Circonferenza Goniometrica: Seno e Coseno Spiegati ai Bambini con Formule e Tabelle

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giada_delvecchio

21/10/2022

Matematica

Goniometria - funzione seno e coseno

Materie

Matematica

Geometria

Trigonometria

Teoremi sui triangoli rettangoli, della corda, dei seni,formula goniometrica per l'area di un triangolo qualsiasi

Circonferenza Goniometrica: Seno e Coseno Spiegati ai Bambini con Formule e Tabelle

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

La circonferenza goniometrica seno e coseno è fondamentale per comprendere le funzioni trigonometriche. Questo documento esplora le funzioni seno e coseno, la loro rappresentazione sulla circonferenza goniometrica e i loro grafici. Vengono analizzati i valori di seno e coseno per angoli noti, le relazioni tra queste funzioni e come variano nei diversi quadranti della circonferenza.

• Le funzioni seno e coseno associano un numero reale ad ogni angolo
• Il dominio di queste funzioni è l'insieme dei numeri reali R
• Il codominio è limitato all'intervallo [-1, 1]
• I grafici di seno e coseno sono periodici con periodo 2π
• La prima relazione fondamentale stabilisce che sin²(α) + cos²(α) = 1

...

21/10/2022

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Funzioni seno e coseno
Abbiamo detto che la goniometria si occupa delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) e delle

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Variazione di seno e coseno nei quadranti

Il comportamento di seno e coseno varia a seconda del quadrante in cui si trova il punto sulla circonferenza goniometrica:

Nel I quadrante: sia x che y sono positive, quindi seno e coseno sono positivi. Nel II quadrante: y è positiva e x negativa, quindi seno è positivo e coseno negativo. Nel III quadrante: sia x che y sono negative, quindi seno e coseno sono negativi. Nel IV quadrante: y è negativa e x positiva, quindi seno è negativo e coseno positivo.

Highlight: Indipendentemente dalla posizione del punto, seno e coseno assumono sempre valori compresi tra -1 e 1.

Questo implica che il codominio di entrambe le funzioni è l'intervallo $-1, 1$ .

Definition: Il codominio di una funzione è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

La variazione di seno e coseno nei quadranti è fondamentale per comprendere il loro andamento e per risolvere problemi trigonometrici.

Vedi

Valori noti e grafici di seno e coseno

Esistono alcuni angoli notevoli per cui i valori di seno e coseno sono facilmente memorizzabili. Una tabella seno e coseno per questi angoli è essenziale:

Angolo (gradi)	Angolo (radianti)	sin(α)	cos(α)
0	0	0	1
30	π/6	1/2	√3/2
45	π/4	√2/2	√2/2
60	π/3	√3/2	1/2
90	π/2	1	0
180	π	0	-1
270	3π/2	-1	0
360	2π	0	1

Highlight: Questa tabella è fondamentale per risolvere rapidamente problemi trigonometrici.

I grafici seno e coseno sono rappresentati da curve sinusoidali:

La sinusoide $grafico del seno$ parte da 0 e raggiunge il suo massimo a π/2.
La cosinusoide $grafico del coseno$ parte da 1 e raggiunge lo 0 a π/2.

Example: Il grafico del seno interseca l'asse x nei punti 0, π, 2π, mentre il coseno lo interseca a π/2 e 3π/2.

Entrambe le funzioni sono periodiche con periodo 2π, il che significa che il loro andamento si ripete ogni 2π radianti.

Vedi

Relazioni fondamentali e angoli negativi

La prima relazione fondamentale della trigonometria stabilisce che:

sin² $α$ + cos² $α$ = 1

Questa relazione deriva direttamente dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo inscritto nella circonferenza goniometrica.

Definition: La prima relazione fondamentale esprime il legame tra seno e coseno di uno stesso angolo.

Per calcolare seno e coseno di angoli negativi, si può sfruttare la simmetria della circonferenza goniometrica:

sin $-α$ = -sin $α$
cos $-α$ = cos $α$

Example: Per calcolare sin $-15π/2$ , si può osservare che -15π/2 equivale a π/2 dopo aver fatto 7 giri completi in senso orario. Quindi, sin $-15π/2$ = sin $π/2$ = 1.

La comprensione di queste relazioni e proprietà è cruciale per manipolare espressioni trigonometriche e risolvere problemi avanzati di trigonometria.

Highlight: La capacità di lavorare con angoli negativi e di sfruttare le simmetrie della circonferenza goniometrica è essenziale per padroneggiare la trigonometria.

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Goniometria

nei miei appunti troverete le basi della goniometria : angoli , funzioni di seno e coseno , tangente ,funzioni reciproche , relazioni fondamentali e angoli associati

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Adoro questa applicazione [...] consiglio Knowunity a tutti!!! Sono passato da un 5 a una 8 con questa app

Stefano S, utente iOS

L'applicazione è molto semplice e ben progettata. Finora ho sempre trovato quello che stavo cercando

Susanna, utente iOS

Adoro questa app ❤️, la uso praticamente sempre quando studio.

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Matematica

•

13.930

•

21 ott 2022

•

4 pagine

Circonferenza Goniometrica: Seno e Coseno Spiegati ai Bambini con Formule e Tabelle

giada_delvecchio

@giada_delvecchio

La circonferenza goniometrica seno e cosenoè fondamentale per comprendere le funzioni trigonometriche. Questo documento esplora le funzioni seno e coseno, la loro rappresentazione sulla circonferenza goniometrica e i loro grafici. Vengono analizzati i valori di seno e coseno per... Mostra di più

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Variazione di seno e coseno nei quadranti

Il comportamento di seno e coseno varia a seconda del quadrante in cui si trova il punto sulla circonferenza goniometrica:

Highlight: Indipendentemente dalla posizione del punto, seno e coseno assumono sempre valori compresi tra -1 e 1.

Questo implica che il codominio di entrambe le funzioni è l'intervallo $-1, 1$ .

Definition: Il codominio di una funzione è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

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Valori noti e grafici di seno e coseno

Esistono alcuni angoli notevoli per cui i valori di seno e coseno sono facilmente memorizzabili. Una tabella seno e coseno per questi angoli è essenziale:

Angolo (gradi)	Angolo (radianti)	sin(α)	cos(α)
0	0	0	1
30	π/6	1/2	√3/2
45	π/4	√2/2	√2/2
60	π/3	√3/2	1/2
90	π/2	1	0
180	π	0	-1
270	3π/2	-1	0
360	2π	0	1

Highlight: Questa tabella è fondamentale per risolvere rapidamente problemi trigonometrici.

I grafici seno e coseno sono rappresentati da curve sinusoidali:

La sinusoide $grafico del seno$ parte da 0 e raggiunge il suo massimo a π/2.
La cosinusoide $grafico del coseno$ parte da 1 e raggiunge lo 0 a π/2.

Example: Il grafico del seno interseca l'asse x nei punti 0, π, 2π, mentre il coseno lo interseca a π/2 e 3π/2.

Entrambe le funzioni sono periodiche con periodo 2π, il che significa che il loro andamento si ripete ogni 2π radianti.

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Relazioni fondamentali e angoli negativi

La prima relazione fondamentale della trigonometria stabilisce che:

sin² $α$ + cos² $α$ = 1

Questa relazione deriva direttamente dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo inscritto nella circonferenza goniometrica.

Definition: La prima relazione fondamentale esprime il legame tra seno e coseno di uno stesso angolo.

Per calcolare seno e coseno di angoli negativi, si può sfruttare la simmetria della circonferenza goniometrica:

sin $-α$ = -sin $α$
cos $-α$ = cos $α$

Example: Per calcolare sin $-15π/2$ , si può osservare che -15π/2 equivale a π/2 dopo aver fatto 7 giri completi in senso orario. Quindi, sin $-15π/2$ = sin $π/2$ = 1.

La comprensione di queste relazioni e proprietà è cruciale per manipolare espressioni trigonometriche e risolvere problemi avanzati di trigonometria.

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Funzioni seno e coseno

La goniometria si occupa delle funzioni goniometriche come seno e coseno e delle loro inverse. Queste funzioni associano un numero reale ad ogni angolo.

Il seno di un angolo α è definito come il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa in un triangolo rettangolo:

sin $α$ = cateto opposto / ipotenusa

Il coseno è invece il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa:

cos $α$ = cateto adiacente / ipotenusa

Highlight: Seno e coseno sono numeri puri, privi di unità di misura.

Sulla circonferenza goniometrica di raggio unitario, le coordinate di un punto P $x,y$ corrispondono a:

x = cos $α$ y = sin $α$

Vocabulary: La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine degli assi cartesiani.

Il dominio di seno e coseno è l'insieme dei numeri reali R, poiché ad ogni angolo α corrisponde un unico punto P sulla circonferenza.

Example: Per un angolo di 30°, sin $30°$ = 1/2 e cos $30°$ = √3/2.

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

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Samantha Klich

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Anna

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Anastasia

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Francesca

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Marianna

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Sudenaz Ocak

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Martina

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Andrea

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