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Introduzione ai Limiti

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Aurora Ferrera

26/11/2025

Matematica

I LIMITI

Materie

Matematica

1888

•

26 nov 2025

•

4 pagine

Introduzione ai Limiti

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Aurora Ferrera

@auroraferrera_omlu

I limiti sono uno dei concetti fondamentali della matematica che... Mostra di più

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Grayici Calcolo dei limiti Forme indeterminate CF.I.) • Limiti notevali (senx) GRAFICI A y=x² No iniettivo A=dominio (-∞0; +∞0) B-codominio

Grafici e Tipi di Funzioni

Prima di tuffarci nei limiti, devi capire bene i grafici delle funzioni. Le funzioni possono essere iniettive (ogni punto del codominio corrisponde a un solo elemento del dominio), suriettive (ogni elemento del codominio ha almeno una corrispondenza), o biettive (entrambe le proprietà insieme).

Le funzioni più comuni che incontrerai sono quelle lineari come y=xy = x e y=1+xy = 1+x (tutte iniettive), le funzioni esponenziali come axa^x e le funzioni logaritmiche come log⁡2x\log_2 x. Ricorda che per le funzioni esponenziali con base maggiore di 1, quando xx tende a +∞+∞ il limite è +∞+∞, mentre quando xx tende a −∞-∞ il limite è 0.

💡 Trucco per gli esami: Quando analizzi un grafico, cerca sempre i punti di discontinuità come $x = 2$ o $x = 3$ e controlla il comportamento della funzione da sinistra e da destra!

Gli esercizi sui grafici ti chiederanno spesso di calcolare limiti come lim⁡x→2−f(x)\lim_{x \to 2^-} f(x) (limite da sinistra) e lim⁡x→2+f(x)\lim_{x \to 2^+} f(x) (limite da destra). Se questi due valori sono diversi, significa che la funzione ha una discontinuità in quel punto.

Grayici Calcolo dei limiti Forme indeterminate CF.I.) • Limiti notevali (senx) GRAFICI A y=x² No iniettivo A=dominio (-∞0; +∞0) B-codominio

Limiti delle Funzioni Elementari e Operazioni

Le funzioni di potenza y=xny = x^n si comportano diversamente se l'esponente è pari o dispari. Per le funzioni pari, lim⁡x→+∞xn=+∞\lim_{x \to +∞} x^n = +∞ sempre, mentre per quelle dispari il segno dipende dalla direzione. Le funzioni radice seguono regole simili.

Quando devi calcolare il limite di una somma, ricorda: se entrambi i limiti esistono e sono finiti, puoi semplicemente sommarli. Ma attenzione alle forme indeterminate come +∞−∞+∞ - ∞! In questi casi devi usare tecniche speciali per risolverle.

Per il limite del prodotto, se uno dei fattori tende a un numero diverso da zero e l'altro a infinito, il risultato sarà infinito. La forma indeterminata più pericolosa qui è 0⋅∞0 \cdot ∞.

⚠️ Attenzione: Le forme indeterminate (F.I.) come +∞−∞+∞ - ∞ o 0⋅∞0 \cdot ∞ NON hanno una risposta immediata - devi sempre applicare tecniche di risoluzione!

Grayici Calcolo dei limiti Forme indeterminate CF.I.) • Limiti notevali (senx) GRAFICI A y=x² No iniettivo A=dominio (-∞0; +∞0) B-codominio

Limiti del Quoziente e Risoluzione delle Forme Indeterminate

Il limite del quoziente segue regole precise: se numeratore e denominatore tendono entrambi a numeri diversi da zero, dividi semplicemente. Se il denominatore tende a zero e il numeratore no, ottieni ±∞±∞. Le forme indeterminate pericolose sono 00\frac{0}{0} e ∞∞\frac{∞}{∞}.

Per risolvere le forme indeterminate, hai diverse strategie. Per +∞−∞+∞ - ∞, raccogli sempre il termine con l'esponente più alto. Per esempio: lim⁡x→+∞(x3−2x2)=x3(1−2x)=+∞\lim_{x \to +∞} (x^3 - 2x^2) = x^3(1 - \frac{2}{x}) = +∞.

Quando hai una differenza con radici come x−xx - \sqrt{x}, usa la razionalizzazione: moltiplica e dividi per il coniugato (x+x)(x + \sqrt{x}) per eliminare la forma indeterminata.

🎯 Strategia vincente: Per le forme 00\frac{0}{0}, prova sempre a scomporre numeratore e denominatore - spesso puoi semplificare i fattori comuni!

Per le frazioni con forma 00\frac{0}{0}, scomponi numeratore e denominatore e semplifica i fattori comuni. Per esempio: lim⁡x→1x2−1x−1=lim⁡x→1(x−1)(x+1)x−1=2\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2.

Grayici Calcolo dei limiti Forme indeterminate CF.I.) • Limiti notevali (senx) GRAFICI A y=x² No iniettivo A=dominio (-∞0; +∞0) B-codominio

Studio del Segno e Limiti Notevoli

Per determinare il segno di un limite infinito, devi fare lo studio del segno di numeratore e denominatore separatamente. Crea una tabella con gli intervalli e determina dove ciascuno è positivo o negativo, poi combina i risultati.

Quando hai ∞∞\frac{∞}{∞}, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di xx. Per esempio: lim⁡x→+∞xx2−1=lim⁡x→+∞1x−1x=0\lim_{x \to +∞} \frac{x}{x^2-1} = \lim_{x \to +∞} \frac{1}{x-\frac{1}{x}} = 0.

I limiti notevoli sono la tua arma segreta! Il più importante è lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. Da questo derivano tutti gli altri: lim⁡x→0sin⁡3xx=3\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 e lim⁡x→0sin⁡3x4x=34\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} = \frac{3}{4}.

🔥 Limite fondamentale: Memorizza lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 - è la chiave per risolvere tantissimi esercizi con funzioni trigonometriche!

Ricorda che con le radici e valori assoluti, devi considerare il segno di xx: ∣x∣=x|x| = x se x>0x > 0, mentre ∣x∣=−x|x| = -x se x<0x < 0. Questo ti aiuterà a risolvere limiti come lim⁡x→±∞x2+4x\lim_{x \to ±∞} \frac{\sqrt{x^2+4}}{x}.



Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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1888

•

26 nov 2025

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4 pagine

Introduzione ai Limiti

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Aurora Ferrera

@auroraferrera_omlu

I limiti sono uno dei concetti fondamentali della matematica che ti aiutano a capire come si comporta una funzione quando si avvicina a un certo punto. Questo argomento è essenziale per affrontare lo studio di funzioni avanzate e per prepararti... Mostra di più

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Grafici e Tipi di Funzioni

Prima di tuffarci nei limiti, devi capire bene i grafici delle funzioni. Le funzioni possono essere iniettive (ogni punto del codominio corrisponde a un solo elemento del dominio), suriettive (ogni elemento del codominio ha almeno una corrispondenza), o biettive (entrambe le proprietà insieme).

Le funzioni più comuni che incontrerai sono quelle lineari come y=xy = x e y=1+xy = 1+x (tutte iniettive), le funzioni esponenziali come axa^x e le funzioni logaritmiche come log⁡2x\log_2 x. Ricorda che per le funzioni esponenziali con base maggiore di 1, quando xx tende a +∞+∞ il limite è +∞+∞, mentre quando xx tende a −∞-∞ il limite è 0.

💡 Trucco per gli esami: Quando analizzi un grafico, cerca sempre i punti di discontinuità come $x = 2$ o $x = 3$ e controlla il comportamento della funzione da sinistra e da destra!

Gli esercizi sui grafici ti chiederanno spesso di calcolare limiti come lim⁡x→2−f(x)\lim_{x \to 2^-} f(x) (limite da sinistra) e lim⁡x→2+f(x)\lim_{x \to 2^+} f(x) (limite da destra). Se questi due valori sono diversi, significa che la funzione ha una discontinuità in quel punto.

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Limiti delle Funzioni Elementari e Operazioni

Le funzioni di potenza y=xny = x^n si comportano diversamente se l'esponente è pari o dispari. Per le funzioni pari, lim⁡x→+∞xn=+∞\lim_{x \to +∞} x^n = +∞ sempre, mentre per quelle dispari il segno dipende dalla direzione. Le funzioni radice seguono regole simili.

Quando devi calcolare il limite di una somma, ricorda: se entrambi i limiti esistono e sono finiti, puoi semplicemente sommarli. Ma attenzione alle forme indeterminate come +∞−∞+∞ - ∞! In questi casi devi usare tecniche speciali per risolverle.

Per il limite del prodotto, se uno dei fattori tende a un numero diverso da zero e l'altro a infinito, il risultato sarà infinito. La forma indeterminata più pericolosa qui è 0⋅∞0 \cdot ∞.

⚠️ Attenzione: Le forme indeterminate (F.I.) come +∞−∞+∞ - ∞ o 0⋅∞0 \cdot ∞ NON hanno una risposta immediata - devi sempre applicare tecniche di risoluzione!

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Limiti del Quoziente e Risoluzione delle Forme Indeterminate

Il limite del quoziente segue regole precise: se numeratore e denominatore tendono entrambi a numeri diversi da zero, dividi semplicemente. Se il denominatore tende a zero e il numeratore no, ottieni ±∞±∞. Le forme indeterminate pericolose sono 00\frac{0}{0} e ∞∞\frac{∞}{∞}.

Per risolvere le forme indeterminate, hai diverse strategie. Per +∞−∞+∞ - ∞, raccogli sempre il termine con l'esponente più alto. Per esempio: lim⁡x→+∞(x3−2x2)=x3(1−2x)=+∞\lim_{x \to +∞} (x^3 - 2x^2) = x^3(1 - \frac{2}{x}) = +∞.

Quando hai una differenza con radici come x−xx - \sqrt{x}, usa la razionalizzazione: moltiplica e dividi per il coniugato (x+x)(x + \sqrt{x}) per eliminare la forma indeterminata.

🎯 Strategia vincente: Per le forme 00\frac{0}{0}, prova sempre a scomporre numeratore e denominatore - spesso puoi semplificare i fattori comuni!

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Studio del Segno e Limiti Notevoli

Per determinare il segno di un limite infinito, devi fare lo studio del segno di numeratore e denominatore separatamente. Crea una tabella con gli intervalli e determina dove ciascuno è positivo o negativo, poi combina i risultati.

Quando hai ∞∞\frac{∞}{∞}, dividi numeratore e denominatore per la potenza più alta di xx. Per esempio: lim⁡x→+∞xx2−1=lim⁡x→+∞1x−1x=0\lim_{x \to +∞} \frac{x}{x^2-1} = \lim_{x \to +∞} \frac{1}{x-\frac{1}{x}} = 0.

I limiti notevoli sono la tua arma segreta! Il più importante è lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. Da questo derivano tutti gli altri: lim⁡x→0sin⁡3xx=3\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 e lim⁡x→0sin⁡3x4x=34\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} = \frac{3}{4}.

🔥 Limite fondamentale: Memorizza lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 - è la chiave per risolvere tantissimi esercizi con funzioni trigonometriche!

Ricorda che con le radici e valori assoluti, devi considerare il segno di xx: ∣x∣=x|x| = x se x>0x > 0, mentre ∣x∣=−x|x| = -x se x<0x < 0. Questo ti aiuterà a risolvere limiti come lim⁡x→±∞x2+4x\lim_{x \to ±∞} \frac{\sqrt{x^2+4}}{x}.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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Anastasia

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Francesca

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Aurora

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