greta chiarelli

30/11/2025

Matematica

Formule goniometriche

Matematica

Funzioni e Identità Trigonometriche

Identità di Addizione degli Angoli

1862

•

30 nov 2025

•

4 pagine

Formule Goniometriche e Dimostrazioni

greta chiarelli

@greta.chiarelli

Le formule trigonometriche sono strumenti potentissimi per risolvere problemi complessi... Mostra di più

1 / 4

# dimosicacion formula

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Ο

C

D

A (cosd; sina)

B (cos(d-B); sin/d-B))

C (cosß; sinß)

D (1,0)

AC²=BD2

(cosd-c

Formule di Addizione e Sottrazione

Immagina di dover calcolare il seno o coseno di angoli come 75° o 105° - sembra impossibile? Non con le formule di addizione! Queste formule ti permettono di spezzare angoli complicati in somme o differenze di angoli più semplici.

Le formule principali sono:

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Per la tangente, le formule diventano:

tan(α - β) = $tan α - tan β$ / $1 + tan α tan β$
tan(α + β) = $tan α + tan β$ / $1 - tan α tan β$

Tip pratico: Ricorda che nel coseno i segni si "invertono", mentre nel seno rimangono "coerenti" con l'operazione!

Formule di Duplicazione e Bisezione

Cosa succede quando α = β nelle formule di addizione? Ottieni le formule di duplicazione! Queste sono super utili quando hai a che fare con angoli doppi.

Duplicazione:

sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α - sin²α $che può anche essere scritta come 2cos²α - 1 o 1 - 2sin²α$
tan 2α = (2 tan α)/ $1 - tan²α$

Bisezione (l'inverso della duplicazione):

cos²(α/2) = $1 + cos α$ /2
sin²(α/2) = $1 - cos α$ /2
tan(α/2) = $1 - cos α$ /sin α

Trucco mnemonico: Per la bisezione del coseno usa "1 + cos", per il seno "1 - cos"!

Formule Parametriche e Angoli tra Rette

Le formule parametriche ti permettono di esprimere seno e coseno usando la tangente dell'angolo metà. Ponendo t = tan(α/2):

sin α = 2t/ $1 + t²$
cos α = $1 - t²$ / $1 + t²$

Quando hai due rette con coefficienti angolari m e m', l'angolo tra le rette si calcola con: tan γ = |m - m'|/ $1 + mm'$

L'angolo aggiunto ti aiuta a trasformare espressioni del tipo a sin x + b cos x in una singola funzione trigonometrica: a sin x + b cos x = √ $a² + b²$ sin $x + α$

dove cos α = a/√ $a² + b²$ e sin α = b/√ $a² + b²$ .

Applicazione pratica: L'angolo aggiunto è perfetto per trovare massimi e minimi di funzioni trigonometriche composite!

Formule di Prostaferesi e Werner

Le formule di Prostaferesi trasformano somme in prodotti (perfette per semplificare!):

sin p + sin q = 2 sin $(p+q)/2$ cos $(p-q)/2$
sin p - sin q = 2 cos $(p+q)/2$ sin $(p-q)/2$
cos p + cos q = 2 cos $(p+q)/2$ cos $(p-q)/2$
cos p - cos q = -2 sin $(p+q)/2$ sin $(p-q)/2$

Le formule di Werner fanno l'opposto - trasformano prodotti in somme:

sin α cos β = ½ $sin(α+β) + sin(α-β)$
cos α cos β = ½ $cos(α+β) + cos(α-β)$
sin α sin β = ½ $cos(α-β) - cos(α+β)$

Quando usarle: Prostaferesi per integrali di somme, Werner per integrali di prodotti!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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greta chiarelli

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Le formule trigonometriche sono strumenti potentissimi per risolvere problemi complessi che coinvolgono angoli e funzioni trigonometriche. Queste formule ti permettono di semplificare espressioni, risolvere equazioni e trasformare funzioni trigonometriche in modi che ti faranno sembrare un vero mago della matematica!

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Formule di Addizione e Sottrazione

Le formule principali sono:

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Per la tangente, le formule diventano:

tan(α - β) = $tan α - tan β$ / $1 + tan α tan β$
tan(α + β) = $tan α + tan β$ / $1 - tan α tan β$

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Cosa succede quando α = β nelle formule di addizione? Ottieni le formule di duplicazione! Queste sono super utili quando hai a che fare con angoli doppi.

Duplicazione:

sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α - sin²α $che può anche essere scritta come 2cos²α - 1 o 1 - 2sin²α$
tan 2α = (2 tan α)/ $1 - tan²α$

Bisezione (l'inverso della duplicazione):

cos²(α/2) = $1 + cos α$ /2
sin²(α/2) = $1 - cos α$ /2
tan(α/2) = $1 - cos α$ /sin α

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Formule Parametriche e Angoli tra Rette

Le formule parametriche ti permettono di esprimere seno e coseno usando la tangente dell'angolo metà. Ponendo t = tan(α/2):

sin α = 2t/ $1 + t²$
cos α = $1 - t²$ / $1 + t²$

Quando hai due rette con coefficienti angolari m e m', l'angolo tra le rette si calcola con: tan γ = |m - m'|/ $1 + mm'$

L'angolo aggiunto ti aiuta a trasformare espressioni del tipo a sin x + b cos x in una singola funzione trigonometrica: a sin x + b cos x = √ $a² + b²$ sin $x + α$

dove cos α = a/√ $a² + b²$ e sin α = b/√ $a² + b²$ .

Applicazione pratica: L'angolo aggiunto è perfetto per trovare massimi e minimi di funzioni trigonometriche composite!

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Formule di Prostaferesi e Werner

Le formule di Prostaferesi trasformano somme in prodotti (perfette per semplificare!):

sin p + sin q = 2 sin $(p+q)/2$ cos $(p-q)/2$
sin p - sin q = 2 cos $(p+q)/2$ sin $(p-q)/2$
cos p + cos q = 2 cos $(p+q)/2$ cos $(p-q)/2$
cos p - cos q = -2 sin $(p+q)/2$ sin $(p-q)/2$

Le formule di Werner fanno l'opposto - trasformano prodotti in somme:

sin α cos β = ½ $sin(α+β) + sin(α-β)$
cos α cos β = ½ $cos(α+β) + cos(α-β)$
sin α sin β = ½ $cos(α-β) - cos(α+β)$

Quando usarle: Prostaferesi per integrali di somme, Werner per integrali di prodotti!

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

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