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Giuseppe
27/11/2025
Matematica
Goniometria
860
•
27 nov 2025
•
Giuseppe
@peppe_
Le funzioni goniometriche sono uno degli argomenti più importanti della... Mostra di più
Gli angoli sono fondamentalmente rotazioni di una semiretta attorno a un punto fisso chiamato vertice. Quando il vertice è nell'origine degli assi cartesiani e il primo lato coincide con l'asse x positivo, l'angolo è in posizione normale - questa è la configurazione che userai sempre nei problemi.
Per misurare gli angoli hai due sistemi principali. Il sistema sessagesimale usa i gradi (°), dove un giro completo vale 360°. Ogni grado si divide in 60 minuti (') e ogni minuto in 60 secondi ("). Per convertire da gradi decimali a gradi-primi-secondi, moltiplica la parte decimale per 60.
I radianti sono però il sistema più importante in matematica avanzata. Un radiante è la lunghezza dell'arco su una circonferenza di raggio 1. Per convertire: gradi = radianti × 180/π e radianti = gradi × π/180.
💡 Trucco per i test: Memorizza che π radianti = 180°. Da qui puoi ricavare tutte le altre conversioni!
Immagina un punto P sulla circonferenza goniometrica dove finisce il secondo lato del tuo angolo. Le coordinate di questo punto sono la chiave di tutto: seno(α) = coordinata y, coseno(α) = coordinata x, tangente(α) = y/x.
Per gli angoli notevoli devi assolutamente memorizzare i valori. A 0° hai sin=0, cos=1; a 30° hai sin=1/2, cos=√3/2; a 45° hai sin=cos=√2/2; a 60° hai sin=√3/2, cos=1/2; a 90° hai sin=1, cos=0.
Le relazioni fondamentali ti salvano sempre. La prima: cos²α + sin²α = 1 (teorema di Pitagora sulla circonferenza). La seconda: tan α = sin α / cos α. Se conosci una funzione e il quadrante, puoi ricavare le altre due.
🎯 Per l'interrogazione: Se ti danno sin α, usa la prima relazione per trovare cos α, poi calcola tan α con la seconda!
La sinusoide (grafico del seno) parte da 0, sale a 1, torna a 0, scende a -1 e riparte. Si ripete ogni 2π radianti - questa è la sua periodicità. Il valore massimo è 1, il minimo è -1.
La cosinusoide (grafico del coseno) è identica alla sinusoide ma "spostata" di π/2 a sinistra. Parte da 1, scende a 0, arriva a -1, risale a 0 e riparte. Anche lei ha periodo 2π.
La tangentoide (grafico della tangente) è completamente diversa: ha asintoti verticali ogni π/2 + kπ e periodo π (si ripete più velocemente). Va da -∞ a +∞ attraversando tutti i valori reali.
📈 Memo visivo: Seno e coseno "ondeggiano" tra -1 e +1, la tangente "esplode" verso l'infinito!
Gli angoli associati ti permettono di calcolare le funzioni goniometriche di qualsiasi angolo conoscendo solo quelle del primo quadrante. È un sistema geniale che ti fa risparmiare tantissimo tempo.
Angoli complementari (90°-α): sin(90°-α) = cos α e cos(90°-α) = sin α. Angoli supplementari (180°-α): sin(180°-α) = sin α ma cos(180°-α) = -cos α. Angoli opposti (-α): sin(-α) = -sin α ma cos(-α) = cos α.
Per tutti gli altri casi (90°+α, 180°+α, 270°±α, 360°-α) segui la regola: guarda in quale quadrante finisci e applica i segni di conseguenza. Nel primo e secondo quadrante il seno è positivo, nel primo e quarto il coseno è positivo.
⚡ Strategia vincente: Disegna sempre la circonferenza e segna i quadranti. I segni delle funzioni dipendono solo da dove finisce l'angolo!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Marianna
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Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
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Chiara
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Giuseppe
@peppe_
Le funzioni goniometriche sono uno degli argomenti più importanti della matematica del quinto anno. Ti spiegherò tutto quello che devi sapere su angoli, radianti e le tre funzioni fondamentali (seno, coseno e tangente) in modo semplice e pratico.
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Gli angoli sono fondamentalmente rotazioni di una semiretta attorno a un punto fisso chiamato vertice. Quando il vertice è nell'origine degli assi cartesiani e il primo lato coincide con l'asse x positivo, l'angolo è in posizione normale - questa è la configurazione che userai sempre nei problemi.
Per misurare gli angoli hai due sistemi principali. Il sistema sessagesimale usa i gradi (°), dove un giro completo vale 360°. Ogni grado si divide in 60 minuti (') e ogni minuto in 60 secondi ("). Per convertire da gradi decimali a gradi-primi-secondi, moltiplica la parte decimale per 60.
I radianti sono però il sistema più importante in matematica avanzata. Un radiante è la lunghezza dell'arco su una circonferenza di raggio 1. Per convertire: gradi = radianti × 180/π e radianti = gradi × π/180.
💡 Trucco per i test: Memorizza che π radianti = 180°. Da qui puoi ricavare tutte le altre conversioni!
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Immagina un punto P sulla circonferenza goniometrica dove finisce il secondo lato del tuo angolo. Le coordinate di questo punto sono la chiave di tutto: seno(α) = coordinata y, coseno(α) = coordinata x, tangente(α) = y/x.
Per gli angoli notevoli devi assolutamente memorizzare i valori. A 0° hai sin=0, cos=1; a 30° hai sin=1/2, cos=√3/2; a 45° hai sin=cos=√2/2; a 60° hai sin=√3/2, cos=1/2; a 90° hai sin=1, cos=0.
Le relazioni fondamentali ti salvano sempre. La prima: cos²α + sin²α = 1 (teorema di Pitagora sulla circonferenza). La seconda: tan α = sin α / cos α. Se conosci una funzione e il quadrante, puoi ricavare le altre due.
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La sinusoide (grafico del seno) parte da 0, sale a 1, torna a 0, scende a -1 e riparte. Si ripete ogni 2π radianti - questa è la sua periodicità. Il valore massimo è 1, il minimo è -1.
La cosinusoide (grafico del coseno) è identica alla sinusoide ma "spostata" di π/2 a sinistra. Parte da 1, scende a 0, arriva a -1, risale a 0 e riparte. Anche lei ha periodo 2π.
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Per tutti gli altri casi (90°+α, 180°+α, 270°±α, 360°-α) segui la regola: guarda in quale quadrante finisci e applica i segni di conseguenza. Nel primo e secondo quadrante il seno è positivo, nel primo e quarto il coseno è positivo.
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FORMULAIO trigonometria
MatematicaTrigonometria tutte le formule per svolgere gli esercizi
MatematicaTrigonometria formule
MatematicaGoniometria angoli associati (angoli opposti, angoli supplementari, angoli complementari, angoli la cui somma fa 270°, angoli esplementari, angoli che differiscono di π, angoli che differiscono di π/2 e angoli che differiscono di 3/2π)
Matematicateoria, tabella, trovare radiante e grado, funzioni goniometriche elementari, tangente di un angolo, trovare seno o coseno dato uno dei due o data la tangente, uguaglianza trigonometriche + esempi
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