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Matematica2007Aggiornato 5 ott 20264 pagine

Formulario Coniche: Circonferenza, Parabola, Ellisse e Iperbole

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Alessandra@alesini

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Il formulario delle coniche ti servirà per padroneggiare circonferenza, parabola, ellisse e iperbole - curve che incontri costantemente in geometria analitica. Questo schema ti aiuterà a riconoscere immediatamente quale formula usare in ogni situazione.

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Circonferenza - Le basi essenziali

La circonferenza ha l'equazione generale $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ . Da qui puoi ricavare tutto quello che ti serve: il centro è $C(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$ e il raggio è $r = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - c}$ .

Per trovare le rette tangenti, distingui due casi. Se il punto è esterno alla circonferenza, scrivi la retta come $y - y_p = m(x - x_p)$ e usa la condizione che la distanza dal centro deve essere uguale al raggio per trovare $m$ . Se il punto appartiene alla circonferenza, calcola il coefficiente angolare del raggio e prendi quello perpendicolare.

Quando devi determinare l'equazione della circonferenza, hai diverse strade. Con centro e raggio usi direttamente $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2$ . Con tre punti metti a sistema le tre equazioni. Se hai il diametro, il centro è il punto medio e il raggio è metà della lunghezza.

Trucco importante: Nei fasci di circonferenze, quando $k = 0$ ottieni una retta (l'asse radicale), quando $k = -1$ trovi la base del fascio.

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Parabola - Vertice, fuoco e tangenti

La parabola con asse parallelo all'asse y ha vertice in $(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})$ e asse di simmetria $x = \frac{-b}{2a}$ . Il fuoco è $F(\frac{-b}{2a}, \frac{4a-\Delta}{4a})$ e la direttrice ha equazione $y = \frac{-4a-\Delta}{4a}$ .

Per determinare l'equazione, puoi usare vertice e punto generico, oppure fuoco e direttrice applicando la definizione $PF = \text{dist}(P; \text{direttrice})$ . Con tre punti non allineati metti semplicemente a sistema.

Le rette tangenti si trovano scrivendo $y - y_p = m(x - x_p)$ e sostituendo nella parabola. Poi imponi $\Delta = 0$ per trovare il coefficiente angolare $m$ delle tangenti.

Attenzione ai fasci: Se $a \neq a'$ , con due punti base ottieni una retta per $k = -\frac{a}{a'}$ . Se invece $a = a'$ , le parabole hanno lo stesso asse e non ci sono parabole degeneri.

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Ellisse - Forma canonica e proprietà

L'ellisse in forma canonica è $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ . Se $a > b$ , l'asse maggiore è $2a$ e quello minore è $2b$ , con $c^2 = a^2 - b^2$ . L'eccentricità è $e = \frac{c}{a}$ e l'area vale $\pi ab$ .

Per le rette tangenti, se il punto è esterno usi $y - y_p = m(x - x_p)$ e calcoli le intersezioni. Se il punto appartiene all'ellisse, applichi la formula diretta: $\frac{x \cdot x_p}{a^2} + \frac{y \cdot y_p}{b^2} = 1$ .

Quando l'ellisse è traslata, la forma diventa $\frac{(x - x_c)^2}{a^2} + \frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1$ . Nell'equazione generale $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$ , devi avere $A$ e $B$ concordi e positivi.

Condizione di realtà: Per un'ellisse reale serve $\frac{C^2}{4A} + \frac{D^2}{4B} - E \geq 0$ con $A, B > 0$ .

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Iperbole - Fuochi e asintoti

L'iperbole cambia forma a seconda di dove sono i fuochi. Con fuochi sull'asse x: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , vertici in $(\pm a, 0)$ e asintoti $y = \pm \frac{b}{a}x$ . Con fuochi sull'asse y si invertono i ruoli e gli asintoti diventano $y = \pm \frac{a}{b}x$ .

La relazione fondamentale è sempre $c^2 = a^2 + b^2$ e l'eccentricità è $e = \frac{c}{a}$ o $e = \frac{c}{b}$ a seconda dell'orientamento. Quando $e = 1$ i fuochi coincidono coi vertici e ottieni due semirette.

L'iperbole equilatera ha $a = b$ , quindi $e = \sqrt{2}$ e asintoti $y = \pm x$ . Riferita ai propri asintoti diventa $xy = k$ . La funzione omografica $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ rappresenta un'iperbole equilatera traslata con asintoti $x = -\frac{d}{c}$ e $y = \frac{a}{c}$ .

Ricorda: Nell'iperbole equilatera riferita agli asintoti, $k = \pm \frac{a^2}{2}$ e il centro è nel punto $(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$ .

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