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Matematica
20 dic 2025
393
5 pagine
Nicola Scarparo @nicolasca
Le funzioni sono uno strumento fondamentale per descrivere relazioni tra grandezze nel mondo reale. Scopriremo come classificarle, trovare... Mostra di più
Immagina di avere una macchina che trasforma numeri inserisci un valore x ed esce sempre uno e un solo valore y. Questa è esattamente una funzione reale di variabile reale!
Una funzione f da A a B associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B. Scriviamo y = f(x), dove y è l'immagine di x, e x è la controimmagine di y.
Le funzioni si dividono in due grandi famiglie. Le funzioni algebriche includono quelle razionali intere , razionali fratte e irrazionali (con radici). Le funzioni trascendenti comprendono esponenziali, logaritmiche e goniometriche.
💡 Ricorda Per ogni valore di x deve corrispondere un solo valore di y - questo è ciò che rende una relazione una vera funzione!
Il dominio naturale è l'insieme più ampio di valori che puoi dare a x senza che la funzione "esploda". È come scoprire quali numeri non fanno impazzire la tua calcolatrice!
Per le funzioni razionali fratte, escludi i valori che annullano il denominatore. Per le radici con indice pari, serve che l'espressione sotto radice sia ≥ 0. Per i logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo.
Lo studio del segno ti dice quando la funzione è positiva o negativa. Trovi prima gli zeri , poi costruisci la tabella dei segni. Le trasformazioni geometriche permettono di ottenere nuove funzioni traslazioni con f(x±a), simmetrie con -f(x) o f, e dilatazioni moltiplicando per costanti.
💡 Trucco veloce Se hai dubbi sul dominio, chiediti sempre "Cosa non posso fare in matematica?" (dividere per zero, radice pari di numero negativo, logaritmo di numero ≤ 0)
Ora che conosci le basi, scopriamo come si "comportano" le funzioni! Una funzione è iniettiva se ogni y ha al massimo una x (linea orizzontale tocca il grafico al massimo una volta). È suriettiva se ogni elemento del codominio è raggiunto, e biunivoca se è entrambe.
Le funzioni monotone mantengono sempre lo stesso "andamento". Sono crescenti quando x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂), decrescenti nel caso opposto. Una funzione periodica si ripete ogni T unità f(x) = f.
Esistono funzioni con simmetrie speciali. Le funzioni pari hanno f = f(x) e sono simmetriche rispetto all'asse y. Le funzioni dispari hanno f = -f(x) e sono simmetriche rispetto all'origine.
💡 Test rapido Per verificare se una funzione è pari o dispari, sostituisci -x al posto di x e guarda cosa ottieni!
Le funzioni trascendenti sono le vere protagoniste dell'analisi matematica! La funzione esponenziale y = aˣ è sempre positiva e crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1. Il suo grafico passa sempre per (0,1).
La funzione logaritmica y = log_a x è l'inversa dell'esponenziale. Ha dominio ℝ⁺ e passa per (1,0). Le funzioni goniometriche descrivono fenomeni periodici seno e coseno oscillano tra -1 e 1 con periodo 2π, mentre tangente e cotangente hanno periodo π.
Seno è dispari e crescente in , coseno è pari e decrescente in . Tangente è dispari con asintoti verticali, cotangente è dispari e sempre decrescente nei suoi intervalli di definizione.
💡 Memoria visiva Ricorda che il grafico del seno parte dall'origine, quello del coseno parte da (0,1), e la tangente ha quelle caratteristiche "onde" infinite!
Calcolare il periodo di funzioni composite è più semplice di quanto sembri! Per y = cos(bx), il periodo diventa 2π/|b|. Per combinazioni di funzioni periodiche, trovi il minimo comune multiplo dei periodi individuali.
La funzione inversa f⁻¹ "annulla" l'effetto di f. Perché esista, la funzione deve essere biunivoca. Se non lo è, puoi restringere il dominio! Per esempio, y = x² diventa invertibile se consideri solo x ≥ 0.
Il grafico di f⁻¹ si ottiene riflettendo quello di f rispetto alla bisettrice y = x. Praticamente scambi le coordinate se (a,b) sta su f, allora (b,a) sta su f⁻¹.
💡 Metodo pratico Per trovare l'inversa, scrivi y = f(x), risolvi per x, poi scambia x e y. Esempio da y = 2x + 1 ottieni x = /2, quindi f⁻¹(x) = /2!
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Marianna
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
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Chiara
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Le funzioni sono uno strumento fondamentale per descrivere relazioni tra grandezze nel mondo reale. Scopriremo come classificarle, trovare i loro domini e capire le loro proprietà principali per risolvere problemi matematici e prepararci ai test.
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Immagina di avere una macchina che trasforma numeri: inserisci un valore x ed esce sempre uno e un solo valore y. Questa è esattamente una funzione reale di variabile reale!
Una funzione f da A a B associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B. Scriviamo y = f(x), dove y è l'immagine di x, e x è la controimmagine di y.
Le funzioni si dividono in due grandi famiglie. Le funzioni algebriche includono quelle razionali intere , razionali fratte e irrazionali (con radici). Le funzioni trascendenti comprendono esponenziali, logaritmiche e goniometriche.
💡 Ricorda: Per ogni valore di x deve corrispondere un solo valore di y - questo è ciò che rende una relazione una vera funzione!
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Per le funzioni razionali fratte, escludi i valori che annullano il denominatore. Per le radici con indice pari, serve che l'espressione sotto radice sia ≥ 0. Per i logaritmi, l'argomento deve essere sempre positivo.
Lo studio del segno ti dice quando la funzione è positiva o negativa. Trovi prima gli zeri , poi costruisci la tabella dei segni. Le trasformazioni geometriche permettono di ottenere nuove funzioni: traslazioni con f(x±a), simmetrie con -f(x) o f, e dilatazioni moltiplicando per costanti.
💡 Trucco veloce: Se hai dubbi sul dominio, chiediti sempre: "Cosa non posso fare in matematica?" (dividere per zero, radice pari di numero negativo, logaritmo di numero ≤ 0)
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Le funzioni monotone mantengono sempre lo stesso "andamento". Sono crescenti quando x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂), decrescenti nel caso opposto. Una funzione periodica si ripete ogni T unità: f(x) = f.
Esistono funzioni con simmetrie speciali. Le funzioni pari hanno f = f(x) e sono simmetriche rispetto all'asse y. Le funzioni dispari hanno f = -f(x) e sono simmetriche rispetto all'origine.
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La funzione logaritmica y = log_a x è l'inversa dell'esponenziale. Ha dominio ℝ⁺ e passa per (1,0). Le funzioni goniometriche descrivono fenomeni periodici: seno e coseno oscillano tra -1 e 1 con periodo 2π, mentre tangente e cotangente hanno periodo π.
Seno è dispari e crescente in , coseno è pari e decrescente in . Tangente è dispari con asintoti verticali, cotangente è dispari e sempre decrescente nei suoi intervalli di definizione.
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La funzione inversa f⁻¹ "annulla" l'effetto di f. Perché esista, la funzione deve essere biunivoca. Se non lo è, puoi restringere il dominio! Per esempio, y = x² diventa invertibile se consideri solo x ≥ 0.
Il grafico di f⁻¹ si ottiene riflettendo quello di f rispetto alla bisettrice y = x. Praticamente scambi le coordinate: se (a,b) sta su f, allora (b,a) sta su f⁻¹.
💡 Metodo pratico: Per trovare l'inversa, scrivi y = f(x), risolvi per x, poi scambia x e y. Esempio: da y = 2x + 1 ottieni x = /2, quindi f⁻¹(x) = /2!
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Anastasia
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Francesca
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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Aurora
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Martina
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