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Aggiornato Mar 22, 2026
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Introduzione alle Funzioni Lineari con Due Variabili
mary troise
@marytroise
1 / 6
Funzioni di due variabili e dominio
Immagina di voler calcolare l'area di un rettangolo: hai bisogno di due misure - lunghezza e larghezza. Ecco cos'è una funzione di due variabili: quando z dipende sia da x che da y, scriviamo z = f(x,y).
Nella pratica, x e y sono le variabili indipendenti (quelle che puoi scegliere liberamente), mentre z è la variabile dipendente (il risultato che ottieni). Per esempio, se z = x² + 2y e scegli x = 2 e y = 4, ottieni z = 12.
Il dominio è l'insieme di tutti i valori che puoi dare a x e y. Per le funzioni intere come z = 5x + 2y - 2, puoi usare qualsiasi numero reale. Per quelle con radici come z = √, devi assicurarti che y ≥ x per evitare radici negative.
Suggerimento: Pensa alla funzione come una "macchina" che riceve due ingredienti (x e y) e produce un risultato (z).
Curve di livello
Rappresentare graficamente una funzione di due variabili nello spazio è complicato, quindi usiamo un trucco intelligente: le curve di livello. È come guardare le mappe topografiche delle montagne!
Il principio è semplice: fissi z a un valore costante k e vedi quali punti (x,y) soddisfano quella condizione. Ogni curva di livello unisce tutti i punti dove la funzione ha lo stesso valore.
Pensa alle curve isotermiche delle previsioni del tempo: ogni linea collega tutti i luoghi con la stessa temperatura. Allo stesso modo, le curve di altitudine (isoipse) collegano punti alla stessa altezza sul livello del mare.
Questo metodo ti permette di "leggere" una funzione bidimensionale su un normale piano xy, vedendo come cambia il valore di z spostandoti da una curva all'altra.
Esempio pratico: Nelle mappe meteo, se vedi curve molto vicine tra loro, significa che la temperatura cambia rapidamente in quella zona!
Esempi di curve di livello
Prendiamo la funzione z = y - x per vedere come funziona nella pratica. Quando fissi diversi valori di z, ottieni diverse rette parallele sul piano xy.
Se z = 3, allora y - x = 3, quindi y = x + 3. Se z = 1, ottieni y = x + 1. Se z = -2, hai y = x - 2. Tutte queste sono rette parallele con pendenza 1, ma spostate verticalmente.
Le curve isoipse (di uguale altezza) funzionano allo stesso modo: immagina di tagliare una montagna con piani orizzontali a diverse altezze. Dove ogni piano interseca la montagna, ottieni una curva di livello.
Più le curve sono vicine tra loro, più ripido è il "pendio" della tua funzione. Se sono distanti, la funzione cambia gradualmente.
Trucco visivo: Se le curve di livello sono cerchi concentrici, probabilmente hai a che fare con una funzione che dipende dalla distanza dall'origine!
Disequazioni lineari in due incognite
Ogni retta sul piano divide lo spazio in due semipiani. Mentre l'equazione y = mx + q descrive esattamente la retta, le disequazioni y > mx + q o y < mx + q descrivono le regioni sopra o sotto di essa.
Il metodo è semplice: trasforma la disequazione in equazione, traccia la retta, poi decidi quale semipiano considerare. Se hai y > mx + q, prendi la regione sopra la retta; se hai y < mx + q, quella sotto.
Per le rette verticali come x > 2, consideri tutto quello che sta a destra della retta x = 2. Per quelle orizzontali come y ≥ 3, prendi tutto sopra la retta y = 3.
Se la disequazione usa ≥ o ≤, i punti sulla retta sono inclusi (linea continua). Se usa > o <, sono esclusi (linea tratteggiata).
Memoria visiva: "Maggiore = sopra, minore = sotto" funziona sempre per le disequazioni in y!
Sistemi di disequazioni lineari
Quando hai più disequazioni insieme, devi trovare la regione comune che le soddisfa tutte. È come trovare l'intersezione di diversi semipiani.
Il procedimento è metodico: risolvi una disequazione alla volta, traccia tutte le rette sul piano, poi identifica i semipiani corretti per ciascuna. La soluzione finale è la zona dove tutti i semipiani si sovrappongono.
Nell'esempio con 2x - 3y ≥ 12 e x + 2y - 5 ≥ 0, ottieni due rette che delimitano una regione del piano. Solo i punti in questa regione soddisfano entrambe le condizioni.
Questo metodo è fondamentale nella programmazione lineare e nell'ottimizzazione: spesso devi trovare il punto migliore all'interno di vincoli rappresentati da disequazioni.
Strategia vincente: Colora leggermente ogni semipiano con un colore diverso - la zona più scura è la tua soluzione!
Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....
Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Knowunity è davvero gratuita?
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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App Store
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
I quiz E LE flashcard SONO COSÌ UTILI E ADORO Knowunity IA. È ANCHE LETTERALMENTE COME CHATGPT MA PIÙ INTELLIGENTE!! MI HA AIUTATO ANCHE COI MIEI PROBLEMI DI MASCARA!! E ANCHE CON LE MIE VERE MATERIE! OVVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
I quiz E LE flashcard SONO COSÌ UTILI E ADORO Knowunity IA. È ANCHE LETTERALMENTE COME CHATGPT MA PIÙ INTELLIGENTE!! MI HA AIUTATO ANCHE COI MIEI PROBLEMI DI MASCARA!! E ANCHE CON LE MIE VERE MATERIE! OVVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
utente iOS
Introduzione alle Funzioni Lineari con Due Variabili
mary troise
@marytroise
Le funzioni di due variabili sono ovunque intorno a noi: dalla superficie di un rettangolo alle mappe meteorologiche. Questo argomento ti aiuterà a capire come una variabile può dipendere da due altre variabili contemporaneamente e come rappresentare graficamente queste relazioni... Mostra di più
Funzioni di due variabili e dominio
Immagina di voler calcolare l'area di un rettangolo: hai bisogno di due misure - lunghezza e larghezza. Ecco cos'è una funzione di due variabili: quando z dipende sia da x che da y, scriviamo z = f(x,y).
Nella pratica, x e y sono le variabili indipendenti (quelle che puoi scegliere liberamente), mentre z è la variabile dipendente (il risultato che ottieni). Per esempio, se z = x² + 2y e scegli x = 2 e y = 4, ottieni z = 12.
Il dominio è l'insieme di tutti i valori che puoi dare a x e y. Per le funzioni intere come z = 5x + 2y - 2, puoi usare qualsiasi numero reale. Per quelle con radici come z = √, devi assicurarti che y ≥ x per evitare radici negative.
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Curve di livello
Rappresentare graficamente una funzione di due variabili nello spazio è complicato, quindi usiamo un trucco intelligente: le curve di livello. È come guardare le mappe topografiche delle montagne!
Il principio è semplice: fissi z a un valore costante k e vedi quali punti (x,y) soddisfano quella condizione. Ogni curva di livello unisce tutti i punti dove la funzione ha lo stesso valore.
Pensa alle curve isotermiche delle previsioni del tempo: ogni linea collega tutti i luoghi con la stessa temperatura. Allo stesso modo, le curve di altitudine (isoipse) collegano punti alla stessa altezza sul livello del mare.
Questo metodo ti permette di "leggere" una funzione bidimensionale su un normale piano xy, vedendo come cambia il valore di z spostandoti da una curva all'altra.
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Esempi di curve di livello
Prendiamo la funzione z = y - x per vedere come funziona nella pratica. Quando fissi diversi valori di z, ottieni diverse rette parallele sul piano xy.
Se z = 3, allora y - x = 3, quindi y = x + 3. Se z = 1, ottieni y = x + 1. Se z = -2, hai y = x - 2. Tutte queste sono rette parallele con pendenza 1, ma spostate verticalmente.
Le curve isoipse (di uguale altezza) funzionano allo stesso modo: immagina di tagliare una montagna con piani orizzontali a diverse altezze. Dove ogni piano interseca la montagna, ottieni una curva di livello.
Più le curve sono vicine tra loro, più ripido è il "pendio" della tua funzione. Se sono distanti, la funzione cambia gradualmente.
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Disequazioni lineari in due incognite
Ogni retta sul piano divide lo spazio in due semipiani. Mentre l'equazione y = mx + q descrive esattamente la retta, le disequazioni y > mx + q o y < mx + q descrivono le regioni sopra o sotto di essa.
Il metodo è semplice: trasforma la disequazione in equazione, traccia la retta, poi decidi quale semipiano considerare. Se hai y > mx + q, prendi la regione sopra la retta; se hai y < mx + q, quella sotto.
Per le rette verticali come x > 2, consideri tutto quello che sta a destra della retta x = 2. Per quelle orizzontali come y ≥ 3, prendi tutto sopra la retta y = 3.
Se la disequazione usa ≥ o ≤, i punti sulla retta sono inclusi (linea continua). Se usa > o <, sono esclusi (linea tratteggiata).
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Sistemi di disequazioni lineari
Quando hai più disequazioni insieme, devi trovare la regione comune che le soddisfa tutte. È come trovare l'intersezione di diversi semipiani.
Il procedimento è metodico: risolvi una disequazione alla volta, traccia tutte le rette sul piano, poi identifica i semipiani corretti per ciascuna. La soluzione finale è la zona dove tutti i semipiani si sovrappongono.
Nell'esempio con 2x - 3y ≥ 12 e x + 2y - 5 ≥ 0, ottieni due rette che delimitano una regione del piano. Solo i punti in questa regione soddisfano entrambe le condizioni.
Questo metodo è fondamentale nella programmazione lineare e nell'ottimizzazione: spesso devi trovare il punto migliore all'interno di vincoli rappresentati da disequazioni.
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Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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Anastasia
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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Aurora
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Martina
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Chiara
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
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