Limiti e Continuità nelle Funzioni Matematiche
I limiti e intorni in topologia matematica rappresentano concetti fondamentali per comprendere il comportamento delle funzioni. Una funzione si definisce continua in un punto xₒ del suo dominio quando il limite della funzione che si avvicina a quel punto coincide con il valore della funzione in quel punto.
Definizione: Una funzione è continua in xₒ se esiste il limite per x→xₒ ed è uguale a f(xₒ).
Le funzioni elementari, come polinomi, radici, logaritmi, esponenziali e funzioni goniometriche, sono continue in tutto il loro dominio naturale. Questo è un risultato fondamentale che permette di calcolare molti limiti direttamente sostituendo il valore del punto.
Esempio: Per la funzione f(x) = 3x-5, calcoliamo il limite per x→1:
lim(3x-5) = 3(1)-5 = -2
x→1
Quando si studiano i limiti, è importante considerare gli intervalli topologici limitati illimitati e i comportamenti delle funzioni all'infinito. Esistono diverse forme indeterminate che richiedono tecniche specifiche di risoluzione:
Evidenziazione: Le forme indeterminate principali sono:
- [0/0]
- [∞/∞]
- [∞-∞]
- [0·∞]
- [1^∞]