Copertina del Formulario

Questo è il tuo formulario di matematica completo! Qui dentro troverai tutto quello che ti serve per risolvere problemi di algebra, geometria, geometria analitica e funzioni.

È organizzato in sezioni chiare e facili da consultare. Ogni argomento ha le formule principali, esempi pratici e tutti i passaggi fondamentali.

💡 Consiglio: Tieni sempre questo formulario a portata di mano durante lo studio - ti farà risparmiare un sacco di tempo!

Algebra: Insiemi Numerici e Operazioni

Gli insiemi numerici sono come scatole che contengono diversi tipi di numeri. Dai numeri naturali (N) si passa agli interi (Z), poi ai razionali (Q) e infine ai reali (R).

Le potenze seguono regole precise che devi memorizzare: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ e $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Ricorda che $a^0 = 1$ sempre!

I prodotti notevoli sono formule che ti fanno risparmiare calcoli lunghi. Il più famoso è $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, ma anche $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Per le scomposizioni, cerca sempre prima il raccoglimento totale $ab + ac = a(b+c)$. Se non funziona, prova con la differenza di quadrati o i trinomi speciali.

⚡ Trucco: Nei trinomi $x^2 + sx + p$, cerca due numeri che moltiplicati danno $p$ e sommati danno $s$!

Equazioni, Disequazioni e Radicali

Le equazioni di primo grado $ax + b = 0$ si risolvono con $x = -\frac{b}{a}$. Facile, no? Per le disequazioni, attento al verso quando dividi per un numero negativo!

I sistemi lineari possono essere determinati, impossibili o indeterminati. Guarda i rapporti tra i coefficienti per capire subito di che tipo sono.

Per i radicali, ricorda che $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ e che puoi trasportare fattori dentro e fuori il segno di radice.

Le razionalizzazioni servono per eliminare le radici dal denominatore. Moltiplica per la quantità coniugata: $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$.

📝 Attenzione: Nelle equazioni con radicali, controlla sempre le soluzioni - alcune potrebbero essere estranee!

Equazioni di Secondo Grado

Le equazioni di secondo grado complete $ax^2 + bx + c = 0$ si risolvono con la formula del discriminante: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ ti dice tutto: se è positivo hai due soluzioni, se è zero una sola, se è negativo nessuna soluzione reale.

Per quelle incomplete, è più semplice: le spurie $ax^2 + bx = 0$ danno $x = 0$ o $x = -\frac{b}{a}$, le pure $ax^2 + c = 0$ danno $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Le relazioni tra coefficienti e radici sono utilissime: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ e $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

🎯 Strategia: Se devi scomporre un trinomio, usa prima somma e prodotto - è spesso più veloce della formula!

Disequazioni di Grado Superiore

Le disequazioni di secondo grado si risolvono studiando il segno della parabola. Se $a > 0$, è positiva esternamente alle radici, negativa internamente.

Per le disequazioni di grado superiore, usa il metodo del studio del segno: scomponi, trovi gli zeri, e costruisci la tabellina dei segni.

Nelle disequazioni fratte, ricorda che il denominatore non può mai essere zero! Studia separatamente numeratore e denominatore.

I sistemi di disequazioni richiedono l'intersezione delle soluzioni, mentre le unioni richiedono l'unione (ovvio, no?).

⚠️ Importante: Nelle disequazioni con moduli o radicali, fai sempre attenzione alle condizioni di esistenza!

Geometria Piana e Solida

I punti notevoli del triangolo sono quattro: ortocentro (altezze), incentro (bisettrici), baricentro (mediane) e circocentro (assi).

Per i poligoni di n lati, la somma degli angoli interni è $(n-2) \cdot 180°$. Un poligono regolare ha ogni angolo di $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$.

Le aree delle figure principali: triangolo $\frac{b \cdot h}{2}$, parallelogrammo $b \cdot h$, cerchio $\pi r^2$.

Nei triangoli rettangoli, il teorema di Pitagora regna sovrano: $a^2 + b^2 = c^2$. I teoremi di Euclide completano il quadro per le proiezioni.

I volumi dei solidi: cubo $l^3$, cilindro $\pi r^2 h$, cono $\frac{\pi r^2 h}{3}$, sfera $\frac{4\pi r^3}{3}$.

🔍 Curiosità: Il teorema di Eulero sui poliedri dice che Facce + Vertici - Spigoli = 2!

Geometria Analitica: Rette e Circonferenze

La distanza tra due punti è $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$, mentre il punto medio è $M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.

L'equazione della retta può essere implicita $ax + by + c = 0$ o esplicita $y = mx + q$. Il coefficiente angolare $m$ ti dice quanto è inclinata.

Due rette sono parallele se hanno stesso $m$, perpendicolari se $m_1 \cdot m_2 = -1$.

La circonferenza ha equazione $(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r^2$ con centro $C(\alpha, \beta)$ e raggio $r$.

La distanza punto-retta è $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ - utilissima per sapere se una retta è tangente a una circonferenza!

💪 Pro tip: Per trovare rapidamente il centro di una circonferenza dalla forma $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, usa $C(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$!

Coniche: Parabola, Ellisse, Iperbole

Le coniche sono curve che si ottengono tagliando un cono con un piano. Ognuna ha caratteristiche uniche e equazioni specifiche.

La parabola con asse verticale ha equazione $y = ax^2 + bx + c$, quella con asse orizzontale $x = ay^2 + by + c$.

L'ellisse centrata nell'origine ha equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Se $a > b$, i fuochi sono sull'asse x.

L'iperbole ha equazione $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ e presenta due rami separati con asintoti $y = \pm\frac{b}{a}x$.

🎨 Visual: Ricorda le forme: parabola (U), ellisse (ovale schiacciato), iperbole (due curve opposte)!

Funzioni: Definizioni e Classificazioni

Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio. Si scrive $f: A \rightarrow B$.

Le funzioni si classificano in algebriche (razionali e irrazionali) e trascendenti (esponenziali, logaritmiche, trigonometriche).

Per calcolare il dominio, escludi i valori che rendono: denominatori nulli, argomenti di radici pari negativi, argomenti di logaritmi non positivi.

Una funzione è crescente se $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$, decrescente nel caso opposto.

Le funzioni pari hanno $f(-x) = f(x)$ (simmetriche rispetto all'asse y), quelle dispari hanno $f(-x) = -f(x)$ (simmetriche rispetto all'origine).

🧠 Metodo: Per controllare se una funzione è pari o dispari, sostituisci sempre $-x$ al posto di $x$ e guarda cosa succede!

Esponenziali e Logaritmi

Le funzioni esponenziali $y = a^x$ e logaritmiche $y = \log_a x$ sono inverse tra loro. Se $a > 1$ sono crescenti, se $0 < a < 1$ decrescenti.

Le proprietà fondamentali: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$, $\log_a m^n = n \log_a m$.

Per le equazioni esponenziali $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, riduci alla stessa base: $f(x) = g(x)$.

Per le equazioni logaritmiche $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, serve $f(x) = g(x)$ con $f(x) > 0$ e $g(x) > 0$.

Nelle disequazioni, attento al verso: se $0 < a < 1$, il logaritmo "gira" la disequazione!

🔑 Chiave: Ricorda sempre che $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ - puoi calcolare qualsiasi logaritmo con la calcolatrice!