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Funzioni Logaritmiche ed Esponenziali

Logaritmi

Matematica1611Aggiornato 30 set 20263 pagine

Equazioni Logaritmiche: Guida Completa

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Le equazioni logaritmiche sono equazioni dove l'incognita compare dentro l'argomento di almeno un logaritmo. Per risolverle dovrai sempre controllare le condizioni di esistenza e poi applicare le proprietà dei logaritmi.

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Risoluzione di Equazioni Logaritmiche

Quando hai un'equazione del tipo log_a A $x$ = log_a B $x$ , puoi togliere i logaritmi e scrivere semplicemente A $x$ = B $x$ . Ma attenzione: gli argomenti dei logaritmi devono sempre essere positivi!

Il primo passo è sempre stabilire le condizioni di esistenza (C.E.). Devi imporre che tutti gli argomenti dei logaritmi siano maggiori di zero. Per esempio, se hai log x e log $x+3$ , devi scrivere x > 0 e x+3 > 0.

Dopo aver trovato le C.E., puoi risolvere l'equazione normalmente. Nell'esempio log x + log $x+3$ = log 2 + log $2x+3$ , usando le proprietà dei logaritmi ottieni log $x(x+3)$ = log $2(2x+3)$ , quindi x $x+3$ = 2 $2x+3$ .

💡 Ricorda: Le soluzioni che non rispettano le condizioni di esistenza vanno scartate!

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Tecniche di Risoluzione

Per equazioni come log $x-2$ - log $2x-5$ = 0 hai due metodi efficaci. Il primo consiste nel portare un logaritmo dall'altra parte: log $x-2$ = log $2x-5$ , quindi x-2 = 2x-5.

Il secondo metodo usa il fatto che 0 = log 1. Quindi log $x-2$ - log $2x-5$ = log 1, che diventa log $(x-2)/(2x-5)$ = log 1, e infine $x-2$ / $2x-5$ = 1.

Con equazioni che contengono coefficienti davanti ai logaritmi, come 2log₂x, ricorda che puoi scriverlo come log₂x². Questo ti permette di usare le proprietà dei logaritmi per semplificare l'equazione.

💡 Trucco: Se le condizioni di esistenza sono "ovvie" (tipo x > 0), puoi anche non fare la tabella completa!

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Casi più Complessi con Sistemi di Disequazioni

Quando hai equazioni come log₃ $x²+x$ - log₃ $x²-x$ = 1, le condizioni di esistenza diventano più articolate. Devi risolvere sistemi di disequazioni per trovare i valori ammissibili di x.

Per x²+x > 0 ottieni x $x+1$ > 0, che significa x < -1 o x > 0. Per x²-x > 0 hai x $x-1$ > 0, quindi x < 0 o x > 1. Il sistema ti dà l'intersezione di queste condizioni.

Una volta stabilite le C.E., risolvi normalmente: log₃ $(x²+x)/(x²-x)$ = log₃3, quindi $x²+x$ / $x²-x$ = 3. Semplificando ottieni una bella equazione di primo grado!

💡 Strategia: Nei casi complessi, fai sempre lo schema grafico delle disequazioni per visualizzare meglio le intersezioni!

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