Matematica

Fondamenti e Sistemi Matematici

fondamenti di precalcolo

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•

6 gen 2026

•

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Scopri le Funzioni Goniometriche: Seno, Coseno e Tanto Altro!

Lulù

@_lluisa

Ecco tutto quello che devi sapere sulle funzioni trigonometriche! Dalla... Mostra di più

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$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Angoli e Misure in Radianti

Ti è mai capitato di chiederti perché a volte usiamo i gradi e altre volte i radianti? I radianti sono semplicemente un modo più "matematico" di misurare gli angoli!

Un radiante è l'angolo al centro che corrisponde a un arco lungo quanto il raggio della circonferenza. La formula è semplice: radianti = l/r (lunghezza arco diviso raggio).

Le conversioni più importanti da ricordare sono: 360° = 2π rad, 180° = π rad, 90° = π/2 rad, 60° = π/3 rad, 45° = π/4 rad, 30° = π/6 rad. Per convertire usa la proporzione: 360° : 2π = α° : x rad.

Trucco per l'esame: Memorizza le conversioni principali (30°, 45°, 60°, 90°) - ti faranno risparmiare tempo prezioso!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Circonferenza Goniometrica e Funzioni Base

La circonferenza goniometrica è il tuo strumento principale per capire le funzioni trigonometriche. Ha raggio 1 e centro nell'origine, e si percorre in senso antiorario (positivo) o orario (negativo).

Seno e coseno sono le funzioni trigonometriche più importanti. Per un punto A sulla circonferenza: sin(x) è l'ordinata (coordinata y) del punto, mentre cos(x) è l'ascissa (coordinata x).

Nei triangoli rettangoli, sin(x) = cateto opposto/ipotenusa e cos(x) = cateto adiacente/ipotenusa. Entrambe le funzioni oscillano sempre tra -1 e +1.

Ricorda: Seno = altezza, Coseno = larghezza. Questa visualizzazione ti aiuterà sempre!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Valori Notevoli delle Funzioni Trigonometriche

Questi sono i valori che DEVI sapere a memoria per l'esame! Per gli angoli di 30°, 45° e 60° $π/6, π/4, π/3 radianti$ , i valori sono standardizzati.

Per 45°: sin(45°) = cos(45°) = √2/2. Per 30°: sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2. Per 60°: sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2.

Il periodo di seno e coseno è 2π, il che significa che i valori si ripetono ogni 2π radianti. A 0 e 2π: sin = 0, cos = 1. A π/2: sin = 1, cos = 0. A π: sin = 0, cos = -1. A 3π/2: sin = -1, cos = 0.

Metodo mnemonico: Per ricordare i valori, pensa a √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 e semplifica!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Tangente, Cotangente e Relazioni Fondamentali

La tangente è tan(x) = sin(x)/cos(x), mentre la cotangente è cot(x) = cos(x)/sin(x). Il loro periodo è π (più corto di seno e coseno!).

I segni cambiano a seconda del quadrante. Nel I quadrante tutto è positivo. Nel II: solo seno positivo. Nel III: solo tangente e cotangente positive. Nel IV: solo coseno positivo.

La relazione fondamentale è sin²(x) + cos²(x) = 1. Questa formula è alla base di tutto e ti permetterà di risolvere tantissimi problemi trigonometrici.

Strategia vincente: Impara bene i segni nei quattro quadranti - sono la chiave per non sbagliare mai gli esercizi!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Proprietà delle Funzioni Seno e Coseno

Il seno è una funzione dispari (simmetrica rispetto all'origine), periodica con periodo 2π. Non è né iniettiva né suriettiva sul dominio reale, ma ha codominio $-1,1$ .

Il coseno è una funzione pari (simmetrica rispetto all'asse y), anch'essa periodica con periodo 2π. Come il seno, non è né iniettiva né suriettiva su tutto R, con codominio $-1,1$ .

Entrambe le funzioni oscillano continuamente tra -1 e +1, creando quelle caratteristiche onde sinusoidali che vedi nei grafici.

Visualizza sempre: I grafici di seno e coseno sono semplicemente la "proiezione" del movimento circolare sulla circonferenza goniometrica!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Proprietà di Tangente e Cotangente

La tangente è periodica con periodo π, dispari, non iniettiva ma suriettiva, e sempre crescente. Ha asintoti verticali in π/2 + kπ, quindi il dominio è R - {π/2 + kπ} e il codominio è tutto R.

La cotangente è anch'essa periodica con periodo π, dispari, non iniettiva ma suriettiva, ma è sempre decrescente. Ha asintoti verticali in 0 + kπ, quindi dominio R - {0 + kπ} e codominio R.

Entrambe possono assumere qualsiasi valore reale $a differenza di seno e coseno che stanno tra -1 e 1$ , ma hanno dei "buchi" nel dominio dove non sono definite.

Attenzione agli asintoti: Ricorda sempre dove tangente e cotangente non esistono - questi punti sono spesso trabocchetti negli esercizi!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Secante e Cosecante

La secante è sec(x) = 1/cos(x) e la cosecante è csc(x) = 1/sin(x). Sono le funzioni trigonometriche "reciproche" di coseno e seno.

Il dominio della secante è R - {π/2 + kπ} (dove il coseno vale zero), mentre il codominio è y ≤ -1 ∨ y ≥ 1. La cosecante ha dominio R - {0 + kπ} e stesso tipo di codominio.

Queste funzioni hanno sempre valore assoluto maggiore o uguale a 1, perché sono i "reciproci" di funzioni che oscillano tra -1 e 1.

Trucco pratico: Secante e cosecante si comportano come "versioni amplificate" di coseno e seno - dove l'originale è piccolo, loro diventano grandi!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Angoli Associati

Gli angoli associati ti permettono di calcolare valori trigonometrici usando quelli che già conosci. È come avere una scorciatoia matematica!

Per gli angoli complementari: sin(π/2 - α) = cos(α) e cos(π/2 - α) = sin(α). Per gli angoli supplementari: sin(π - α) = sin(α) e cos(π - α) = -cos(α).

Altri casi importanti: sin(π + α) = -sin(α), cos(π + α) = -cos(α), sin(2π - α) = -sin(α), cos(2π - α) = cos(α). Per gli angoli opposti: sin(-α) = -sin(α), cos(-α) = cos(α).

Metodo sistematico: Disegna sempre la circonferenza goniometrica - vedere la posizione del punto ti aiuterà a capire i segni!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Funzioni Trigonometriche Inverse: Arcoseno e Arcocoseno

Per definire le funzioni inverse, dobbiamo limitare i domini perché le funzioni trigonometriche non sono biunivoche su tutto R.

Arcoseno: per avere l'inversa del seno, limitiamo il dominio a $-π/2, π/2$ . Quindi arcsin ha dominio $-1,1$ e codominio $-π/2, π/2$ . È crescente e dispari.

Arcocoseno: per il coseno limitiamo a $0,π$ . Quindi arccos ha dominio $-1,1$ e codominio $0,π$ . È decrescente.

Ricorda i limiti: Arcoseno "vive" tra -90° e +90°, arcocoseno tra 0° e 180°. Questi intervalli sono scelti per avere funzioni monotone!

$Angoli → Somo parti di piano delimitati da 3 semirette con l'origine in comune l (arco) /r (raggio) 360 → $\frac{2 π}{1}$ = 2 π rad 180$

Arcotangente e Arcocotangente

Arcotangente: limitando la tangente all'intervallo ]-π/2, π/2 $, otteniamo una funzione crescente e biunivoca. L'arctan ha quindi dominio R e codominio$ -π/2, π/2[.

Arcocotangente: limitando la cotangente a ]0, π $, l'arccot ha dominio R e codominio$ 0, π[. È una funzione decrescente.

Entrambe le funzioni inverse possono "ricevere" qualsiasi numero reale come input, ma restituiscono angoli solo negli intervalli specificati.

Differenza chiave: Arcotangente è crescente e centrata sullo zero, arcocotangente è decrescente e "vive" nella parte positiva!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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Ripasso Programma 3ª-4ª Liceo Scientifico

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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Ecco tutto quello che devi sapere sulle funzioni trigonometriche! Dalla conversione degli angoli alle funzioni inverse, questi concetti sono fondamentali per la matematica del quinto anno e ti serviranno anche all'università.

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Ti è mai capitato di chiederti perché a volte usiamo i gradi e altre volte i radianti? I radianti sono semplicemente un modo più "matematico" di misurare gli angoli!

Un radiante è l'angolo al centro che corrisponde a un arco lungo quanto il raggio della circonferenza. La formula è semplice: radianti = l/r (lunghezza arco diviso raggio).

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Circonferenza Goniometrica e Funzioni Base

Seno e coseno sono le funzioni trigonometriche più importanti. Per un punto A sulla circonferenza: sin(x) è l'ordinata (coordinata y) del punto, mentre cos(x) è l'ascissa (coordinata x).

Nei triangoli rettangoli, sin(x) = cateto opposto/ipotenusa e cos(x) = cateto adiacente/ipotenusa. Entrambe le funzioni oscillano sempre tra -1 e +1.

Ricorda: Seno = altezza, Coseno = larghezza. Questa visualizzazione ti aiuterà sempre!

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Valori Notevoli delle Funzioni Trigonometriche

Questi sono i valori che DEVI sapere a memoria per l'esame! Per gli angoli di 30°, 45° e 60° $π/6, π/4, π/3 radianti$ , i valori sono standardizzati.

Per 45°: sin(45°) = cos(45°) = √2/2. Per 30°: sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2. Per 60°: sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2.

Metodo mnemonico: Per ricordare i valori, pensa a √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 e semplifica!

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Tangente, Cotangente e Relazioni Fondamentali

La tangente è tan(x) = sin(x)/cos(x), mentre la cotangente è cot(x) = cos(x)/sin(x). Il loro periodo è π (più corto di seno e coseno!).

I segni cambiano a seconda del quadrante. Nel I quadrante tutto è positivo. Nel II: solo seno positivo. Nel III: solo tangente e cotangente positive. Nel IV: solo coseno positivo.

La relazione fondamentale è sin²(x) + cos²(x) = 1. Questa formula è alla base di tutto e ti permetterà di risolvere tantissimi problemi trigonometrici.

Strategia vincente: Impara bene i segni nei quattro quadranti - sono la chiave per non sbagliare mai gli esercizi!

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Proprietà delle Funzioni Seno e Coseno

Il seno è una funzione dispari (simmetrica rispetto all'origine), periodica con periodo 2π. Non è né iniettiva né suriettiva sul dominio reale, ma ha codominio $-1,1$ .

Il coseno è una funzione pari (simmetrica rispetto all'asse y), anch'essa periodica con periodo 2π. Come il seno, non è né iniettiva né suriettiva su tutto R, con codominio $-1,1$ .

Entrambe le funzioni oscillano continuamente tra -1 e +1, creando quelle caratteristiche onde sinusoidali che vedi nei grafici.

Visualizza sempre: I grafici di seno e coseno sono semplicemente la "proiezione" del movimento circolare sulla circonferenza goniometrica!

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Proprietà di Tangente e Cotangente

La cotangente è anch'essa periodica con periodo π, dispari, non iniettiva ma suriettiva, ma è sempre decrescente. Ha asintoti verticali in 0 + kπ, quindi dominio R - {0 + kπ} e codominio R.

Entrambe possono assumere qualsiasi valore reale $a differenza di seno e coseno che stanno tra -1 e 1$ , ma hanno dei "buchi" nel dominio dove non sono definite.

Attenzione agli asintoti: Ricorda sempre dove tangente e cotangente non esistono - questi punti sono spesso trabocchetti negli esercizi!

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Secante e Cosecante

La secante è sec(x) = 1/cos(x) e la cosecante è csc(x) = 1/sin(x). Sono le funzioni trigonometriche "reciproche" di coseno e seno.

Il dominio della secante è R - {π/2 + kπ} (dove il coseno vale zero), mentre il codominio è y ≤ -1 ∨ y ≥ 1. La cosecante ha dominio R - {0 + kπ} e stesso tipo di codominio.

Queste funzioni hanno sempre valore assoluto maggiore o uguale a 1, perché sono i "reciproci" di funzioni che oscillano tra -1 e 1.

Trucco pratico: Secante e cosecante si comportano come "versioni amplificate" di coseno e seno - dove l'originale è piccolo, loro diventano grandi!

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Angoli Associati

Gli angoli associati ti permettono di calcolare valori trigonometrici usando quelli che già conosci. È come avere una scorciatoia matematica!

Per gli angoli complementari: sin(π/2 - α) = cos(α) e cos(π/2 - α) = sin(α). Per gli angoli supplementari: sin(π - α) = sin(α) e cos(π - α) = -cos(α).

Altri casi importanti: sin(π + α) = -sin(α), cos(π + α) = -cos(α), sin(2π - α) = -sin(α), cos(2π - α) = cos(α). Per gli angoli opposti: sin(-α) = -sin(α), cos(-α) = cos(α).

Metodo sistematico: Disegna sempre la circonferenza goniometrica - vedere la posizione del punto ti aiuterà a capire i segni!

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Funzioni Trigonometriche Inverse: Arcoseno e Arcocoseno

Per definire le funzioni inverse, dobbiamo limitare i domini perché le funzioni trigonometriche non sono biunivoche su tutto R.

Arcoseno: per avere l'inversa del seno, limitiamo il dominio a $-π/2, π/2$ . Quindi arcsin ha dominio $-1,1$ e codominio $-π/2, π/2$ . È crescente e dispari.

Arcocoseno: per il coseno limitiamo a $0,π$ . Quindi arccos ha dominio $-1,1$ e codominio $0,π$ . È decrescente.

Ricorda i limiti: Arcoseno "vive" tra -90° e +90°, arcocoseno tra 0° e 180°. Questi intervalli sono scelti per avere funzioni monotone!

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Arcotangente e Arcocotangente

Arcotangente: limitando la tangente all'intervallo ]-π/2, π/2 $, otteniamo una funzione crescente e biunivoca. L'arctan ha quindi dominio R e codominio$ -π/2, π/2[.

Arcocotangente: limitando la cotangente a ]0, π $, l'arccot ha dominio R e codominio$ 0, π[. È una funzione decrescente.

Entrambe le funzioni inverse possono "ricevere" qualsiasi numero reale come input, ma restituiscono angoli solo negli intervalli specificati.

Differenza chiave: Arcotangente è crescente e centrata sullo zero, arcocotangente è decrescente e "vive" nella parte positiva!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS