Appunti di Geometria Analitica: Retta, Parabola, Circonferenza, Ellisse

La Retta nel Piano Cartesiano

La retta è un insieme infinito di punti allineati. Secondo il primo postulato di Euclide, per due punti distinti passa una e una sola retta. Nel piano cartesiano, possiamo descrivere qualsiasi retta con un'equazione della forma ax + by + c = 0 (forma implicita).

La forma esplicita y = mx + q è più comune, dove m rappresenta la pendenza della retta rispetto all'asse x e q l'intercetta con l'asse y. Ricorda che la pendenza si calcola con la formula m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$ quando conosciamo due punti della retta.

Per trovare l'equazione di una retta passante per un punto P conoscendo la pendenza m, usiamo la formula y - yₚ = m$x - xₚ$. Se invece conosciamo due punti, possiamo usare l'equazione ​$y - y₁$/$y₂ - y₁$ = $x - x₁$/$x₂ - x₁$. La distanza tra un punto e una retta è calcolabile con la formula d = |ax₀ + by₀ + c|/√$a² + b²$.

💡 Ricorda: Le rette parallele formano un "fascio improprio", mentre le rette che passano tutte per uno stesso punto formano un "fascio proprio". Questa distinzione ti tornerà utile nei problemi di geometria analitica!

Le Coniche

Le coniche sono curve piane ottenute dall'intersezione tra un piano e un cono a due falde. Possiamo distinguerle in coniche non degeneri (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole) e coniche degeneri (punto, una retta, una coppia di rette).

Il cono a due falde è una figura illimitata formata da tutte le rette (generatrici) che passano per un punto fisso (vertice V) e per una circonferenza tracciata su un piano perpendicolare all'asse del cono.

Le coniche non degeneri si ottengono in base all'inclinazione del piano rispetto all'asse del cono:

• La circonferenza si forma quando il piano è perpendicolare all'asse del cono
• L'ellisse quando l'angolo tra piano e asse è maggiore dell'angolo α delle generatrici ma minore di 90°
• La parabola quando il piano è parallelo a una generatrice (angolo uguale ad α)
• L'iperbole quando l'angolo è minore di α, intersecando entrambe le falde del cono (unica conica con due rami distinti)

🔍 Curiosità: Le coniche degeneri si formano quando il piano secante passa per il vertice V del cono. Questo piccolo dettaglio è ciò che trasforma una curva regolare in un punto o in rette!

La Circonferenza

La circonferenza nel piano cartesiano è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. Possiamo rappresentarla con l'equazione canonica x² + y² + ax + by + c = 0.

Se conosciamo il centro C(xc, yc) e il raggio r, possiamo scrivere direttamente l'equazione nella forma $x-xc$² + $y-yc$² = r². Partendo dall'equazione canonica, possiamo ricavare il centro C = $-a/2, -b/2$ e il raggio r = √$a²/4 + b²/4 - c$.

Per l'esistenza della circonferenza deve valere la condizione a² + b² - c ≥ 0. Esistono poi casi particolari:

• Se a = 0, la circonferenza ha centro sull'asse y
• Se b = 0, la circonferenza ha centro sull'asse x
• Se c = 0, la circonferenza passa per l'origine

Per trovare l'equazione di una circonferenza servono tre condizioni, che possono riguardare centro, raggio, passaggio per un punto o retta tangente.

🔑 Suggerimento: Quando due circonferenze si intersecano, l'asse radicale è la retta che passa per i due punti d'intersezione. Questa retta è sempre perpendicolare all'asse centrale (la retta che congiunge i centri delle circonferenze).

L'Ellisse

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. È una conica non degenere che possiede proprietà di simmetria sia assiale che centrale.

L'equazione dell'ellisse con centro nell'origine è x²/a² + y²/b² = 1 dove a e b rappresentano rispettivamente il semiasse orizzontale e verticale. I quattro vertici dell'ellisse sono i punti di intersezione tra la curva e i suoi assi, con coordinate V₁,₂ = (±a, 0) e V₃,₄ = (0, ±b).

Gli elementi principali dell'ellisse sono:

• Assi: segmenti che dividono l'ellisse in parti uguali
• Centro: punto di intersezione degli assi, costituisce il centro di simmetria
• Fuochi: punti rispetto ai quali i punti dell'ellisse realizzano distanze con somma costante
• Semidistanza focale: metà della distanza tra i due fuochi

Se a = b, l'ellisse diventa una circonferenza e i due fuochi coincidono con il centro. Se a² > b², l'asse maggiore è orizzontale, altrimenti è verticale.

💡 Osservazione: La forma dell'ellisse dipende dalla differenza tra i due semiassi. Più questa differenza è grande, più l'ellisse si allontana dalla forma circolare.

Proprietà dell'Ellisse

I fuochi dell'ellisse con centro nell'origine dipendono da quale sia il semiasse maggiore:

• Se a² > b² (asse maggiore orizzontale): F₁,₂ = (±c, 0) dove c = √$a² - b²$
• Se b² > a² (asse maggiore verticale): F₁,₂ = (0, ±c) dove c = √$b² - a²$

La semidistanza focale c è sempre calcolata come radice quadrata della differenza tra il quadrato del semiasse maggiore e il quadrato del semiasse minore.

L'eccentricità dell'ellisse $e$ misura quanto l'ellisse si discosta dalla forma circolare:

• e = c/a se a² > b²
• e = c/b se b² > a²

L'eccentricità è sempre compresa tra 0 e 1:

• Se e = 0, l'ellisse diventa una circonferenza (i fuochi coincidono col centro)
• Se e si avvicina a 1, l'ellisse si allunga, diventando sempre più "schiacciata"
• Per e = 1 (caso limite), l'ellisse degenera in un segmento coincidente con l'asse maggiore

🧠 Importante: L'eccentricità è un valore adimensionale che ti permette di confrontare ellissi diverse. Più e si avvicina a zero, più l'ellisse somiglia a un cerchio; più si avvicina a uno, più l'ellisse diventa allungata.

Ellisse Traslata e Rette Tangenti

Se l'ellisse ha centro C(xc, yc) anziché nell'origine, la sua equazione diventa: $x - xc$²/a² + $y - yc$²/b² = 1

Le formule per i vertici dell'ellisse traslata diventano:

• V₁ = (xc - a, yc) e V₂ = (xc + a, yc) sull'asse orizzontale
• V₃ = (xc, yc - b) e V₄ = (xc, yc + b) sull'asse verticale

Mentre i fuochi si trovano in:

• Se a² > b² → F₁,₂ = (xc ± c, yc) con c = √$a² - b²$
• Se b² > a² → F₁,₂ = (xc, yc ± c) con c = √$b² - a²$

Per determinare l'equazione della retta tangente all'ellisse in un punto P(xp, yp), usiamo la formula di doppiamento: xxp/a² + yyp/b² = 1

È fondamentale notare che il punto P deve appartenere all'ellisse. Se invece abbiamo un punto esterno, possiamo costruire due rette tangenti usando il fascio di rette.

🔍 Attenzione: Una retta rispetto a un'ellisse può essere secante (se interseca l'ellisse in due punti), tangente (se tocca l'ellisse in un solo punto) o esterna (se non ha punti in comune con l'ellisse).

La Parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (fuoco) e da una retta fissa (direttrice). Ha equazione y = ax² + bx + c se ha asse verticale, oppure x = ay² + by + c se ha asse orizzontale.

Gli elementi principali della parabola sono:

• Asse di simmetria: retta che divide la parabola in due parti uguali, con equazione x = -b/(2a)
• Vertice: punto di intersezione tra parabola e asse di simmetria, con coordinate V = $-b/(2a), -Δ/(4a)$
• Fuoco: punto che realizza la stessa distanza rispetto alla direttrice per ogni punto della parabola, con coordinate F = $-b/(2a), (1-Δ)/(4a)$
• Direttrice: retta rispetto alla quale ogni punto della parabola ha la stessa distanza dal fuoco, con equazione y = $-1-Δ$/(4a)

Le parabole possono essere organizzate in fasci, dove un fascio è rappresentato da un'equazione come y = x² + $m+z$x + m dove m è un parametro.

🌟 Approfondimento: La forma della parabola dipende dal coefficiente a: se a > 0 la parabola è concava verso l'alto, se a < 0 è concava verso il basso. Il valore assoluto di a determina quanto è "stretta" o "larga" la parabola.