterminate: +∞ - ∞ e ∞/∞

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

La forma indeterminata 0/0

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Limiti notevoli trigonometrici

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Esempi pratici con i limiti trigonometrici

Iscriviti per mostrare il contenutoÈ gratis!

Limiti con esponenziali e logaritmi

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

Knowunity è davvero gratuita?

Contenuti più popolari: analisi matematica

Le funzioni

Studio di funzione

Appunti Analisi 1

Funzioni

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ

GUIDA PER LO STUDIO DI FUNZIONI MATEMATICHE

funzioni

STUDIO DI FUNZIONE

Matematica per la maturità

Contenuti più popolari di Matematica

Le funzioni

Funzioni

le funzioni

Domini delle funzioni

I logaritmi

matematica: le funzioni

I radicali - appunti di matematica