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Matematica
4 dic 2025
1561
7 pagine
ASIA :) @asiafrattini_zptr
La geometria analiticaè un ramo della matematica che unisce l'algebra alla geometria, permettendoti di studiare forme geometriche... Mostra di più
La geometria analitica inizia con i punti nel piano cartesiano. Per calcolare la distanza tra due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), usi la formula . È come il teorema di Pitagora applicato alle coordinate!
Il punto medio tra due punti si trova facendo la media delle coordinate e . Per il baricentro di un triangolo, fai la media delle tre coordinate di ogni vertice.
Le rette hanno diverse forme di equazione. La forma esplicita y = mx + q è la più famosa, dove m è il coefficiente angolare (quanto è ripida la retta) e q è dove la retta tocca l'asse y. Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, mentre sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1.
Trucco utile Ricorda che il coefficiente angolare si calcola come "salita franca corsa" !
La parabola è una curva molto speciale ogni suo punto è equidistante da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta fissa chiamata direttrice. È la forma che fa la traiettoria di una palla lanciata in aria!
L'equazione base è y = ax² + bx + c. Il vertice (il punto più alto o più basso) si trova alle coordinate , dove . Se a > 0, la parabola si apre verso l'alto come un sorriso; se a < 0, si apre verso il basso come un broncio.
Il parametro a determina quanto è "stretta" la parabola più grande è |a|, più stretta è la curva. Il parametro c indica dove la parabola interseca l'asse y. Esistono forme semplificate come y = ax² quando b = c = 0.
Attenzione L'area del segmento parabolico è sempre dell'area del rettangolo che lo contiene!
La circonferenza è l'insieme di tutti i punti che hanno la stessa distanza (raggio) da un punto fisso chiamato centro. È la forma geometrica più perfetta e simmetrica!
L'equazione generale è x² + y² + ax + by + c = 0. Per trovare centro e raggio, ricorda che il centro ha coordinate e il raggio è . Quando l'equazione è nella forma , puoi leggere direttamente centro C(α,β) e raggio r.
Due circonferenze possono avere diverse posizioni reciproche esterne (non si toccano), tangenti (si toccano in un punto), secanti (si intersecano in due punti) o una interna all'altra. Tutto dipende dalla distanza tra i centri confrontata con la somma o differenza dei raggi.
Ricorda L'area del cerchio è πr² e la lunghezza della circonferenza è 2πr. Queste formule ti serviranno sempre!
L'ellisse è come una circonferenza "schiacciata". Ogni suo punto ha una proprietà speciale la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi è sempre costante. È la forma dell'orbita dei pianeti intorno al Sole!
L'equazione canonica è . Se a > b, l'ellisse è "sdraiata" orizzontalmente; se a < b, è "in piedi" verticalmente. I fuochi si trovano sempre sull'asse maggiore, a distanza c dal centro, dove .
L'eccentricità e = c/a (con a il semiasse maggiore) misura quanto l'ellisse è "schiacciata" più e si avvicina a 1, più l'ellisse è allungata. Quando e = 0, l'ellisse diventa una circonferenza perfetta. L'area dell'ellisse è πab.
Curiosità La formula di Ramanujan per il perimetro dell'ellisse è una delle approssimazioni più eleganti della matematica!
L'iperbole è formata da due rami separati e ha una definizione opposta all'ellisse ogni suo punto ha la proprietà che la differenza (in valore assoluto) delle distanze dai due fuochi è costante. È la forma dei grafici delle funzioni y = 1/x!
L'equazione è per l'iperbole con fuochi sull'asse x. I due rami si avvicinano sempre più a due rette chiamate asintoti, con equazioni y = ±x. Gli asintoti sono come delle "guide" che l'iperbole segue all'infinito senza mai toccarle.
L'eccentricità e = c/a è sempre maggiore di 1 (a differenza dell'ellisse). Più e è grande, più l'iperbole è "aperta". L'iperbole equilatera ha asintoti perpendicolari e, se ruotata di 45°, diventa xy = k.
Trucco Per disegnare un'iperbole, inizia sempre dagli asintoti ti aiuteranno a capire la forma generale!
L'iperbole equilatera è un caso speciale dove a = b. I suoi asintoti sono sempre perpendicolari , e ha proprietà simmetriche molto eleganti. Quando c² = 2a², ottieni una forma perfettamente bilanciata.
Se ruoti l'iperbole equilatera di 45°, ottieni l'equazione xy = k. Questa è la forma della funzione inversa y = k/x che conosci bene! I fuochi si spostano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante quando k > 0.
La funzione omografica è un'iperbole equilatera traslata e ruotata. I suoi asintoti sono le rette x = -d/c (verticale) e y = a/c (orizzontale). Il centro di simmetria si trova nel punto dove si incontrano gli asintoti.
Attenzione Nella funzione omografica, devi sempre verificare che c ≠ 0 e ad - bc ≠ 0, altrimenti non è un'iperbole!
Tutte le coniche (parabola, circonferenza, ellisse, iperbole) condividono alcune proprietà fondamentali. Per verificare se un punto appartiene a una conica, sostituisci le sue coordinate nell'equazione se ottieni un'identità, il punto ci sta sopra!
Una retta può essere secante (Δ > 0, due punti di intersezione), tangente o esterna (Δ < 0, nessun punto di intersezione) rispetto a una conica. Il discriminante Δ dell'equazione di secondo grado ti dice tutto!
Per trovare le rette tangenti a una conica, puoi partire da un punto esterno o cercare tangenti parallele a una direzione data. Il metodo è sempre lo stesso imponi Δ = 0 e risolvi l'equazione risultante. È come trovare il momento esatto in cui una retta "sfiora" la curva.
Strategia vincente Ricorda sempre di ordinare l'equazione in forma standard e calcolare attentamente il discriminante è la chiave per capire tutto!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
21
Strumenti Intelligenti NUOVO
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Anastasia
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Francesca
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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ASIA :)
@asiafrattini_zptr
La geometria analitica è un ramo della matematica che unisce l'algebra alla geometria, permettendoti di studiare forme geometriche usando equazioni e coordinate. Imparerai a lavorare con punti, rette e curve speciali chiamate coniche(parabola, circonferenza, ellisse e iperbole) usando formule... Mostra di più
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La geometria analitica inizia con i punti nel piano cartesiano. Per calcolare la distanza tra due punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), usi la formula: . È come il teorema di Pitagora applicato alle coordinate!
Il punto medio tra due punti si trova facendo la media delle coordinate: e . Per il baricentro di un triangolo, fai la media delle tre coordinate di ogni vertice.
Le rette hanno diverse forme di equazione. La forma esplicita y = mx + q è la più famosa, dove m è il coefficiente angolare (quanto è ripida la retta) e q è dove la retta tocca l'asse y. Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, mentre sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1.
Trucco utile: Ricorda che il coefficiente angolare si calcola come "salita franca corsa": !
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La parabola è una curva molto speciale: ogni suo punto è equidistante da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta fissa chiamata direttrice. È la forma che fa la traiettoria di una palla lanciata in aria!
L'equazione base è y = ax² + bx + c. Il vertice (il punto più alto o più basso) si trova alle coordinate , dove . Se a > 0, la parabola si apre verso l'alto come un sorriso; se a < 0, si apre verso il basso come un broncio.
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Attenzione: L'area del segmento parabolico è sempre dell'area del rettangolo che lo contiene!
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Due circonferenze possono avere diverse posizioni reciproche: esterne (non si toccano), tangenti (si toccano in un punto), secanti (si intersecano in due punti) o una interna all'altra. Tutto dipende dalla distanza tra i centri confrontata con la somma o differenza dei raggi.
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L'ellisse è come una circonferenza "schiacciata". Ogni suo punto ha una proprietà speciale: la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi è sempre costante. È la forma dell'orbita dei pianeti intorno al Sole!
L'equazione canonica è . Se a > b, l'ellisse è "sdraiata" orizzontalmente; se a < b, è "in piedi" verticalmente. I fuochi si trovano sempre sull'asse maggiore, a distanza c dal centro, dove .
L'eccentricità e = c/a (con a il semiasse maggiore) misura quanto l'ellisse è "schiacciata": più e si avvicina a 1, più l'ellisse è allungata. Quando e = 0, l'ellisse diventa una circonferenza perfetta. L'area dell'ellisse è πab.
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L'eccentricità e = c/a è sempre maggiore di 1 (a differenza dell'ellisse). Più e è grande, più l'iperbole è "aperta". L'iperbole equilatera ha asintoti perpendicolari e, se ruotata di 45°, diventa xy = k.
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Una retta può essere secante (Δ > 0, due punti di intersezione), tangente o esterna (Δ < 0, nessun punto di intersezione) rispetto a una conica. Il discriminante Δ dell'equazione di secondo grado ti dice tutto!
Per trovare le rette tangenti a una conica, puoi partire da un punto esterno o cercare tangenti parallele a una direzione data. Il metodo è sempre lo stesso: imponi Δ = 0 e risolvi l'equazione risultante. È come trovare il momento esatto in cui una retta "sfiora" la curva.
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Francesca
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Aurora
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