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Tutto sul Limite Finito: Definizione, Esempi e Teoremi Facili

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Matteo Benna

10/10/2022

Matematica

Limiti

Tutto sul Limite Finito: Definizione, Esempi e Teoremi Facili

I teoremi sui limiti costituiscono le fondamenta per comprendere il comportamento delle funzioni matematiche.

Il limite finito per x che tende a un valore finito rappresenta uno dei concetti più importanti del calcolo differenziale. Quando studiamo il limite finito al finito, osserviamo come una funzione si avvicina a un determinato valore mentre la variabile x si avvicina a un punto specifico. La definizione formale richiede che per ogni ε > 0 esista un δ > 0 tale che per tutti i valori di x che distano da x₀ meno di δ, i corrispondenti valori della funzione distino dal limite meno di ε. Questo concetto è fondamentale per comprendere la continuità delle funzioni e viene spesso illustrato attraverso grafici che mostrano l'andamento della funzione in prossimità del punto di interesse.

I teoremi sui limiti forniscono gli strumenti necessari per calcolare i limiti senza dover sempre ricorrere alla definizione. Il teorema di unicità del limite afferma che se esiste il limite di una funzione in un punto, questo deve essere unico. L'algebra dei limiti ci permette di operare con i limiti di funzioni elementari attraverso le operazioni di somma, prodotto, quoziente e potenza. Questi teoremi sono particolarmente utili nella risoluzione di esercizi pratici, come dimostrato in numerosi esercizi svolti disponibili su piattaforme come YouMath. Per quanto riguarda il limite finito all'infinito, questo descrive il comportamento di una funzione quando la variabile x cresce indefinitamente, concetto fondamentale per lo studio degli asintoti orizzontali. La comprensione di questi teoremi è essenziale per affrontare lo studio dell'analisi matematica e del calcolo differenziale, fornendo gli strumenti necessari per analizzare il comportamento delle funzioni in diversi contesti.

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10/10/2022

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<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Limiti Finiti e Teoremi Fondamentali

Il concetto di limite finito per x che tende a x0 rappresenta uno dei pilastri fondamentali dell'analisi matematica. Quando parliamo di limite finito al finito, ci riferiamo alla situazione in cui una funzione si avvicina a un valore preciso mentre la variabile indipendente tende a un punto specifico.

Definizione: Il limite finito definizione stabilisce che per ogni ε > 0 arbitrariamente piccolo, esiste un intorno di x₀ tale che tutti i valori della funzione fxx appartengono all'intervallo lε,l+εl-ε, l+ε, dove l è il valore del limite.

La verifica di un limite finito esempio richiede tre passaggi fondamentali: fissare ε positivo, determinare l'intorno del punto x₀, e verificare che fxx cada nell'intervallo desiderato. Il limite finito per x che tende a un valore finito grafico può essere visualizzato come una banda orizzontale centrata sul valore limite.

Esempio: Consideriamo fxx = x23x+2x²-3x+2/x2x-2. Per verificare che il limite per x→2 è 1, dobbiamo dimostrare che possiamo rendere |fxx-1| piccolo quanto vogliamo scegliendo x sufficientemente vicino a 2.


<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Teoremi sui Limiti e Applicazioni

I teoremi sui limiti costituiscono gli strumenti essenziali per il calcolo dei limiti senza ricorrere alla definizione. Il teorema di unicità del limite afferma che se esiste il limite di una funzione in un punto, questo deve essere unico.

Highlight: I teoremi sui limiti spiegati facili includono il teorema del confronto, della permanenza del segno e dei limiti notevoli, fondamentali per la risoluzione di esercizi.

L'algebra dei limiti dimostrazione si basa su operazioni fondamentali tra limiti, permettendo di calcolare limiti di funzioni composte. I teoremi sui limiti matematika forniscono regole precise per il calcolo con somme, prodotti, quozienti e potenze.

Vocabolario: L'insieme dei teoremi sui limiti forma quella che viene chiamata "algebra dei limiti", essenziale per la risoluzione di problemi complessi.


<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Limiti e Punti di Accumulazione

Un concetto fondamentale legato ai limiti è quello dei punti di accumulazione. Un punto x₀ è di accumulazione per un insieme A se ogni intorno di x₀ contiene infiniti punti di A diversi da x₀ stesso.

Definizione: Un punto di accumulazione è essenziale per l'esistenza del limite, poiché il limite può essere calcolato solo nei punti di accumulazione del dominio della funzione.

La verifica dei limiti nei punti di accumulazione richiede particolare attenzione, specialmente quando si studiano funzioni definite a tratti. I teoremi sui limiti youmath offrono strumenti pratici per questa analisi.


<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Applicazioni e Casi Particolari

L'applicazione pratica dei limiti si estende a numerosi campi, dalla fisica all'economia. I teoremi sui limiti pdf disponibili online offrono raccolte complete di esempi e applicazioni.

Esempio: Nelle applicazioni fisiche, i limiti sono utilizzati per calcolare velocità istantanee, accelerazioni e tassi di variazione.

I teoremi sui limiti zanichelli forniscono una base teorica solida per lo studio dell'analisi matematica, con particolare attenzione ai teoremi sui limiti esercizi svolti che aiutano a consolidare la comprensione attraverso la pratica.


<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Teoremi Fondamentali sui Limiti e Loro Applicazioni

I teoremi sui limiti costituiscono le fondamenta per comprendere il comportamento delle funzioni quando si avvicinano a determinati valori. Questi concetti sono essenziali per lo studio dell'analisi matematica e del calcolo differenziale.

Definizione: Il limite finito per x che tende a un valore finito si verifica quando, avvicinandosi a un punto x₀, i valori della funzione si avvicinano a un valore L finito.

Il teorema di unicità del limite stabilisce che se esiste il limite di una funzione in un punto, questo deve essere unico. La dimostrazione procede per assurdo: supponendo che esistano due limiti diversi, si arriva a una contraddizione che conferma l'unicità del limite.

Esempio: Consideriamo fxx = x². Se dimostriamo che limx2x→2 x² = 4, non può esistere un altro valore limite per la stessa funzione nello stesso punto.


<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Teorema del Confronto e sue Applicazioni

Il teorema del confronto, noto anche come teorema dei due carabinieri, è uno strumento potente per determinare i limiti di funzioni complesse. Questo teorema afferma che se una funzione è "stretta" tra due funzioni che tendono allo stesso limite, anche la funzione intermedia tenderà a quel limite.

Evidenziazione: Per applicare il teorema del confronto sono necessarie tre funzioni hxx ≤ fxx ≤ gxx dove hxx e gxx tendono allo stesso limite L.

La dimostrazione del teorema richiede l'uso degli intorni e della definizione di limite, mostrando come le disuguaglianze si mantengano in un opportuno intorno del punto di accumulazione.

Vocabolario: L'algebra dei limiti dimostrazione si basa su questi teoremi fondamentali che permettono di calcolare limiti complessi scomponendoli in operazioni più semplici.


<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Teorema della Permanenza del Segno

Il teorema della permanenza del segno è un risultato fondamentale che collega il segno del limite con il segno della funzione in un opportuno intorno del punto. Questo teorema è particolarmente utile per lo studio del segno delle funzioni e per la risoluzione di disequazioni.

Definizione: Se il limite di una funzione è positivo onegativoo negativo, esiste un intorno del punto in cui la funzione mantiene lo stesso segno del limite.

La dimostrazione utilizza la definizione di limite e la scelta opportuna di ε per garantire che la funzione mantenga il segno del limite in un intorno sufficientemente piccolo del punto.

Esempio: Se limxx0x→x₀ fxx = 2 > 0, esiste un intorno di x₀ in cui fxx > 0.


<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Applicazioni Pratiche dei Teoremi sui Limiti

I teoremi sui limiti spiegati facili trovano numerose applicazioni pratiche, dalla fisica all'economia. La comprensione di questi teoremi è fondamentale per lo studio delle derivate e degli integrali.

Evidenziazione: I teoremi sui limiti youmath e altre risorse online offrono esempi pratici e visualizzazioni che aiutano a comprendere meglio questi concetti.

La padronanza di questi teoremi permette di affrontare problemi complessi di analisi matematica, come lo studio di funzioni discontinue o l'analisi di fenomeni fisici che presentano comportamenti asintotici.

I teoremi sui limiti matematika forniscono gli strumenti teorici necessari per comprendere il comportamento delle funzioni in prossimità di punti critici, essenziali per lo studio dell'analisi matematica avanzata.


<p>There are 4 definitions of limits. The first one is the definition of finite limit. This definition is important when we want to underst

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Teoremi Fondamentali sui Limiti e il Teorema della Permanenza del Segno

Il teorema di unicità del limite rappresenta uno dei pilastri fondamentali dell'analisi matematica. Quando studiamo i limiti finiti per x che tende a un valore finito, è essenziale comprendere come questo teorema garantisca che una funzione non possa avere due limiti diversi nello stesso punto. La dimostrazione si basa sul metodo di riduzione all'assurdo, utilizzando le proprietà fondamentali dei numeri reali.

Nel contesto dei limiti finiti al finito, il teorema della permanenza del segno ci permette di stabilire il comportamento di una funzione in un intorno del punto di accumulazione. Quando una funzione ha un limite positivo onegativoo negativo, esiste sempre un intorno del punto in cui la funzione mantiene lo stesso segno del limite.

La comprensione dei teoremi sui limiti richiede una solida base teorica, ma le applicazioni pratiche sono numerose, specialmente nello studio delle funzioni continue e nella risoluzione di problemi di ottimizzazione.

Definizione: Il teorema della permanenza del segno afferma che se lim fxx = L > 0 per x→x₀, allora esiste un intorno di x₀ in cui fxx > 0.

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L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

 

Matematica

7461

10 ott 2022

29 pagine

Tutto sul Limite Finito: Definizione, Esempi e Teoremi Facili

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Matteo Benna

@matteobenna_rues

I teoremi sui limiti costituiscono le fondamenta per comprendere il comportamento delle funzioni matematiche.

Il limite finito per x che tende a un valore finito rappresenta uno dei concetti più importanti del calcolo differenziale. Quando studiamo il limite finito al... Mostra di più


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Limiti Finiti e Teoremi Fondamentali

Il concetto di limite finito per x che tende a x0 rappresenta uno dei pilastri fondamentali dell'analisi matematica. Quando parliamo di limite finito al finito, ci riferiamo alla situazione in cui una funzione si avvicina a un valore preciso mentre la variabile indipendente tende a un punto specifico.

Definizione: Il limite finito definizione stabilisce che per ogni ε > 0 arbitrariamente piccolo, esiste un intorno di x₀ tale che tutti i valori della funzione fxx appartengono all'intervallo lε,l+εl-ε, l+ε, dove l è il valore del limite.

La verifica di un limite finito esempio richiede tre passaggi fondamentali: fissare ε positivo, determinare l'intorno del punto x₀, e verificare che fxx cada nell'intervallo desiderato. Il limite finito per x che tende a un valore finito grafico può essere visualizzato come una banda orizzontale centrata sul valore limite.

Esempio: Consideriamo fxx = x23x+2x²-3x+2/x2x-2. Per verificare che il limite per x→2 è 1, dobbiamo dimostrare che possiamo rendere |fxx-1| piccolo quanto vogliamo scegliendo x sufficientemente vicino a 2.


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Teoremi sui Limiti e Applicazioni

I teoremi sui limiti costituiscono gli strumenti essenziali per il calcolo dei limiti senza ricorrere alla definizione. Il teorema di unicità del limite afferma che se esiste il limite di una funzione in un punto, questo deve essere unico.

Highlight: I teoremi sui limiti spiegati facili includono il teorema del confronto, della permanenza del segno e dei limiti notevoli, fondamentali per la risoluzione di esercizi.

L'algebra dei limiti dimostrazione si basa su operazioni fondamentali tra limiti, permettendo di calcolare limiti di funzioni composte. I teoremi sui limiti matematika forniscono regole precise per il calcolo con somme, prodotti, quozienti e potenze.

Vocabolario: L'insieme dei teoremi sui limiti forma quella che viene chiamata "algebra dei limiti", essenziale per la risoluzione di problemi complessi.


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Definizione: Un punto di accumulazione è essenziale per l'esistenza del limite, poiché il limite può essere calcolato solo nei punti di accumulazione del dominio della funzione.

La verifica dei limiti nei punti di accumulazione richiede particolare attenzione, specialmente quando si studiano funzioni definite a tratti. I teoremi sui limiti youmath offrono strumenti pratici per questa analisi.


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Esempio: Consideriamo fxx = x². Se dimostriamo che limx2x→2 x² = 4, non può esistere un altro valore limite per la stessa funzione nello stesso punto.


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Evidenziazione: Per applicare il teorema del confronto sono necessarie tre funzioni hxx ≤ fxx ≤ gxx dove hxx e gxx tendono allo stesso limite L.

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Teorema della Permanenza del Segno

Il teorema della permanenza del segno è un risultato fondamentale che collega il segno del limite con il segno della funzione in un opportuno intorno del punto. Questo teorema è particolarmente utile per lo studio del segno delle funzioni e per la risoluzione di disequazioni.

Definizione: Se il limite di una funzione è positivo onegativoo negativo, esiste un intorno del punto in cui la funzione mantiene lo stesso segno del limite.

La dimostrazione utilizza la definizione di limite e la scelta opportuna di ε per garantire che la funzione mantenga il segno del limite in un intorno sufficientemente piccolo del punto.

Esempio: Se limxx0x→x₀ fxx = 2 > 0, esiste un intorno di x₀ in cui fxx > 0.


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I teoremi sui limiti spiegati facili trovano numerose applicazioni pratiche, dalla fisica all'economia. La comprensione di questi teoremi è fondamentale per lo studio delle derivate e degli integrali.

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Teoremi Fondamentali sui Limiti e il Teorema della Permanenza del Segno

Il teorema di unicità del limite rappresenta uno dei pilastri fondamentali dell'analisi matematica. Quando studiamo i limiti finiti per x che tende a un valore finito, è essenziale comprendere come questo teorema garantisca che una funzione non possa avere due limiti diversi nello stesso punto. La dimostrazione si basa sul metodo di riduzione all'assurdo, utilizzando le proprietà fondamentali dei numeri reali.

Nel contesto dei limiti finiti al finito, il teorema della permanenza del segno ci permette di stabilire il comportamento di una funzione in un intorno del punto di accumulazione. Quando una funzione ha un limite positivo onegativoo negativo, esiste sempre un intorno del punto in cui la funzione mantiene lo stesso segno del limite.

La comprensione dei teoremi sui limiti richiede una solida base teorica, ma le applicazioni pratiche sono numerose, specialmente nello studio delle funzioni continue e nella risoluzione di problemi di ottimizzazione.

Definizione: Il teorema della permanenza del segno afferma che se lim fxx = L > 0 per x→x₀, allora esiste un intorno di x₀ in cui fxx > 0.


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Applicazioni e Dimostrazioni dei Teoremi sui Limiti

La dimostrazione del limite finito per x che tende a x0 richiede l'utilizzo del concetto di intorno e della definizione ε-δ. Partendo da un ε > 0 arbitrario, si determina un δ > 0 tale che per ogni x nell'intorno di x₀ di raggio δ, la differenza tra fxx e il limite L sia minore di ε.

I teoremi sui limiti spiegati facili si basano su esempi concreti e visualizzazioni grafiche. Per esempio, quando studiamo il limite finito all'infinito, possiamo utilizzare rappresentazioni grafiche per comprendere come la funzione si avvicini al valore limite.

L'algebra dei limiti dimostrazione richiede particolare attenzione alle ipotesi e alla costruzione logica dei passaggi. Questi teoremi sono fondamentali per lo studio dell'analisi matematica e trovano applicazione in numerosi campi, dalla fisica all'ingegneria.

Esempio: Consideriamo la funzione fxx = x21x² - 1/x1x - 1. Per x→1, possiamo applicare il teorema di unicità per dimostrare che il limite è 2, nonostante la funzione non sia definita in x = 1.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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