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Nicola Scarparo
30/11/2025
Matematica
FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ
351
•
30 nov 2025
•
Nicola Scarparo
@nicolasca
Le funzioni sono uno strumento fondamentale per descrivere relazioni tra... Mostra di più
Immagina di avere una macchina che trasforma numeri: inserisci un valore x ed esce sempre uno e un solo valore y. Questa è esattamente una funzione reale di variabile reale!
Una funzione f da A a B associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B. Scriviamo y = f(x), dove y è l'immagine di x, e x è la controimmagine di y.
Le funzioni si dividono in due grandi famiglie. Le funzioni algebriche includono quelle razionali intere , razionali fratte e irrazionali (con radici). Le funzioni trascendenti comprendono esponenziali, logaritmiche e goniometriche.
💡 Ricorda: Per ogni valore di x deve corrispondere un solo valore di y - questo è ciò che rende una relazione una vera funzione!
Il dominio naturale è l'insieme più ampio di valori che puoi dare a x senza che la funzione "esploda". È come scoprire quali numeri non fanno impazzire la tua calcolatrice!
Per le funzioni razionali fratte, escludi i valori che annullano il denominatore. Per le radici con indice pari, serve che l'espressione sotto radice sia ≥ 0. Per i logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo.
Lo studio del segno ti dice quando la funzione è positiva o negativa. Trovi prima gli zeri , poi costruisci la tabella dei segni. Le trasformazioni geometriche permettono di ottenere nuove funzioni: traslazioni con f(x±a), simmetrie con -f(x) o f, e dilatazioni moltiplicando per costanti.
💡 Trucco veloce: Se hai dubbi sul dominio, chiediti sempre: "Cosa non posso fare in matematica?" (dividere per zero, radice pari di numero negativo, logaritmo di numero ≤ 0)
Ora che conosci le basi, scopriamo come si "comportano" le funzioni! Una funzione è iniettiva se ogni y ha al massimo una x (linea orizzontale tocca il grafico al massimo una volta). È suriettiva se ogni elemento del codominio è raggiunto, e biunivoca se è entrambe.
Le funzioni monotone mantengono sempre lo stesso "andamento". Sono crescenti quando x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂), decrescenti nel caso opposto. Una funzione periodica si ripete ogni T unità: f(x) = f.
Esistono funzioni con simmetrie speciali. Le funzioni pari hanno f = f(x) e sono simmetriche rispetto all'asse y. Le funzioni dispari hanno f = -f(x) e sono simmetriche rispetto all'origine.
💡 Test rapido: Per verificare se una funzione è pari o dispari, sostituisci -x al posto di x e guarda cosa ottieni!
Le funzioni trascendenti sono le vere protagoniste dell'analisi matematica! La funzione esponenziale y = aˣ è sempre positiva e crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1. Il suo grafico passa sempre per (0,1).
La funzione logaritmica y = log_a x è l'inversa dell'esponenziale. Ha dominio ℝ⁺ e passa per (1,0). Le funzioni goniometriche descrivono fenomeni periodici: seno e coseno oscillano tra -1 e 1 con periodo 2π, mentre tangente e cotangente hanno periodo π.
Seno è dispari e crescente in , coseno è pari e decrescente in . Tangente è dispari con asintoti verticali, cotangente è dispari e sempre decrescente nei suoi intervalli di definizione.
💡 Memoria visiva: Ricorda che il grafico del seno parte dall'origine, quello del coseno parte da (0,1), e la tangente ha quelle caratteristiche "onde" infinite!
Calcolare il periodo di funzioni composite è più semplice di quanto sembri! Per y = cos(bx), il periodo diventa 2π/|b|. Per combinazioni di funzioni periodiche, trovi il minimo comune multiplo dei periodi individuali.
La funzione inversa f⁻¹ "annulla" l'effetto di f. Perché esista, la funzione deve essere biunivoca. Se non lo è, puoi restringere il dominio! Per esempio, y = x² diventa invertibile se consideri solo x ≥ 0.
Il grafico di f⁻¹ si ottiene riflettendo quello di f rispetto alla bisettrice y = x. Praticamente scambi le coordinate: se (a,b) sta su f, allora (b,a) sta su f⁻¹.
💡 Metodo pratico: Per trovare l'inversa, scrivi y = f(x), risolvi per x, poi scambia x e y. Esempio: da y = 2x + 1 ottieni x = /2, quindi f⁻¹(x) = /2!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
App Store
Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Chiara
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Nicola Scarparo
@nicolasca
Le funzioni sono uno strumento fondamentale per descrivere relazioni tra grandezze nel mondo reale. Scopriremo come classificarle, trovare i loro domini e capire le loro proprietà principali per risolvere problemi matematici e prepararci ai test.
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Immagina di avere una macchina che trasforma numeri: inserisci un valore x ed esce sempre uno e un solo valore y. Questa è esattamente una funzione reale di variabile reale!
Una funzione f da A a B associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B. Scriviamo y = f(x), dove y è l'immagine di x, e x è la controimmagine di y.
Le funzioni si dividono in due grandi famiglie. Le funzioni algebriche includono quelle razionali intere , razionali fratte e irrazionali (con radici). Le funzioni trascendenti comprendono esponenziali, logaritmiche e goniometriche.
💡 Ricorda: Per ogni valore di x deve corrispondere un solo valore di y - questo è ciò che rende una relazione una vera funzione!
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Per le funzioni razionali fratte, escludi i valori che annullano il denominatore. Per le radici con indice pari, serve che l'espressione sotto radice sia ≥ 0. Per i logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo.
Lo studio del segno ti dice quando la funzione è positiva o negativa. Trovi prima gli zeri , poi costruisci la tabella dei segni. Le trasformazioni geometriche permettono di ottenere nuove funzioni: traslazioni con f(x±a), simmetrie con -f(x) o f, e dilatazioni moltiplicando per costanti.
💡 Trucco veloce: Se hai dubbi sul dominio, chiediti sempre: "Cosa non posso fare in matematica?" (dividere per zero, radice pari di numero negativo, logaritmo di numero ≤ 0)
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Le funzioni monotone mantengono sempre lo stesso "andamento". Sono crescenti quando x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂), decrescenti nel caso opposto. Una funzione periodica si ripete ogni T unità: f(x) = f.
Esistono funzioni con simmetrie speciali. Le funzioni pari hanno f = f(x) e sono simmetriche rispetto all'asse y. Le funzioni dispari hanno f = -f(x) e sono simmetriche rispetto all'origine.
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Il grafico di f⁻¹ si ottiene riflettendo quello di f rispetto alla bisettrice y = x. Praticamente scambi le coordinate: se (a,b) sta su f, allora (b,a) sta su f⁻¹.
💡 Metodo pratico: Per trovare l'inversa, scrivi y = f(x), risolvi per x, poi scambia x e y. Esempio: da y = 2x + 1 ottieni x = /2, quindi f⁻¹(x) = /2!
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