Formule Goniometriche e Dimostrazioni

Formule di Addizione e Sottrazione

Immagina di dover calcolare il seno o coseno di angoli come 75° o 105° - sembra impossibile? Non con le formule di addizione! Queste formule ti permettono di spezzare angoli complicati in somme o differenze di angoli più semplici.

Le formule principali sono:

• cos$α - β$ = cos α cos β + sin α sin β
• cos$α + β$ = cos α cos β - sin α sin β
• sin$α - β$ = sin α cos β - cos α sin β
• sin$α + β$ = sin α cos β + cos α sin β

Per la tangente, le formule diventano:

• tan$α - β$ = (tan α - tan β)/(1 + tan α tan β)
• tan$α + β$ = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β)

Tip pratico: Ricorda che nel coseno i segni si "invertono", mentre nel seno rimangono "coerenti" con l'operazione!

Formule di Duplicazione e Bisezione

Cosa succede quando α = β nelle formule di addizione? Ottieni le formule di duplicazione! Queste sono super utili quando hai a che fare con angoli doppi.

Duplicazione:

• sin 2α = 2 sin α cos α
• cos 2α = cos²α - sin²α (che può anche essere scritta come 2cos²α - 1 o 1 - 2sin²α)
• tan 2α = (2 tan α)/$1 - tan²α$

Bisezione (l'inverso della duplicazione):

• cos²$α/2$ = $1 + cos α$/2
• sin²$α/2$ = $1 - cos α$/2
• tan$α/2$ = $1 - cos α$/sin α

Trucco mnemonico: Per la bisezione del coseno usa "1 + cos", per il seno "1 - cos"!

Formule Parametriche e Angoli tra Rette

Le formule parametriche ti permettono di esprimere seno e coseno usando la tangente dell'angolo metà. Ponendo t = tan$α/2$:

• sin α = 2t/$1 + t²$
• cos α = $1 - t²$/$1 + t²$

Quando hai due rette con coefficienti angolari m e m', l'angolo tra le rette si calcola con: tan γ = |m - m'|/$1 + mm'$

L'angolo aggiunto ti aiuta a trasformare espressioni del tipo a sin x + b cos x in una singola funzione trigonometrica: a sin x + b cos x = √$a² + b²$ sin$x + α$

dove cos α = a/√$a² + b²$ e sin α = b/√$a² + b²$.

Applicazione pratica: L'angolo aggiunto è perfetto per trovare massimi e minimi di funzioni trigonometriche composite!

Formule di Prostaferesi e Werner

Le formule di Prostaferesi trasformano somme in prodotti (perfette per semplificare!):

• sin p + sin q = 2 sin$(p+q)/2$ cos$(p-q)/2$
• sin p - sin q = 2 cos$(p+q)/2$ sin$(p-q)/2$
• cos p + cos q = 2 cos$(p+q)/2$ cos$(p-q)/2$
• cos p - cos q = -2 sin$(p+q)/2$ sin$(p-q)/2$

Le formule di Werner fanno l'opposto - trasformano prodotti in somme:

• sin α cos β = ½[sin$α+β$ + sin$α-β$]
• cos α cos β = ½[cos$α+β$ + cos$α-β$]
• sin α sin β = ½[cos$α-β$ - cos$α+β$]

Quando usarle: Prostaferesi per integrali di somme, Werner per integrali di prodotti!