Equazioni e principi di equivalenza

Un'equazione è un'uguaglianza matematica dove devi trovare i valori delle incognite (x, y, z...) che la rendono vera. Esistono due tipi principali:

• Equazioni algebriche: coinvolgono operazioni come $\frac{1}{x+y} = 7x^2 - 1 + 2z$
• Equazioni trascendenti: includono funzioni come logaritmi, esponenziali o trigonometriche

Per risolvere un'equazione, puoi utilizzare i principi di equivalenza, che ti permettono di trasformarla in forme più semplici mantenendo le stesse soluzioni.

Principio di addizione: puoi sommare o sottrarre la stessa quantità a entrambi i membri dell'equazione senza alterare le soluzioni. Ad esempio: 3x + 2 = 7 → 3x = 5 → x = 5/3

Principio di moltiplicazione: puoi moltiplicare o dividere entrambi i membri per lo stesso numero non nullo. Ad esempio: 3x = 5 → x = 5/3

⚡️ Ricorda: due equazioni sono equivalenti quando hanno esattamente le stesse soluzioni, anche se sembrano diverse.

Equazioni di primo grado

Le equazioni di primo grado hanno forma $ax + b = 0$ (con $a$ e $b$ numeri reali) e ci sono tre possibili scenari:

• Se $a \neq 0$: l'equazione è determinata e ha una soluzione unica $x = -\frac{b}{a}$
• Se $a = 0$ e $b \neq 0$: l'equazione è impossibile $come 0 = 5$
• Se $a = 0$ e $b = 0$: l'equazione è indeterminata $0 = 0 è sempre vera$

Esempio di equazione impossibile: $2(3x+1)-3(2x+1) = 4(x-1)-(4x+3)$

Svolgendo i calcoli: $6x+2-6x-3 = 4x-4-4x-3$ Che si riduce a: $-1 = -7$, chiaramente impossibile!

Esempio di equazione indeterminata: $3(2x+1)-2(3x+1) = 4x-3-4(x-1)$

Svolgendo: $6x+3-6x-2 = 4x-3-4x+4$ Che diventa: $1 = 1$, vera per qualsiasi valore di $x$!

Esempio di equazione determinata: $(x+2)^2-6(x-1) = 2x+(x-1)^2$

Svolgendo i calcoli, otteniamo: $-2x = -9$, quindi $x = \frac{9}{2}$

🔍 Suggerimento: Per verificare rapidamente che tipo di equazione hai davanti, riduci sempre l'equazione alla forma canonica $ax + b = 0$ e osserva i coefficienti $a$ e $b$.

Equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado hanno forma $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$ e si risolvono con la formula:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, dove $\Delta = b^2 - 4ac$ è il discriminante.

A seconda del discriminante $\Delta$:

• Se $\Delta > 0$: due soluzioni reali e distinte
• Se $\Delta = 0$: due soluzioni reali coincidenti (una soluzione doppia)
• Se $\Delta < 0$: nessuna soluzione reale

Esempio pratico: $(x-3)(x+3)-(2x-1)^2+14 = 0$

Svolgendo i calcoli: $x^2-9-4x^2+4x-1+14 = 0$ Che si riduce a: $-3x^2+4x+4 = 0$, o equivalentemente: $3x^2-4x-4 = 0$

Calcoliamo il discriminante: $\Delta = (-4)^2-4(3)(-4) = 16+48 = 64$

Quindi: $x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}$ Le soluzioni sono: $x_1 = 2$ e $x_2 = -\frac{2}{3}$

Casi particolari semplificati:

1. Se manca il termine $b$ equazione $ax^2+c=0$: $x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$ quando $-\frac{c}{a} \geq 0$
2. Se manca il termine $c$ equazione $ax^2+bx=0$: $x = 0$ o $x = -\frac{b}{a}$
3. Se $b$ è pari equazione $ax^2+bx+c=0$: usa $\frac{\Delta}{4} = \frac{b^2}{4}-ac$ e $x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}$

⭐ Consiglio: Memorizza le forme speciali delle equazioni di secondo grado: ti permetteranno di risolvere molti problemi più velocemente senza usare la formula completa.

Equazioni fratte

Le equazioni fratte contengono incognite a denominatore e richiedono un'attenzione speciale. Ecco il metodo in quattro passi:

1. Determina le condizioni di esistenza (C.E.) richiedendo che i denominatori siano diversi da zero
2. Porta l'equazione alla forma $\frac{N(x)}{D(x)} = 0$
3. Risolvi $N(x) = 0$ per trovare le soluzioni candidate
4. Verifica che le soluzioni rispettino le condizioni di esistenza

Esempio: $2x^2-4x+1=0$

Utilizzando la formula semplificata per $b$ pari: $\frac{\Delta}{4} = \frac{(-4)^2}{4} - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$

Quindi: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

Altro esempio: equazione impossibile: $1 + \frac{x-3}{x-2} = x - \frac{(x-1)^2}{x-2}$

Condizione di esistenza: $x \neq 2$

Risolvendo l'equazione e semplificando: $2x - 5 = x^2 - 2x - x^2 + 2x - 1$ $2x = 4$ $x = 2$

Questa soluzione va scartata perché non rispetta la condizione di esistenza, quindi l'equazione è impossibile.

Equazione con fattori: $3x(1-x) + (x+2)^2 = (x+2)(2-x)$

Svolgendo i calcoli si ottiene: $-x^2+7x=0$ $x(x-7)=0$

Le soluzioni sono $x=0$ e $x=7$

🛑 Attenzione: Nelle equazioni fratte, verifica sempre che le soluzioni trovate non annullino i denominatori! Una soluzione che rende un denominatore zero non è accettabile.

Risoluzione di equazioni fratte

Vediamo un esempio completo di equazione fratta:

$\frac{x}{x^2+3x-4} + \frac{2x+3}{x^2-3x+2} + \frac{x+6}{x^2+2x-8} = 0$

Passo 1: Determino le condizioni di esistenza, risolvendo:

• $x^2+3x-4 \neq 0$ → $(x+4)(x-1) \neq 0$ → $x \neq -4$ e $x \neq 1$
• $x^2-3x+2 \neq 0$ → $(x-1)(x-2) \neq 0$ → $x \neq 1$ e $x \neq 2$
• $x^2+2x-8 \neq 0$ → $(x+4)(x-2) \neq 0$ → $x \neq -4$ e $x \neq 2$

Quindi il campo di esistenza è: $x \neq -4$, $x \neq 1$, $x \neq 2$

Passo 2: Riscrivo l'equazione con il minimo comune multiplo dei denominatori: $\frac{x(x-2)+(2x+3)(x+4)+(x+6)(x-1)}{(x+4)(x-1)(x-2)} = 0$

Passo 3: Il numeratore deve essere zero: $x(x-2) + (2x+3)(x+4) + (x+6)(x-1) = 0$

Svolgendo i prodotti e riordinando: $x^2-2x + 2x^2+8x+3x+12 + x^2-x+6x-6 = 0$ $4x^2+14x+6 = 0$ $2x^2+7x+3 = 0$

Passo 4: Calcolo il discriminante e le soluzioni: $\Delta = 7^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 49-24 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-7 \pm 5}{4}$

Quindi: $x_1 = -\frac{1}{2}$ e $x_2 = -3$

Passo 5: Verifico se le soluzioni appartengono al campo di esistenza. $-\frac{1}{2} \neq -4$, $-\frac{1}{2} \neq 1$, $-\frac{1}{2} \neq 2$ ✓ $-3 \neq -4$, $-3 \neq 1$, $-3 \neq 2$ ✓

Entrambe le soluzioni sono valide!

💡 Nota bene: Quando risolvi equazioni fratte, ricorda che la soluzione finale deve sempre essere verificata nel campo di esistenza. Questo passaggio è fondamentale e non può essere saltato.

Equazioni e sistemi di equazioni

Vediamo altri esempi di equazioni e introduciamo i sistemi di equazioni.

Esempio di equazione impossibile: $1 + \frac{x-3}{x-2} = x - \frac{(x-1)^2}{x-2}$

Sviluppando e semplificando arriviamo a $x = 2$, ma questa soluzione non rispetta la condizione di esistenza $x \neq 2$, quindi l'equazione è impossibile.

Esempio con fattori: $3x(1-x) + (x+2)^2 = (x+2)(2-x)$

Semplificando otteniamo: $-x^2 + 7x = 0$ $x(x-7) = 0$

Le soluzioni sono $x = 0$ e $x = 7$

Sistemi di equazioni

Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni con le stesse incognite:

$\begin{cases} A_1(x,y,z,...) = B_1(x,y,z,...) \ A_2(x,y,z,...) = B_2(x,y,z,...) \ ... \ A_n(x,y,z,...) = B_n(x,y,z,...) \end{cases}$

Il grado del sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni.

Ad esempio: $\begin{cases} x - 2y = 0 \ 2x^2 = 8 \end{cases}$ è un sistema di grado 2.

Le soluzioni del sistema sono i valori che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni. Nel caso precedente, le soluzioni sono le coppie $(2,1)$ e $(-2,-1)$.

Un sistema può essere:

• Compatibile: ammette almeno una soluzione
• Determinato: ha un numero finito di soluzioni
• Indeterminato: ha infinite soluzioni
• Incompatibile: non ha soluzioni

🧮 Suggerimento: Per i sistemi lineari (dove le variabili compaiono solo con grado 1), puoi utilizzare tre metodi diversi: sostituzione, riduzione o Cramer. Scegli quello più comodo in base al tipo di sistema che stai affrontando.

Metodi per risolvere i sistemi di equazioni lineari

Un sistema di equazioni lineari ha la forma: $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

Esistono tre metodi principali per risolverli:

1. Metodo di sostituzione

• Esplicita una variabile in funzione dell'altra da una delle equazioni
• Sostituisci questa espressione nell'altra equazione
• Risolvi l'equazione ottenuta e trova la prima incognita
• Sostituisci il valore trovato per ottenere la seconda incognita

2. Metodo di riduzione

• Moltiplica le equazioni per opportuni coefficienti
• Sommale per eliminare una delle incognite
• Risolvi l'equazione risultante con una sola incognita
• Sostituisci per trovare l'altra incognita

3. Metodo di Cramer

• Crea la matrice dei coefficienti $A$ e il vettore dei termini noti $B$
• Calcola il determinante di $A$
• Se $\det(A) \neq 0$, calcola $x$ e $y$ usando i determinanti delle matrici modificate

Esempio completo: $\begin{cases} x - 3y = 1 \ 5x - 2y = -21 \end{cases}$

Con sostituzione: Dalla prima equazione: $x = 1 + 3y$ Sostituendo nella seconda: $5(1 + 3y) - 2y = -21$ Semplificando: $5 + 15y - 2y = -21$ Quindi: $13y = -26$ → $y = -2$ Sostituendo: $x = 1 + 3(-2) = -5$

📝 Nota: Il metodo di sostituzione funziona anche per alcuni sistemi non lineari, mentre i metodi di riduzione e Cramer sono specifici per sistemi lineari.

Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

Vediamo come risolvere lo stesso sistema con diversi metodi: $\begin{cases} x - 3y = 1 \ 5x - 2y = -21 \end{cases}$

Metodo di riduzione

Moltiplico la prima equazione per -5: $\begin{cases} -5x + 15y = -5 \ 5x - 2y = -21 \end{cases}$

Sommando le due equazioni: $-5x + 15y + 5x - 2y = -5 - 21$ $13y = -26$ $y = -2$

Sostituisco nella prima equazione: $x - 3(-2) = 1$ $x + 6 = 1$ $x = -5$

Metodo di Cramer

Creo la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \ 5 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \ -21 \end{pmatrix}$

Calcolo il determinante della matrice A: $\det A = 1 \cdot (-2) - (-3) \cdot 5 = -2 + 15 = 13$

Poiché $\det A = 13 \neq 0$, il sistema ammette un'unica soluzione.

Per trovare $x$, calcolo: $x = \frac{\det A_x}{\det A} = \frac{\det \begin{pmatrix} 1 & -3 \ -21 & -2 \end{pmatrix}}{13} = \frac{1 \cdot (-2) - (-3) \cdot (-21)}{13} = \frac{-2 - 63}{13} = -5$

Per trovare $y$, calcolo: $y = \frac{\det A_y}{\det A} = \frac{\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 5 & -21 \end{pmatrix}}{13} = \frac{1 \cdot (-21) - 1 \cdot 5}{13} = \frac{-26}{13} = -2$

La soluzione è quindi $x = -5$ e $y = -2$.

🔄 Suggerimento pratico: Quando hai un sistema lineare 2×2, prova a risolverlo con il metodo che ti sembra più comodo. La sostituzione è spesso la scelta migliore se una delle equazioni è già risolta rispetto a una variabile. Il metodo di riduzione è efficace quando i coefficienti sono "comodi" per l'eliminazione.

Esempi di sistemi di vario tipo

Esempio di sistema impossibile: $\begin{cases} (2x - y)^2 - (y + 1)^2 = x(4x-4y-1) \ x + y - 2(x - y) = y + 1 \end{cases}$

Semplificando: $\begin{cases} x - 2y = 1 \ -x + 2y = 1 \end{cases}$

Sostituendo la prima equazione nella seconda: $-(1 + 2y) + 2y = 1$ $-1 = 1$

Questa è una contraddizione, quindi il sistema è impossibile.

Esempio con equazioni di secondo grado: $\begin{cases} 2x + y - 5 = 0 \ 3x^2 - 2y^2 - 10x = - 25 \end{cases}$

Dalla prima equazione: $y = 5 - 2x$

Sostituendo nella seconda: $3x^2 - 2(5 - 2x)^2 - 10x = -25$ $3x^2 - 2(25 - 20x + 4x^2) - 10x = -25$ $3x^2 - 50 + 40x - 8x^2 - 10x = -25$ $-5x^2 + 30x - 25 = 0$

Dividendo per -5: $x^2 - 6x + 5 = 0$

Usando la formula risolutiva: $\Delta = 36 - 20 = 16$ $x_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{2} = 3 \pm 2$

Quindi $x_1 = 5$ e $x_2 = 1$

Sostituendo:

• Per $x_1 = 5$: $y_1 = 5 - 2(5) = -5$
• Per $x_2 = 1$: $y_2 = 5 - 2(1) = 3$

Le soluzioni sono le coppie $(5, -5)$ e $(1, 3)$

🔍 Osservazione importante: Nei sistemi misti (con equazioni di gradi diversi), il metodo di sostituzione è spesso l'unica scelta possibile. Ricorda di verificare sempre tutte le soluzioni ottenute, sostituendole nelle equazioni originali.

Sistemi di equazioni complessi

Nel sistema: $\begin{cases} 2x + y - 5 = 0 \ 3x^2 - 2y^2 - 10x = -25 \end{cases}$

Dopo aver sostituito $y = 5 - 2x$ dalla prima equazione nella seconda, otteniamo: $3x^2 - 2(5 - 2x)^2 - 10x = -25$

Sviluppando i calcoli: $3x^2 - 2(25 - 20x + 4x^2) - 10x = -25$ $3x^2 - 50 + 40x - 8x^2 - 10x = -25$ $-5x^2 + 30x - 25 = 0$

Dividendo per -5 e semplificando: $x^2 - 6x + 5 = 0$

Calcoliamo il discriminante: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$

Le soluzioni sono: $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$ $x_1 = 5$ e $x_2 = 1$

Sostituendo nella prima equazione:

• Per $x_1 = 5$: $y_1 = 5 - 2(5) = -5$
• Per $x_2 = 1$: $y_2 = 5 - 2(1) = 3$

Il sistema ha due soluzioni: $(5, -5)$ e $(1, 3)$

Questo è un esempio di sistema compatibile e determinato perché ha un numero finito (due) di soluzioni.

⚡️ Suggerimento finale: Quando affronti un sistema di equazioni, segui questi passaggi:

1. Identifica il tipo di sistema (lineare o non lineare)
2. Scegli il metodo più appropriato (sostituzione, riduzione o Cramer)
3. Risolvi attentamente, senza saltare passaggi
4. Verifica le soluzioni nelle equazioni originali
5. Classifica il sistema come compatibile/incompatibile e determinato/indeterminato