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MatematicaMatematica1835 visualizzazioni·Aggiornato 4 ago 2026·4 pagine

Formulario Coniche: Circonferenza, Parabola, Ellisse e Iperbole

A
Alessandra@alesini

Il formulario delle coniche ti servirà per padroneggiare circonferenza, parabola,...

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Formulario coniche – pagina 1

Circonferenza - Le basi essenziali

La circonferenza ha l'equazione generale x2+y2+ax+by+c=0x^2 + y^2 + ax + by + c = 0. Da qui puoi ricavare tutto quello che ti serve: il centro è C(−a2,−b2)C(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}) e il raggio è r=(a2)2+(b2)2−cr = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - c}.

Per trovare le rette tangenti, distingui due casi. Se il punto è esterno alla circonferenza, scrivi la retta come y−yp=m(x−xp)y - y_p = m(x - x_p) e usa la condizione che la distanza dal centro deve essere uguale al raggio per trovare mm. Se il punto appartiene alla circonferenza, calcola il coefficiente angolare del raggio e prendi quello perpendicolare.

Quando devi determinare l'equazione della circonferenza, hai diverse strade. Con centro e raggio usi direttamente (x−xc)2+(y−yc)2=r2(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2. Con tre punti metti a sistema le tre equazioni. Se hai il diametro, il centro è il punto medio e il raggio è metà della lunghezza.

Trucco importante: Nei fasci di circonferenze, quando k=0k = 0 ottieni una retta (l'asse radicale), quando k=−1k = -1 trovi la base del fascio.

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Formulario coniche – pagina 2

Parabola - Vertice, fuoco e tangenti

La parabola con asse parallelo all'asse y ha vertice in (−b2a,−Δ4a)(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}) e asse di simmetria x=−b2ax = \frac{-b}{2a}. Il fuoco è F(−b2a,4a−Δ4a)F(\frac{-b}{2a}, \frac{4a-\Delta}{4a}) e la direttrice ha equazione y=−4a−Δ4ay = \frac{-4a-\Delta}{4a}.

Per determinare l'equazione, puoi usare vertice e punto generico, oppure fuoco e direttrice applicando la definizione PF=dist(P;direttrice)PF = \text{dist}(P; \text{direttrice}). Con tre punti non allineati metti semplicemente a sistema.

Le rette tangenti si trovano scrivendo y−yp=m(x−xp)y - y_p = m(x - x_p) e sostituendo nella parabola. Poi imponi Δ=0\Delta = 0 per trovare il coefficiente angolare mm delle tangenti.

Attenzione ai fasci: Se a≠a′a \neq a', con due punti base ottieni una retta per k=−aa′k = -\frac{a}{a'}. Se invece a=a′a = a', le parabole hanno lo stesso asse e non ci sono parabole degeneri.

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Formulario coniche – pagina 3

Ellisse - Forma canonica e proprietà

L'ellisse in forma canonica è x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. Se a>ba > b, l'asse maggiore è 2a2a e quello minore è 2b2b, con c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2. L'eccentricità è e=cae = \frac{c}{a} e l'area vale πab\pi ab.

Per le rette tangenti, se il punto è esterno usi y−yp=m(x−xp)y - y_p = m(x - x_p) e calcoli le intersezioni. Se il punto appartiene all'ellisse, applichi la formula diretta: x⋅xpa2+y⋅ypb2=1\frac{x \cdot x_p}{a^2} + \frac{y \cdot y_p}{b^2} = 1.

Quando l'ellisse è traslata, la forma diventa (x−xc)2a2+(y−yc)2b2=1\frac{(x - x_c)^2}{a^2} + \frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1. Nell'equazione generale Ax2+By2+Cx+Dy+E=0Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0, devi avere AA e BB concordi e positivi.

Condizione di realtà: Per un'ellisse reale serve C24A+D24B−E≥0\frac{C^2}{4A} + \frac{D^2}{4B} - E \geq 0 con A,B>0A, B > 0.

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Formulario coniche – pagina 4

Iperbole - Fuochi e asintoti

L'iperbole cambia forma a seconda di dove sono i fuochi. Con fuochi sull'asse x: x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, vertici in (±a,0)(\pm a, 0) e asintoti y=±baxy = \pm \frac{b}{a}x. Con fuochi sull'asse y si invertono i ruoli e gli asintoti diventano y=±abxy = \pm \frac{a}{b}x.

La relazione fondamentale è sempre c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 e l'eccentricità è e=cae = \frac{c}{a} o e=cbe = \frac{c}{b} a seconda dell'orientamento. Quando e=1e = 1 i fuochi coincidono coi vertici e ottieni due semirette.

L'iperbole equilatera ha a=ba = b, quindi e=2e = \sqrt{2} e asintoti y=±xy = \pm x. Riferita ai propri asintoti diventa xy=kxy = k. La funzione omografica y=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d} rappresenta un'iperbole equilatera traslata con asintoti x=−dcx = -\frac{d}{c} e y=acy = \frac{a}{c}.

Ricorda: Nell'iperbole equilatera riferita agli asintoti, k=±a22k = \pm \frac{a^2}{2} e il centro è nel punto (−dc,ac)(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}).

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klichutente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

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Formulario Coniche: Circonferenza, Parabola, Ellisse e Iperbole

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Alessandra@alesini

Il formulario delle coniche ti servirà per padroneggiare circonferenza, parabola, ellisse e iperbole - curve che incontri costantemente in geometria analitica. Questo schema ti aiuterà a riconoscere immediatamente quale formula usare in ogni situazione.

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Circonferenza - Le basi essenziali

La circonferenza ha l'equazione generale x2+y2+ax+by+c=0x^2 + y^2 + ax + by + c = 0. Da qui puoi ricavare tutto quello che ti serve: il centro è C(−a2,−b2)C(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}) e il raggio è r=(a2)2+(b2)2−cr = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - c}.

Per trovare le rette tangenti, distingui due casi. Se il punto è esterno alla circonferenza, scrivi la retta come y−yp=m(x−xp)y - y_p = m(x - x_p) e usa la condizione che la distanza dal centro deve essere uguale al raggio per trovare mm. Se il punto appartiene alla circonferenza, calcola il coefficiente angolare del raggio e prendi quello perpendicolare.

Quando devi determinare l'equazione della circonferenza, hai diverse strade. Con centro e raggio usi direttamente (x−xc)2+(y−yc)2=r2(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2. Con tre punti metti a sistema le tre equazioni. Se hai il diametro, il centro è il punto medio e il raggio è metà della lunghezza.

Trucco importante: Nei fasci di circonferenze, quando k=0k = 0 ottieni una retta (l'asse radicale), quando k=−1k = -1 trovi la base del fascio.

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Parabola - Vertice, fuoco e tangenti

La parabola con asse parallelo all'asse y ha vertice in (−b2a,−Δ4a)(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}) e asse di simmetria x=−b2ax = \frac{-b}{2a}. Il fuoco è F(−b2a,4a−Δ4a)F(\frac{-b}{2a}, \frac{4a-\Delta}{4a}) e la direttrice ha equazione y=−4a−Δ4ay = \frac{-4a-\Delta}{4a}.

Per determinare l'equazione, puoi usare vertice e punto generico, oppure fuoco e direttrice applicando la definizione PF=dist(P;direttrice)PF = \text{dist}(P; \text{direttrice}). Con tre punti non allineati metti semplicemente a sistema.

Le rette tangenti si trovano scrivendo y−yp=m(x−xp)y - y_p = m(x - x_p) e sostituendo nella parabola. Poi imponi Δ=0\Delta = 0 per trovare il coefficiente angolare mm delle tangenti.

Attenzione ai fasci: Se a≠a′a \neq a', con due punti base ottieni una retta per k=−aa′k = -\frac{a}{a'}. Se invece a=a′a = a', le parabole hanno lo stesso asse e non ci sono parabole degeneri.

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Ellisse - Forma canonica e proprietà

L'ellisse in forma canonica è x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. Se a>ba > b, l'asse maggiore è 2a2a e quello minore è 2b2b, con c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2. L'eccentricità è e=cae = \frac{c}{a} e l'area vale πab\pi ab.

Per le rette tangenti, se il punto è esterno usi y−yp=m(x−xp)y - y_p = m(x - x_p) e calcoli le intersezioni. Se il punto appartiene all'ellisse, applichi la formula diretta: x⋅xpa2+y⋅ypb2=1\frac{x \cdot x_p}{a^2} + \frac{y \cdot y_p}{b^2} = 1.

Quando l'ellisse è traslata, la forma diventa (x−xc)2a2+(y−yc)2b2=1\frac{(x - x_c)^2}{a^2} + \frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1. Nell'equazione generale Ax2+By2+Cx+Dy+E=0Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0, devi avere AA e BB concordi e positivi.

Condizione di realtà: Per un'ellisse reale serve C24A+D24B−E≥0\frac{C^2}{4A} + \frac{D^2}{4B} - E \geq 0 con A,B>0A, B > 0.

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Iperbole - Fuochi e asintoti

L'iperbole cambia forma a seconda di dove sono i fuochi. Con fuochi sull'asse x: x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, vertici in (±a,0)(\pm a, 0) e asintoti y=±baxy = \pm \frac{b}{a}x. Con fuochi sull'asse y si invertono i ruoli e gli asintoti diventano y=±abxy = \pm \frac{a}{b}x.

La relazione fondamentale è sempre c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 e l'eccentricità è e=cae = \frac{c}{a} o e=cbe = \frac{c}{b} a seconda dell'orientamento. Quando e=1e = 1 i fuochi coincidono coi vertici e ottieni due semirette.

L'iperbole equilatera ha a=ba = b, quindi e=2e = \sqrt{2} e asintoti y=±xy = \pm x. Riferita ai propri asintoti diventa xy=kxy = k. La funzione omografica y=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d} rappresenta un'iperbole equilatera traslata con asintoti x=−dcx = -\frac{d}{c} e y=acy = \frac{a}{c}.

Ricorda: Nell'iperbole equilatera riferita agli asintoti, k=±a22k = \pm \frac{a^2}{2} e il centro è nel punto (−dc,ac)(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}).

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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