Le funzioni sono uno strumento matematico fondamentale che collega ogni...
Matematica6,320 visualizzazioni·Aggiornato Jun 21, 2026·7 pagineTutto sulle Funzioni in Matematica: Teoria ed Esercizi
Irene@irelop
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Che cosa sono le funzioni
Le funzioni sono relazioni speciali che collegano ogni elemento dell'insieme A (chiamato dominio) a uno e un solo elemento dell'insieme B (chiamato codominio). Puoi immaginare le funzioni come macchine che trasformano un numero in ingresso (x) in un numero in uscita (y).
Una funzione si scrive y = f(x), dove y è l'immagine di x, e x è la controimmagine di y. Il dominio è l'insieme di tutti i valori che x può assumere perché la funzione sia definita.
Le funzioni si possono scrivere in due modi: forma esplicita dove y è già isolata, oppure forma implicita dove y e x sono mescolati insieme.
Trucco: Per riconoscere una funzione, controlla che da ogni punto del dominio parta una sola freccia!
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Come trovare il dominio
Trovare il dominio significa capire per quali valori di x la funzione esiste davvero. Ci sono due regole d'oro da ricordare: quando c'è una frazione, il denominatore non può essere zero; quando c'è una radice con indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
Per esempio, nella funzione y = /, devi porre 2x - 9 ≠ 0, che ti dà x ≠ 9/2. Quindi il dominio è tutti i numeri reali tranne 9/2.
Con le radici pari, come in y = 5√, devi risolvere x² - 16 ≥ 0. Questo ti dà x ≤ -4 oppure x ≥ 4. Le radici con indice dispari invece non hanno restrizioni!
Attenzione: Le radici cubiche (indice 3) non pongono vincoli sul dominio!
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Funzioni invertibili
Una funzione invertibile deve essere sia iniettiva (a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y) che suriettiva (tutti i valori del codominio sono raggiunti). Insieme, queste proprietà rendono la funzione biettiva.
Per verificare l'iniettività, prendi due valori x₁ ≠ x₂ e controlla che diano y₁ ≠ y₂. Se trovi che y₁ = y₂ solo quando x₁ = x₂, allora la funzione è iniettiva.
Per invertire una funzione, scambia x e y nell'equazione originale, poi risolvi per y. La funzione inversa si indica con f⁻¹(x) e "annulla" l'effetto della funzione originale.
Nota bene: Non tutte le funzioni sono invertibili - molte non superano il test di iniettività!
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Crescenza e decrescenza
Le funzioni crescenti hanno la proprietà che quando x aumenta, anche y aumenta. Se x₁ < x₂ implica sempre y₁ < y₂, la funzione è strettamente crescente. Se invece y₁ ≤ y₂, è semplicemente crescente.
Al contrario, le funzioni decrescenti vedono y diminuire quando x aumenta. Una funzione è strettamente decrescente se x₁ < x₂ implica y₁ > y₂, mentre è decrescente se y₁ ≥ y₂.
È importante ricordare che puoi analizzare crescenza e decrescenza anche su intervalli specifici del dominio. Una stessa funzione può crescere in alcune zone e decrescere in altre!
Trucco visivo: Su un grafico, le funzioni crescenti "salgono" da sinistra verso destra, quelle decrescenti "scendono"!
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Funzioni pari e dispari
Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y e soddisfano la condizione f = f(x). Significa che se rifletti il grafico rispetto all'asse delle ordinate, ottieni la stessa curva.
Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all'origine e soddisfano f = -f(x). Se ruoti il grafico di 180° attorno all'origine, ottieni la stessa funzione.
Per verificare se una funzione è pari o dispari, calcola f sostituendo -x al posto di x. Poi confronta con f(x): se sono uguali è pari, se f = -f(x) è dispari, altrimenti non è né pari né dispari.
Esempio pratico: h(x) = x³ - x è dispari perché h = -x³ + x = -h(x)!
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Le funzioni sono uno strumento matematico fondamentale che collega ogni elemento di un insieme a uno e un solo elemento di un altro insieme. Capirai come riconoscere una funzione, trovare il suo dominio e analizzare le sue proprietà principali.
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Che cosa sono le funzioni
Le funzioni sono relazioni speciali che collegano ogni elemento dell'insieme A (chiamato dominio) a uno e un solo elemento dell'insieme B (chiamato codominio). Puoi immaginare le funzioni come macchine che trasformano un numero in ingresso (x) in un numero in uscita (y).
Una funzione si scrive y = f(x), dove y è l'immagine di x, e x è la controimmagine di y. Il dominio è l'insieme di tutti i valori che x può assumere perché la funzione sia definita.
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Come trovare il dominio
Trovare il dominio significa capire per quali valori di x la funzione esiste davvero. Ci sono due regole d'oro da ricordare: quando c'è una frazione, il denominatore non può essere zero; quando c'è una radice con indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
Per esempio, nella funzione y = /, devi porre 2x - 9 ≠ 0, che ti dà x ≠ 9/2. Quindi il dominio è tutti i numeri reali tranne 9/2.
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Funzioni invertibili
Una funzione invertibile deve essere sia iniettiva (a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y) che suriettiva (tutti i valori del codominio sono raggiunti). Insieme, queste proprietà rendono la funzione biettiva.
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Crescenza e decrescenza
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Funzioni pari e dispari
Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y e soddisfano la condizione f = f(x). Significa che se rifletti il grafico rispetto all'asse delle ordinate, ottieni la stessa curva.
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