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3 dic 2025

9 pagine

Come Risolvere Equazioni e Disequazioni Irrazionali Facilmente

P

Patrizio

@jerry88

Le equazioni e disequazioni irrazionali sono quelle che contengono almeno... Mostra di più

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Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono

Equazioni irrazionali con radici di indice pari

Quando hai un'equazione con radici di indice pari (come √), devi sempre ricordare due regole fondamentali. L'argomento sotto radice deve essere ≥ 0, e il secondo membro dell'equazione deve essere ≥ 0 (una radice pari non può mai essere negativa).

Prima di tutto, imposti il sistema delle condizioni di esistenza. Per esempio, con √x+2x + 2 = x, scrivi: x + 2 ≥ 0 e x ≥ 0, che ti dà x ≥ 0.

Dopo aver trovato le condizioni, elevi al quadrato entrambi i membri e risolvi l'equazione risultante. Nell'esempio ottieni x² - x - 2 = 0, con soluzioni x = 2 e x = -1. Solo x = 2 è valida perché rispetta la condizione x ≥ 0.

Attenzione! Quando elevi al quadrato puoi introdurre soluzioni spurie, quindi verifica sempre che le soluzioni rispettino le condizioni iniziali.

Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono

Radici di indice dispari

Le radici di indice dispari (come ∛) sono molto più semplici da gestire! L'argomento può essere qualsiasi numero reale, anche negativo, quindi non devi impostare sistemi di condizioni particolari.

Puoi elevare direttamente entrambi i membri alla potenza corrispondente all'indice. Per esempio, con ∛x2x - 2 = 1/2, elevi al cubo: x - 2 = 1/8, quindi x = 17/8.

L'unica eccezione è quando hai frazioni con x al denominatore. In quel caso devi comunque escludere i valori che annullano il denominatore.

Trucco! Le radici dispari ti semplificano la vita: niente sistemi complicati, vai dritto alla risoluzione!

Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono

Radici di indice pari in entrambi i membri

Quando hai radici pari da entrambi i lati dell'equazione, devi impostare le condizioni di esistenza per tutti gli argomenti delle radici. Nell'esempio √21/x2 - 1/x = √x, hai tre condizioni: 2 - 1/x ≥ 0, x ≥ 0, e x ≠ 0.

La prima condizione ti porta a risolvere una disequazione fratta: 2x12x - 1/x ≥ 0. Con il metodo del segno trovi x < 0 oppure x ≥ 1/2.

Intersecando tutte le condizioni ottieni x ≥ 1/2. Ora puoi elevare al quadrato entrambi i membri e risolvere normalmente: 2 - 1/x = x porta a x = 1, che rispetta la condizione.

Ricorda! Più radici = più condizioni da verificare, ma il procedimento rimane sempre lo stesso.

Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono

Radici di indice misto (pari e dispari insieme)

Quando hai radici di indice diverso nella stessa equazione, prima separi le radici: porta quelle dispari al secondo membro. Poi imponi le condizioni solo per le radici pari e per il fatto che il secondo membro deve essere ≥ 0.

Il trucco sta nell'elevare a una potenza comune: il minimo comune multiplo degli indici. Nell'esempio con √x+3x + 3 = ∛2x2+6x2x² + 6x, elevi alla sesta potenza entrambi i membri.

Dopo aver semplificato ottieni un'equazione più complessa, ma gestibile con le tecniche standard. Le soluzioni vanno sempre confrontate con le condizioni iniziali.

Strategia vincente! Separare le radici e trovare la potenza comune ti permette di trasformare anche le equazioni più complicate in forme risolubili.

Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono

Disequazioni irrazionali - Primo caso

Le disequazioni irrazionali del tipo √f(x) > g(x) richiedono un approccio sistematico. Devi considerare due scenari diversi in base al segno di g(x).

Se g(x) < 0, la disequazione è sempre vera (una quantità positiva è sempre maggiore di una negativa). Le condizioni sono: f(x) ≥ 0 e g(x) < 0.

Se g(x) ≥ 0, devi elevare al quadrato entrambi i membri. Le condizioni diventano: g(x) ≥ 0 e f(x) > g(x)g(x)². La soluzione finale è l'unione dei due sistemi.

Punto chiave! Il segno del secondo membro determina completamente la strategia di risoluzione.

Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono

Disequazioni irrazionali - Secondo caso

Per le disequazioni del tipo √f(x) < g(x), la logica si inverte. Se g(x) ≤ 0, non ci sono soluzioni perché una quantità positiva non può essere minore di una negativa.

Devi quindi studiare un solo sistema: f(x) ≥ 0, g(x) > 0, e f(x) < g(x)g(x)². Tutte e tre le condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente.

Nell'esempio √x2x2x² - x - 2 ≤ 2x + 6, risolvi separatamente ogni disequazione e poi fai l'intersezione grafica per trovare la soluzione finale.

Attenzione! In questo caso non hai l'unione di sistemi, ma un unico sistema con tre condizioni da rispettare tutte insieme.

Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono

Esempi pratici di disequazioni

Vediamo come applicare concretamente il metodo. Per √x2x2x² - x - 2 ≤ 2x + 6, inizi scomponendo x² - x - 2 = x2x - 2x+1x + 1, che ti dà x ≤ -1 oppure x ≥ 2.

La condizione 2x + 6 ≥ 0 ti dà x ≥ -3. La terza disequazione x² - x - 2 ≤ 2x+62x + 6² diventa 3x² + 25x + 38 ≥ 0, con soluzioni x ≤ -19/3 oppure x ≥ -2.

Facendo l'intersezione grafica di tutte le condizioni ottieni -2 ≤ x ≤ -1 oppure x ≥ 2. Questo esempio mostra l'importanza di visualizzare le soluzioni su una retta numerica.

Consiglio pratico! Usa sempre la rappresentazione grafica per evitare errori nell'intersezione delle condizioni.

Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono
Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
radice. Le radici possono


Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

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Andrea

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Matematica

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Come Risolvere Equazioni e Disequazioni Irrazionali Facilmente

P

Patrizio

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Le equazioni e disequazioni irrazionali sono quelle che contengono almeno una radice con l'incognita sotto il segno di radice. La strategia per risolverle dipende dall'indice della radice e richiede sempre attenzione al campo di esistenza.

Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui compare almeno una radice e l'incognita si trova come argomento della
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Equazioni irrazionali con radici di indice pari

Quando hai un'equazione con radici di indice pari (come √), devi sempre ricordare due regole fondamentali. L'argomento sotto radice deve essere ≥ 0, e il secondo membro dell'equazione deve essere ≥ 0 (una radice pari non può mai essere negativa).

Prima di tutto, imposti il sistema delle condizioni di esistenza. Per esempio, con √x+2x + 2 = x, scrivi: x + 2 ≥ 0 e x ≥ 0, che ti dà x ≥ 0.

Dopo aver trovato le condizioni, elevi al quadrato entrambi i membri e risolvi l'equazione risultante. Nell'esempio ottieni x² - x - 2 = 0, con soluzioni x = 2 e x = -1. Solo x = 2 è valida perché rispetta la condizione x ≥ 0.

Attenzione! Quando elevi al quadrato puoi introdurre soluzioni spurie, quindi verifica sempre che le soluzioni rispettino le condizioni iniziali.

Equazioni irrazionali
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Radici di indice dispari

Le radici di indice dispari (come ∛) sono molto più semplici da gestire! L'argomento può essere qualsiasi numero reale, anche negativo, quindi non devi impostare sistemi di condizioni particolari.

Puoi elevare direttamente entrambi i membri alla potenza corrispondente all'indice. Per esempio, con ∛x2x - 2 = 1/2, elevi al cubo: x - 2 = 1/8, quindi x = 17/8.

L'unica eccezione è quando hai frazioni con x al denominatore. In quel caso devi comunque escludere i valori che annullano il denominatore.

Trucco! Le radici dispari ti semplificano la vita: niente sistemi complicati, vai dritto alla risoluzione!

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Radici di indice pari in entrambi i membri

Quando hai radici pari da entrambi i lati dell'equazione, devi impostare le condizioni di esistenza per tutti gli argomenti delle radici. Nell'esempio √21/x2 - 1/x = √x, hai tre condizioni: 2 - 1/x ≥ 0, x ≥ 0, e x ≠ 0.

La prima condizione ti porta a risolvere una disequazione fratta: 2x12x - 1/x ≥ 0. Con il metodo del segno trovi x < 0 oppure x ≥ 1/2.

Intersecando tutte le condizioni ottieni x ≥ 1/2. Ora puoi elevare al quadrato entrambi i membri e risolvere normalmente: 2 - 1/x = x porta a x = 1, che rispetta la condizione.

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Radici di indice misto (pari e dispari insieme)

Quando hai radici di indice diverso nella stessa equazione, prima separi le radici: porta quelle dispari al secondo membro. Poi imponi le condizioni solo per le radici pari e per il fatto che il secondo membro deve essere ≥ 0.

Il trucco sta nell'elevare a una potenza comune: il minimo comune multiplo degli indici. Nell'esempio con √x+3x + 3 = ∛2x2+6x2x² + 6x, elevi alla sesta potenza entrambi i membri.

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Disequazioni irrazionali - Primo caso

Le disequazioni irrazionali del tipo √f(x) > g(x) richiedono un approccio sistematico. Devi considerare due scenari diversi in base al segno di g(x).

Se g(x) < 0, la disequazione è sempre vera (una quantità positiva è sempre maggiore di una negativa). Le condizioni sono: f(x) ≥ 0 e g(x) < 0.

Se g(x) ≥ 0, devi elevare al quadrato entrambi i membri. Le condizioni diventano: g(x) ≥ 0 e f(x) > g(x)g(x)². La soluzione finale è l'unione dei due sistemi.

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Disequazioni irrazionali - Secondo caso

Per le disequazioni del tipo √f(x) < g(x), la logica si inverte. Se g(x) ≤ 0, non ci sono soluzioni perché una quantità positiva non può essere minore di una negativa.

Devi quindi studiare un solo sistema: f(x) ≥ 0, g(x) > 0, e f(x) < g(x)g(x)². Tutte e tre le condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente.

Nell'esempio √x2x2x² - x - 2 ≤ 2x + 6, risolvi separatamente ogni disequazione e poi fai l'intersezione grafica per trovare la soluzione finale.

Attenzione! In questo caso non hai l'unione di sistemi, ma un unico sistema con tre condizioni da rispettare tutte insieme.

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La condizione 2x + 6 ≥ 0 ti dà x ≥ -3. La terza disequazione x² - x - 2 ≤ 2x+62x + 6² diventa 3x² + 25x + 38 ≥ 0, con soluzioni x ≤ -19/3 oppure x ≥ -2.

Facendo l'intersezione grafica di tutte le condizioni ottieni -2 ≤ x ≤ -1 oppure x ≥ 2. Questo esempio mostra l'importanza di visualizzare le soluzioni su una retta numerica.

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Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

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Stefano S

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Anna

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Anastasia

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Francesca

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Sudenaz Ocak

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Aurora

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Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

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