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27 nov 2025

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Equazioni e Disequazioni con Valore Assoluto: Guida Pratica

A

Anna Sblendorio @anna________22

Il valore assoluto è uno degli argomenti più importanti dell'algebra che incontrerai spesso nei tuoi studi. Imparerai come... Mostra di più

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

Valore assoluto e le sue proprietà

Il valore assoluto di un numero è sempre positivo o zero, ed è definito come la distanza del numero dall'origine. Se il numero è positivo o zero, il valore assoluto è il numero stesso; se è negativo, diventa positivo.

Ci sono alcune proprietà fondamentali che devi assolutamente memorizzare. Il valore assoluto di un numero è uguale al valore assoluto del suo opposto, e quando moltiplichi o dividi valori assoluti, puoi portare fuori il simbolo.

Le equazioni con valore assoluto seguono una regola semplice se |A(x)| = K e K è positivo, allora A(x) = K oppure A(x) = -K. Se K è negativo, l'equazione non ha soluzioni perché il valore assoluto non può mai essere negativo.

Ricorda Quando risolvi |x + 2| = 7, ottieni sempre due soluzioni x + 2 = 7 e x + 2 = -7!

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

Risoluzione di equazioni più complesse

Quando hai equazioni come |2 - x| = 2x + 9, devi essere più strategico. Prima di tutto, studia il segno dell'espressione dentro il valore assoluto per capire quando è positiva o negativa.

Dividi il problema in due casi distinti quando l'espressione è positiva e quando è negativa. Per ogni caso, rimuovi il valore assoluto e risolvi l'equazione normale, poi verifica che la soluzione rispetti le condizioni del caso.

Le disequazioni con valore assoluto richiedono lo stesso approccio metodico. Devi sempre controllare che le soluzioni trovate soddisfino le condizioni iniziali che hai posto.

Attenzione Non dimenticare mai di verificare le soluzioni sostituendole nell'equazione originale!

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

Equazioni con più valori assoluti

Quando ti trovi davanti equazioni come |x-1| - 3 = 5, ricorda che puoi avere equazioni che si annullano. Se ottieni |x-1| = -2, l'equazione non ha soluzioni perché il valore assoluto non può essere negativo.

Per risolvere equazioni con due o più valori assoluti, devi studiare tutti i segni delle espressioni coinvolte. Questo ti darà diversi intervalli da analizzare separatamente.

Il metodo più efficace è creare una tabella dei segni per capire in quali intervalli le espressioni sono positive o negative. Poi risolvi l'equazione in ogni intervallo e verifica sempre le soluzioni.

Trucco Disegna sempre una retta numerica per visualizzare gli intervalli - ti aiuterà a non fare errori!

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

Disequazioni con valore assoluto

Le disequazioni con valore assoluto hanno regole precise che devi memorizzare. Se |f(x)| > k con k > 0, allora f(x) < -k oppure f(x) > k. Se |f(x)| < k con k > 0, allora -k < f(x) < k.

Quando k è negativo, le cose cambiano completamente. |f(x)| > k (con k < 0) è sempre vera per qualsiasi x, mentre |f(x)| < k (con k < 0) non ha mai soluzioni.

Esempi pratici come |x-2| < 3 ti danno -3 < x-2 < 3, che diventa -1 < x < 5. Per |x+3| > 2, ottieni x < -5 oppure x > -1.

Importante Le disequazioni del tipo |f(x)| < k danno sempre un intervallo, mentre |f(x)| > k danno sempre due semirette!

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

Disequazioni complesse e casi particolari

Le disequazioni più complicate possono coinvolgere espressioni razionali o radicali insieme ai valori assoluti. In questi casi, devi sempre studiare prima il dominio di esistenza.

Quando hai espressioni come √x2−9x²-9 > 5-x, inizia sempre controllando le condizioni di esistenza. La radice deve avere argomento non negativo, e qualsiasi denominatore deve essere diverso da zero.

Il metodo migliore è creare uno schema completo dominio, studio dei segni, risoluzione per intervalli. Anche se sembra lungo, ti evita errori e ti dà la sicurezza di avere la risposta corretta.

Strategia vincente Non avere fretta! Prenditi tempo per impostare bene il problema dall'inizio - risparmierai tempo alla fine.

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

Applicazioni avanzate e radici

Le equazioni con radici e valori assoluti rappresentano uno dei livelli più avanzati. Quando vedi √5x2+4x−15x²+4x-1 = 5x-1, devi imporre che entrambi i membri abbiano senso matematico.

Prima di tutto, l'argomento della radice deve essere non negativo. Poi, se elevi al quadrato entrambi i membri, devi ricordare che stai potenzialmente introducendo soluzioni spurie.

La strategia corretta prevede di verificare sempre le soluzioni nell'equazione originale. Molte volte le soluzioni dell'equazione elevata al quadrato non sono valide per quella di partenza.

Ricorda Elevare al quadrato può aggiungere soluzioni false - la verifica finale è obbligatoria!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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Non c'è niente di adatto? Esplorare altre aree tematiche.

Recensioni dei nostri utenti. Ci adorano - e anche tu, vedrai .

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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•

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•

27 nov 2025

•

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Equazioni e Disequazioni con Valore Assoluto: Guida Pratica

A

Anna Sblendorio

@anna________22

Il valore assoluto è uno degli argomenti più importanti dell'algebra che incontrerai spesso nei tuoi studi. Imparerai come risolvere equazioni e disequazioni che contengono questa particolare operazione matematica.

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

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Valore assoluto e le sue proprietà

Il valore assoluto di un numero è sempre positivo o zero, ed è definito come la distanza del numero dall'origine. Se il numero è positivo o zero, il valore assoluto è il numero stesso; se è negativo, diventa positivo.

Ci sono alcune proprietà fondamentali che devi assolutamente memorizzare. Il valore assoluto di un numero è uguale al valore assoluto del suo opposto, e quando moltiplichi o dividi valori assoluti, puoi portare fuori il simbolo.

Le equazioni con valore assoluto seguono una regola semplice: se |A(x)| = K e K è positivo, allora A(x) = K oppure A(x) = -K. Se K è negativo, l'equazione non ha soluzioni perché il valore assoluto non può mai essere negativo.

Ricorda: Quando risolvi |x + 2| = 7, ottieni sempre due soluzioni: x + 2 = 7 e x + 2 = -7!

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

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Risoluzione di equazioni più complesse

Quando hai equazioni come |2 - x| = 2x + 9, devi essere più strategico. Prima di tutto, studia il segno dell'espressione dentro il valore assoluto per capire quando è positiva o negativa.

Dividi il problema in due casi distinti: quando l'espressione è positiva e quando è negativa. Per ogni caso, rimuovi il valore assoluto e risolvi l'equazione normale, poi verifica che la soluzione rispetti le condizioni del caso.

Le disequazioni con valore assoluto richiedono lo stesso approccio metodico. Devi sempre controllare che le soluzioni trovate soddisfino le condizioni iniziali che hai posto.

Attenzione: Non dimenticare mai di verificare le soluzioni sostituendole nell'equazione originale!

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Equazioni con più valori assoluti

Quando ti trovi davanti equazioni come |x-1| - 3 = 5, ricorda che puoi avere equazioni che si annullano. Se ottieni |x-1| = -2, l'equazione non ha soluzioni perché il valore assoluto non può essere negativo.

Per risolvere equazioni con due o più valori assoluti, devi studiare tutti i segni delle espressioni coinvolte. Questo ti darà diversi intervalli da analizzare separatamente.

Il metodo più efficace è creare una tabella dei segni per capire in quali intervalli le espressioni sono positive o negative. Poi risolvi l'equazione in ogni intervallo e verifica sempre le soluzioni.

Trucco: Disegna sempre una retta numerica per visualizzare gli intervalli - ti aiuterà a non fare errori!

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Disequazioni con valore assoluto

Le disequazioni con valore assoluto hanno regole precise che devi memorizzare. Se |f(x)| > k con k > 0, allora f(x) < -k oppure f(x) > k. Se |f(x)| < k con k > 0, allora -k < f(x) < k.

Quando k è negativo, le cose cambiano completamente. |f(x)| > k (con k < 0) è sempre vera per qualsiasi x, mentre |f(x)| < k (con k < 0) non ha mai soluzioni.

Esempi pratici come |x-2| < 3 ti danno -3 < x-2 < 3, che diventa -1 < x < 5. Per |x+3| > 2, ottieni x < -5 oppure x > -1.

Importante: Le disequazioni del tipo |f(x)| < k danno sempre un intervallo, mentre |f(x)| > k danno sempre due semirette!

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Quando hai espressioni come √x2−9x²-9 > 5-x, inizia sempre controllando le condizioni di esistenza. La radice deve avere argomento non negativo, e qualsiasi denominatore deve essere diverso da zero.

Il metodo migliore è creare uno schema completo: dominio, studio dei segni, risoluzione per intervalli. Anche se sembra lungo, ti evita errori e ti dà la sicurezza di avere la risposta corretta.

Strategia vincente: Non avere fretta! Prenditi tempo per impostare bene il problema dall'inizio - risparmierai tempo alla fine.

## Valore assoluto $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ le proprietà $\implies \forall x, y \in \mathbb{R}$ 1) $

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Applicazioni avanzate e radici

Le equazioni con radici e valori assoluti rappresentano uno dei livelli più avanzati. Quando vedi √5x2+4x−15x²+4x-1 = 5x-1, devi imporre che entrambi i membri abbiano senso matematico.

Prima di tutto, l'argomento della radice deve essere non negativo. Poi, se elevi al quadrato entrambi i membri, devi ricordare che stai potenzialmente introducendo soluzioni spurie.

La strategia corretta prevede di verificare sempre le soluzioni nell'equazione originale. Molte volte le soluzioni dell'equazione elevata al quadrato non sono valide per quella di partenza.

Ricorda: Elevare al quadrato può aggiungere soluzioni false - la verifica finale è obbligatoria!

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

Che cos'è l'assistente AI di Knowunity?

Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

Dove posso scaricare l'applicazione Knowunity?

È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.

Knowunity è davvero gratuita?

Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!

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4.9/5

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4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Andrea

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Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

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Sudenaz Ocak

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Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

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Martina

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in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

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