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Goniometria - funzione seno e coseno

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 Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e dell

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Goniometria - funzione seno e coseno, come cambiano il seno e il coseno in base ad un punto P sulla circonferenza, tabella valori noti seno e coseno, grafico sinusoide e cosinusoide, 1° relazione fondamentale e come calcolare gli angoli negativi

 

3ªl/4ªl

Sintesi

Funzioni seno e coseno Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle funzioni goniometriche inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente). funzioni goniometriche ad ogni angolo associano un numero reale 1 seno Y. € -1 O y cateto adiacente sin (a)= cateto opposto ipotenusa y A¹ A O Ja B X₂ H 1 cateto opposto coseno raggio H' X X COS (a) = x₂ sin (a) = y. sin (a) e cos (a) sono numeri puri poiché privi di unità di misura Į OH' OP' I due rapporti non dipendono dalla circonferenza che viene considerata ma dall'angolo a = seno e coseno di un angolo a hanno come dominio i numeri reali R. Perché per ogni valore dell'angolo a appartenente al l'insieme reale R esiste un solo punto P sulla circonferenza. trucchetto: - il coseno corrisponde alla base del triangolo - il seno corrisponde all'altezza del triangolo OH OP ipotenusa ipotenusa 다다 H cateto adiacente P'H' PH OP' OP così facendo troviamo il coseno ovvero cos (a) quindi OH poiché OP vale 1 così facendo troviamo il seno ovvero sin (a) quindi PH poiché Oop vale 1 in questo caso troviamo PH e PH' che sono uguali a OA e OA' circonferenza con raggio diverso da 1 circonferenza goniometrica cateto opposto COS (a) = cateto adiacente ipotenusa come cambiano seno e coseno in base al punto P sulla circonferenza? G G G B X₂ W V. O Y. F F F XB H F H X₂ I quadrante B B E E E X₂ E X X X X IV quadrante se il punto B si trova nel primo quadrante sia la sua ascissa x, che la sua ordinata y. sono positive, di conseguenza anche il seno e...

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il coseno. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto F, l'ascissa x diminuisce mente Pordinata y aumenta. Naturalmente se il punto B è più vicino al punto E, l'ascissa x aumenta e l'ordinata y diminuisce. se il punto B si trova nel secondo quadrante, la sua ordinata y, sarà positiva mentre la sua ascissa x. sarà negativa. mano a mano che il punto B si avvicina al punto & diminuisce sia la sua ordinata che la sua ascissa. se il punto B si trova nel terzo quadrante, sia la sua ordinata y. che la sua ascissa x. sono negative. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto H, l'ascissa x aumenta mentre l'ordinata y diminuisce. se il punto B si trova nel quarto quadrante, la sua ordinata y, sarà negativa mentre la sua ascissa x. é positiva. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto E, l'ascissa e l'ordinata aumentano. Qualunque sia la posizione del punto B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua ascissa assumono sempre valori compre tra 1e-1 -1 < Sin (a) < 1 e -1 < COS (a) < 1 di conseguenza il codominio è [-1; 1] valori noti di seno e coseno di alcuni angoli angolo gradi 0 30 y = sin(x) 45 60 90 180 270 360 O angolo radianti 1 -1 0 TT/6 TT/6 TT /4 TT /3 Grafici delle funzioni y=sin(x) e y= cos(x) TT/2 TT 3/2 TT 2TT TT/4 punti presi: Sin (0) = 0 Sin (TT/2) = 1 Sin (TT) = 0 Sin (3/2 TT) = -1 Sin (2 TT) = 0 TT/3 Sin (a) TT/2 O 1/2 √2/2 √√3/2 1 0 -1 O cos (a) 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 1 grafico funzione seno tan (a) TT 0 √3/3 1 √3 ∞ 0 come sappiamo la circonferenza goniometrica ha come codominio [-1; 1] di conseguenza le x e le y come valori massimi possono raggiungere 1 e -1. Sull'asse delle ascisse invece devo rappresentare degli angoli espressi in radianti. Incrociando poi i due assi come coordinata finale trovò il seno o il coseno in base alla funzione ∞ 0 Sinusoide cot (a) 3/2TT ∞ √3 1 √3/3 0 ∞ 0 ∞ /2TT X y=COS (X) seno 0 -1 1 Prima relazione fondamentale 180 punti presi: COS (0) = 1 COS (TT/2) = 0 COS (TT) = -1 COS (3/2 TT) = 0 COS (2 TT) = 1 O Le funzioni sinusoidi e cosinusoidi sono entrambe periodiche. Hanno un periodo 2π quindi ogni 2π il grafico si ripete. I 2 grafici sono sovrapponibili, ma il grafico della cosinusoide per poter combaciare con il grafico della sinusoide, deve essere traslato sull'asse delle x di π/2, Solo in questo modo potranno combaciare 1 Y₂ O 90 X 270 TT/2 grafico funzione coseno come faccio a calcolare il seno o il coseno di angoli negativi? y t 0/360 coordinate: B [COS (a); Sin (A)] 1 coseno X angoli positivi (senso antiorario) angoli negativi (senso orario) TT cosinusoide 3/2TT 2TT Poiché le coordinate del punto B appartengono alla circonferenza goniometrica, soddisfano l'equazione della circonferenza ovvero: x² + y² = 1² La prima relazione fondamentale dice proprio questo cos' (a) + sin(a) = 1² Questa relazione esprime il teorema di Pitagora solo applicato ad un triangolo rettangolo interno ad una circonferenza per calcolare il seno o il coseno di una angolo negativo per esempio il sin (-15/2 π) devo fare dei passaggi ↓ per prima cosa troverò sicuramente sempre un termine noto (ovvero presente nella tabella) e nel nostro caso è π/2 che equivale a 90 gradi Į Automaticamente giro al contrario e conto 15 volte un angolo da 90 gradi. Dopo aver contato in senso orario, mi rendo conto che ricapito sull'angolo di 90 e di conseguenza so che il Sin (-15/2 π) è uguale al sin (π/2) quindi 1 X

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il coseno. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto F, l'ascissa x diminuisce mente Pordinata y aumenta. Naturalmente se il punto B è più vicino al punto E, l'ascissa x aumenta e l'ordinata y diminuisce. se il punto B si trova nel secondo quadrante, la sua ordinata y, sarà positiva mentre la sua ascissa x. sarà negativa. mano a mano che il punto B si avvicina al punto & diminuisce sia la sua ordinata che la sua ascissa. se il punto B si trova nel terzo quadrante, sia la sua ordinata y. che la sua ascissa x. sono negative. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto H, l'ascissa x aumenta mentre l'ordinata y diminuisce. se il punto B si trova nel quarto quadrante, la sua ordinata y, sarà negativa mentre la sua ascissa x. é positiva. Mano a mano che il punto B si avvicina al punto E, l'ascissa e l'ordinata aumentano. Qualunque sia la posizione del punto B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua ascissa assumono sempre valori compre tra 1e-1 -1 < Sin (a) < 1 e -1 < COS (a) < 1 di conseguenza il codominio è [-1; 1] valori noti di seno e coseno di alcuni angoli angolo gradi 0 30 y = sin(x) 45 60 90 180 270 360 O angolo radianti 1 -1 0 TT/6 TT/6 TT /4 TT /3 Grafici delle funzioni y=sin(x) e y= cos(x) TT/2 TT 3/2 TT 2TT TT/4 punti presi: Sin (0) = 0 Sin (TT/2) = 1 Sin (TT) = 0 Sin (3/2 TT) = -1 Sin (2 TT) = 0 TT/3 Sin (a) TT/2 O 1/2 √2/2 √√3/2 1 0 -1 O cos (a) 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 1 grafico funzione seno tan (a) TT 0 √3/3 1 √3 ∞ 0 come sappiamo la circonferenza goniometrica ha come codominio [-1; 1] di conseguenza le x e le y come valori massimi possono raggiungere 1 e -1. Sull'asse delle ascisse invece devo rappresentare degli angoli espressi in radianti. Incrociando poi i due assi come coordinata finale trovò il seno o il coseno in base alla funzione ∞ 0 Sinusoide cot (a) 3/2TT ∞ √3 1 √3/3 0 ∞ 0 ∞ /2TT X y=COS (X) seno 0 -1 1 Prima relazione fondamentale 180 punti presi: COS (0) = 1 COS (TT/2) = 0 COS (TT) = -1 COS (3/2 TT) = 0 COS (2 TT) = 1 O Le funzioni sinusoidi e cosinusoidi sono entrambe periodiche. Hanno un periodo 2π quindi ogni 2π il grafico si ripete. I 2 grafici sono sovrapponibili, ma il grafico della cosinusoide per poter combaciare con il grafico della sinusoide, deve essere traslato sull'asse delle x di π/2, Solo in questo modo potranno combaciare 1 Y₂ O 90 X 270 TT/2 grafico funzione coseno come faccio a calcolare il seno o il coseno di angoli negativi? y t 0/360 coordinate: B [COS (a); Sin (A)] 1 coseno X angoli positivi (senso antiorario) angoli negativi (senso orario) TT cosinusoide 3/2TT 2TT Poiché le coordinate del punto B appartengono alla circonferenza goniometrica, soddisfano l'equazione della circonferenza ovvero: x² + y² = 1² La prima relazione fondamentale dice proprio questo cos' (a) + sin(a) = 1² Questa relazione esprime il teorema di Pitagora solo applicato ad un triangolo rettangolo interno ad una circonferenza per calcolare il seno o il coseno di una angolo negativo per esempio il sin (-15/2 π) devo fare dei passaggi ↓ per prima cosa troverò sicuramente sempre un termine noto (ovvero presente nella tabella) e nel nostro caso è π/2 che equivale a 90 gradi Į Automaticamente giro al contrario e conto 15 volte un angolo da 90 gradi. Dopo aver contato in senso orario, mi rendo conto che ricapito sull'angolo di 90 e di conseguenza so che il Sin (-15/2 π) è uguale al sin (π/2) quindi 1 X