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insiemi limitati consideriamo A ≤ IR (dunque “A” un Sottoinsieme di R): insiemi superiormente Limitati se esiste K € IR tale che X<K, VX = A, allora A è superiormente limitato. In un insieme superiormente limitato troviamo infiniti maggioranti (valori maggiori del più alto presente nell'insieme), il valore "K" è un maggiorante di “A”. Il più piccolo di tali maggioranti è chiamato estremo superiore (se appartiene all'insieme, invece, si chiama "massimo”). ogni maggiorante è definito con "M" insiemi inferiormente Limitati se esiste h = IR tale che x>h, vX ¤ A, allora A è inferiormente limitato. In un insieme inferiormente limitato troviamo infiniti minoranti (valori minori del più piccolo presente nell'insieme), il valore “h” è un minorenne di “A”. Il più grande di tali minoranti è chiamato estremo inferiore (se appartenente all'insieme è chiamato “minimo”). ogni minorante è definito con “m” un insieme si dice semplicemente "limitato" se è limitato sia superiormente che inferiormente. AURORA MAZZARINO Funzioni Si definisce funzione “P” (O corrispondenza) tra un insieme non vuoto "A" (detto "dominio" o "campo di esistenza"), ed un insieme "B" (detto "insieme di arrivo"), la legge che associa ogni elemento di "A" AD UNO E UNO SOLO ELEMENTO DI "B". L'elemento generico di "A", Solitamente Indicato con "X", Si dice "variabile indipendente", mentre l'elemento generico di "B" indicato con "y" O "F(X)" Si dice "variabile...

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dipendente" o "immagine di X". Per indicare che la funzione "F" ha dominio in "A" e insieme di arrivo in "B" Si dice: "F definita in A ha valori in B". ↓ F:A B Gli elementi dei due insiemi si legano; per indicare come si associano viene usata la "legge della funzione". F=IR→IR+ [y=x² y=f(x) esempio La funzione F che associa ad ogni numero il suo quadrato si definisce nel seguente modo: Forzioni iniettive, corriettive e Giettive Funzione iniettiva una funzione F: A → B Si dice iniettiva se associa elementi diversi di A con elementi diversi di B. VX₁X₂€ A con X¹‡ X² →→ F(X) = f(x) → Per ogni possibile coppia di elementi X¹ X³ di A diversi tra loro. Funzione surriettiva ci dice che nell'insieme "B" non ci possono essere elementi non collegati ad "A". Quindi ogni elemento di "B" è immagine di almeno un elemento di "A" B, 3X EA: → y = f(x) → per ogni elemento di "B" esiste un elemento (x) di "A" tale che y sia immagine di x Funzione biettiva o biunivoca Si definisce tale se allo stesso tempo risulta sia iniettiva che surriettiva, come la corrispondenza tra ascisse e ordinate. Classificazione AURORA MAZZARINO Algebrica< -RAZIONALE quando la "X" non è mai Sotto radice p intere se x è al numeratore Analitica →y=X-3X →y=√4X-3 IRRAZIONALE- and esser JC Fratte Quando c'è la "X" sotto radice se x è anche al denominatore delle forzioni →→Trascendente →y=4x+1/x →y=2-√x+1/3X -Funzione Empirica collega gli elementi NON con relazioni numeriche GONIOMETRICA se la x è argomento di sen, cos, etc →y-sen(x-3) ESPONENZIALE la x deve essere presente come esponente →y=3x-2 →LOGARITMICA la x è presente come argomento del logaritmo →y=logx+3 Campo di esistenza o dominio In una funzione razionale intera il dominio A=IR, CIOÈ ]-∞,+ ∞ [ esempio F(X)=X+2 C.E. J-00,+ 0⁰[ A=IR In una funzione razionale fratta si deve capire quando il denominatore si annulla e togliere il valore da IR esempio y= 7+8X/4-X + 6/5X C.E.= 4-X # 0⇒X#4 A= IR/{0,4} 5X+0=X+5 A= J-00,0[U]0,4[ U J4,+∞[ In una funzione irrazionale intera si parte dalla condizione per cui il numero sotto radice sia ≥ 0, isolando poi la x esempio F(x)=√x+1 posto che x+1 ≥ 0 ⇒ X ≥ -1 A = [-1 +0⁰[ In una funzione irrazionale fratta dobbiamo fare attenzione a non fare annullare il denominatore esempio F(x)=√x+1/x-4 AURORA MAZZARINO fixit. Fangioni crescenti Diremo che f(x) è crescente in A (→ il suo dominio) se accade: VX₁, X₂€ A con X₁ X₂ ⇒ F(X₁) <F(X₂) Dal punto di vista grafico vi è un andamento crescente f(xalt fixsit X₁ f(x₁)+ - X₂ X₁ posto che x+1 X > -1 X-40 ⇒X #0 A=C-1, 4[ U J4,+∞ [ X₂ Fanziani non crescenti/ Funny from decrescenti f(x)t f(x₁)+-- f(x₂+ Diremo che f(x) non è crescente in A (→ il suo dominio) se accade: f(×₁) VX,XE A con x,≤ x₂ ⇒ F(X₁₂) ≥F(X₂) K X₁ Fanzioni decrescenti Diremo che f(x) è decrescente in A (→ il suo dominio) se accade: VX₁, X₂€ A con X₁< X₂ ⇒ F(x₁) > F(x₂) Dal punto di vista grafico vi è un andamento decrescente X₂ X₂ X₁ Diremo che F(X) non è decrescente in A (→ il suo dominio) se accade: VX₁X₂€ A con X₁≤ x₂ ⇒ F(X₁)≤F(X₂) Fanziani trascendenti In una funzione Logaritmica, poniamo l'argomento come maggiore di o Esempio F(X) = In(2x-3)/X+1 - 610gx⇒ In(2x-3) -1210g C.E. 2X-30 AURORA MAZZARINO In una funzione esponenziale poniamo la base maggiore di zero f(x) = g(x) ⇒> g(x) > 0 esempio F(X) = 2-1 →→C.E. 2-1 ≥0 esempio y = 1/cOSX y = 3Tgx-1 2x≥1 → C.E. COSX = 0 → C.E. X = π/2+k+ X+1+0 X>0 2X > 3 X = -1 X>0 2x≥ 2° ⇒ X≥0 X+π/2 + 2π X > 3/2 X = -1 X>0 30,+∞ [ NO NO NO SI SI SI Y-T In una funzione goniometrica poniamo la condizione per cui esiste la funzione goniometrica. NO - NO SI TO J3/2, +00[ 3/2 [-2, -3/21 [V ]-3/2¹, ¹]

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