Equazioni Goniometriche: Esempi e Spiegazioni Semplici

27/11/2025

Matematica

Equazioni Goniometriche

Materie

Matematica

1602

•

27 nov 2025

•

5 pagine

Equazioni Goniometriche: Esempi e Spiegazioni Semplici

@jok

Le equazioni goniometriche sono fondamentali in trigonometria e ti permettono... Mostra di più

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$# EQUAZIONI GONIOMETRICHE - EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI - $Sen x = m $ $x=a+2K \bigvee x = r-a+2kx$ - CASI PARTICOLARI: - $Sem$

Equazioni Goniometriche Elementari

Iniziamo dalle equazioni elementari, quelle dove hai direttamente sen x = m, cos x = m o tan x = m. Questi sono i mattoncini base che dovrai padroneggiare perfettamente!

Per sen x = m hai sempre due soluzioni supplementari: x = a + 2kπ oppure x = π - a + 2kπ. Ricorda i casi speciali: sen x = 0 dà x = kπ, sen x = 1 dà x = π/2 + 2kπ, e sen x = -1 dà x = -π/2 + 2kπ.

Per cos x = m le soluzioni sono x = ±a + 2kπ. I casi particolari sono: cos x = 0 dà x = π/2 + kπ, cos x = 1 dà x = 2kπ, e cos x = -1 dà x = π + 2kπ.

La tan x = m è la più semplice: x = a + kπ. Una sola famiglia di soluzioni perché la tangente ha periodo π!

Trucco importante: Il seno ha sempre due famiglie di soluzioni supplementari, il coseno due simmetriche, la tangente una sola!

$# EQUAZIONI GONIOMETRICHE - EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI - $Sen x = m $ $x=a+2K \bigvee x = r-a+2kx$ - CASI PARTICOLARI: - $Sem$

Equazioni Composte e Riduzioni

Quando hai equazioni tipo sen f(x) = m, prima risolvi come se f(x) fosse un angolo normale, poi risolvi l'equazione in f(x). È come sbucciare una cipolla strato per strato!

Per esempio, cos 3x = √2/2 diventa prima 3x = ±π/4 + 2kπ, poi x = ±π/12 + 2kπ/3. Semplice no?

Le equazioni del tipo sen f(x) = sen g(x) seguono regole precise. Il seno: f(x) = g(x) + 2kπ oppure f(x) = π - g(x) + 2kπ. Il coseno: f(x) = ±g(x) + 2kπ. La tangente: f(x) = g(x) + kπ.

Per le equazioni di secondo grado come 2cos²x - cos x - 1 = 0, tratta cos x come un'incognita normale. Risolvi l'equazione quadratica, poi risolvi le elementari che ottieni!

Strategia vincente: Prima identifica il tipo di equazione, poi applica il metodo specifico. Non cercare scorciatoie complicate!

$# EQUAZIONI GONIOMETRICHE - EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI - $Sen x = m $ $x=a+2K \bigvee x = r-a+2kx$ - CASI PARTICOLARI: - $Sem$

Tecniche di Riduzione Avanzate

Spesso dovrai trasformare equazioni complicate in elementari usando le relazioni fondamentali. La chiave è sostituire cos²x = 1 - sen²x (o viceversa) per avere tutto in una sola funzione.

Esempio: 3sen²x + 2cos²x - 2 = 2sen x diventa sen²x - 2sen x = 0 dopo le sostituzioni. Raccogli sen x e ottieni sen x = 0 oppure sen x = 2 (impossibile).

Le formule di addizione sono super utili! sen $π/2 + x$ = cos x e cos $π/2 + x$ = -sen x ti permettono di semplificare espressioni apparentemente difficili.

Casi particolari importanti: quando hai sen α = sen β, ricorda sempre le due possibilità $α = β + 2kπ oppure α = π - β + 2kπ$ . Per coseno e tangente le regole sono diverse ma sempre fisse!

Attenzione: Controlla sempre che le soluzioni trovate non rendano indefinite le funzioni originali!

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Equazioni Lineari in Seno e Coseno

Le equazioni lineari hanno la forma asen x + bcos x + c = 0. Sembrano complicate ma con i metodi giusti diventano gestibili!

Per le incomplete $c = 0$ , dividi tutto per cos x (se cos x ≠ 0) e ottieni atan x + b = 0, quindi tan x = -b/a. Facile!

Hai due metodi per le complete: grafico e algebrico. Il metodo grafico trasforma tutto in un sistema con la circonferenza goniometrica $x² + y² = 1$ .

Il metodo algebrico usa le formule parametriche: sen x = 2t/ $1+t²$ e cos x = $1-t²$ / $1+t²$ dove t = tan $x/2$ . Sostituisci tutto e ottieni un'equazione di secondo grado in t!

Consiglio: Il metodo parametrico è più meccanico, quello grafico ti fa capire meglio cosa succede geometricamente!

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Esempi Pratici con Formule Parametriche

Vediamo in pratica come funzionano le formule parametriche! Per sen x - 2cos x - 1 = 0, sostituisci le formule e ottieni t² + 2t - 3 = 0.

Risolvi l'equazione quadratica: t = 1 oppure t = -3. Quindi tan $x/2$ = 1 che dà x = π/2 + 2kπ, e tan $x/2$ = -3 che dà x = 2arctan(-3) + 2kπ.

Attenzione speciale: quando il coefficiente di t² è zero (come nell'esempio 2), ottieni un'equazione di primo grado. Ma devi aggiungere x = π + 2kπ alle soluzioni perché le formule parametriche "perdono" questa soluzione!

Questo succede perché tan $x/2$ non è definita per x = π + 2kπ. È un caso particolare da ricordare sempre!

Trucco finale: Se ottieni un'equazione di primo grado in t, aggiungi sempre x = π + 2kπ alle soluzioni trovate!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

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Equazioni Goniometriche: Esempi e Spiegazioni Semplici

@jok

Le equazioni goniometriche sono fondamentali in trigonometria e ti permettono di trovare gli angoli che soddisfano determinate condizioni con seno, coseno e tangente. Scopriamo insieme i metodi principali per risolverle, dai casi più semplici alle tecniche più avanzate!

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Equazioni Goniometriche Elementari

Iniziamo dalle equazioni elementari, quelle dove hai direttamente sen x = m, cos x = m o tan x = m. Questi sono i mattoncini base che dovrai padroneggiare perfettamente!

Per cos x = m le soluzioni sono x = ±a + 2kπ. I casi particolari sono: cos x = 0 dà x = π/2 + kπ, cos x = 1 dà x = 2kπ, e cos x = -1 dà x = π + 2kπ.

La tan x = m è la più semplice: x = a + kπ. Una sola famiglia di soluzioni perché la tangente ha periodo π!

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Equazioni Composte e Riduzioni

Quando hai equazioni tipo sen f(x) = m, prima risolvi come se f(x) fosse un angolo normale, poi risolvi l'equazione in f(x). È come sbucciare una cipolla strato per strato!

Per esempio, cos 3x = √2/2 diventa prima 3x = ±π/4 + 2kπ, poi x = ±π/12 + 2kπ/3. Semplice no?

Le equazioni del tipo sen f(x) = sen g(x) seguono regole precise. Il seno: f(x) = g(x) + 2kπ oppure f(x) = π - g(x) + 2kπ. Il coseno: f(x) = ±g(x) + 2kπ. La tangente: f(x) = g(x) + kπ.

Per le equazioni di secondo grado come 2cos²x - cos x - 1 = 0, tratta cos x come un'incognita normale. Risolvi l'equazione quadratica, poi risolvi le elementari che ottieni!

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Spesso dovrai trasformare equazioni complicate in elementari usando le relazioni fondamentali. La chiave è sostituire cos²x = 1 - sen²x (o viceversa) per avere tutto in una sola funzione.

Esempio: 3sen²x + 2cos²x - 2 = 2sen x diventa sen²x - 2sen x = 0 dopo le sostituzioni. Raccogli sen x e ottieni sen x = 0 oppure sen x = 2 (impossibile).

Le formule di addizione sono super utili! sen $π/2 + x$ = cos x e cos $π/2 + x$ = -sen x ti permettono di semplificare espressioni apparentemente difficili.

Attenzione: Controlla sempre che le soluzioni trovate non rendano indefinite le funzioni originali!

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Equazioni Lineari in Seno e Coseno

Le equazioni lineari hanno la forma asen x + bcos x + c = 0. Sembrano complicate ma con i metodi giusti diventano gestibili!

Per le incomplete $c = 0$ , dividi tutto per cos x (se cos x ≠ 0) e ottieni atan x + b = 0, quindi tan x = -b/a. Facile!

Hai due metodi per le complete: grafico e algebrico. Il metodo grafico trasforma tutto in un sistema con la circonferenza goniometrica $x² + y² = 1$ .

Il metodo algebrico usa le formule parametriche: sen x = 2t/ $1+t²$ e cos x = $1-t²$ / $1+t²$ dove t = tan $x/2$ . Sostituisci tutto e ottieni un'equazione di secondo grado in t!

Consiglio: Il metodo parametrico è più meccanico, quello grafico ti fa capire meglio cosa succede geometricamente!

$# EQUAZIONI GONIOMETRICHE - EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI - $Sen x = m $ $x=a+2K \bigvee x = r-a+2kx$ - CASI PARTICOLARI: - $Sem$

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Esempi Pratici con Formule Parametriche

Vediamo in pratica come funzionano le formule parametriche! Per sen x - 2cos x - 1 = 0, sostituisci le formule e ottieni t² + 2t - 3 = 0.

Risolvi l'equazione quadratica: t = 1 oppure t = -3. Quindi tan $x/2$ = 1 che dà x = π/2 + 2kπ, e tan $x/2$ = -3 che dà x = 2arctan(-3) + 2kπ.

Questo succede perché tan $x/2$ non è definita per x = π + 2kπ. È un caso particolare da ricordare sempre!

Trucco finale: Se ottieni un'equazione di primo grado in t, aggiungi sempre x = π + 2kπ alle soluzioni trovate!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Google Play

Stefano S

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Samantha Klich

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Marianna

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Sudenaz Ocak

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Martina

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Chiara

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Andrea

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Anastasia

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Francesca

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Marianna

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Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Martina

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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