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Doriana Tomeo
09/12/2025
Matematica
Equazioni di secondo grado
5729
•
9 dic 2025
•
Doriana Tomeo
@dorianatomeo_
Le equazioni di secondo grado sono fondamentali in matematica e... Mostra di più
Un'equazione di secondo grado ha sempre la forma ax² + bx + c = 0 dove a ≠ 0. Qui x è l'incognita, mentre a, b e c sono i coefficienti dell'equazione (c si chiama anche termine noto).
Se tutti i coefficienti sono diversi da zero, l'equazione è completa. Altrimenti è incompleta e diventa più facile da risolvere. Ricorda che ogni equazione di secondo grado ha sempre due soluzioni, chiamate radici.
Le equazioni incomplete si dividono in tre tipi. Le equazioni spurie si risolvono raccogliendo x e danno sempre una soluzione nulla e una reale. Le equazioni pure danno due soluzioni opposte se -c/a ≥ 0, altrimenti sono impossibili.
Trucco: Nelle equazioni incomplete, riconosci subito il tipo guardando quali termini mancano - ti farà risparmiare tempo prezioso!
Per le equazioni complete, usi la formula del discriminante: Δ = b² - 4ac. Se Δ < 0 non ci sono soluzioni reali, se Δ = 0 hai due soluzioni uguali, se Δ > 0 hai due soluzioni distinte.
Quando il coefficiente b è pari, usa la formula ridotta che semplifica i calcoli. Invece di b usi b/2 nel discriminante: Δ = ² - ac, e la formula diventa x = /a.
Le relazioni tra radici e coefficienti sono super utili. La somma delle radici è sempre x₁ + x₂ = -b/a, mentre il prodotto è x₁ × x₂ = c/a. Queste formule ti permettono di trovare le soluzioni senza calcolare il discriminante!
Puoi anche fare il processo inverso: se conosci somma e prodotto delle radici, scrivi l'equazione come x² - (somma)x + (prodotto) = 0. È un metodo velocissimo per costruire equazioni o verificare i risultati.
Attenzione: Quando usi somma e prodotto, controlla sempre che le tue radici siano corrette sostituendole nell'equazione originale.
La scomposizione del trinomio ax² + bx + c dipende dal discriminante. Se Δ ≥ 0 diventa a, se Δ = 0 diventa a², se Δ < 0 il trinomio è irriducibile.
Per scomporre un trinomio di secondo grado, prima risolvi l'equazione associata ax² + bx + c = 0. Se trovi le radici x₁ e x₂, puoi scrivere il trinomio come a.
Negli esempi vedi come x² - x - 6 diventa dopo aver trovato le radici 3 e -2. Questo metodo funziona sempre quando il discriminante è positivo o nullo.
Le equazioni fratte richiedono più attenzione perché devi sempre controllare le condizioni di esistenza (C.E.). Prima elimini i denominatori, risolvi l'equazione risultante, poi verifichi che le soluzioni non annullino i denominatori originali.
Errore comune: Non dimenticare mai di verificare le C.E. alla fine - una soluzione che annulla il denominatore va sempre scartata!
Nel caso di denominatori che si annullano, quella soluzione è non accettabile anche se matematicamente corretta per l'equazione trasformata.
Le equazioni letterali contengono parametri (lettere diverse da x) e richiedono una discussione dei casi possibili. Devi sempre considerare quando il coefficiente di x² si annulla.
Per un'equazione come ax² + bx + c = 0 con parametro a, se a = 0 l'equazione diventa di primo grado. Se a ≠ 0 mantieni il secondo grado e calcoli discriminante e soluzioni in funzione del parametro.
Nelle equazioni fratte letterali il procedimento è simile, ma devi anche verificare che le soluzioni rispettino le condizioni di esistenza per ogni valore del parametro. La sintesi finale deve indicare chiaramente i valori accettabili.
Strategia vincente: Nelle equazioni letterali, organizza sempre la discussione partendo dai casi che annullano i coefficienti principali.
La discussione completa include tutti i valori del parametro e le corrispondenti soluzioni, specificando sempre quali sono accettabili.
La funzione quadratica y = ax² ha come grafico una parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria sull'asse y. Il parametro a determina l'apertura: più grande è |a|, più stretta è la parabola.
Se a > 0 la parabola ha la concavità verso l'alto (sorride), se a < 0 ha la concavità verso il basso (è triste). Questo dettaglio ti aiuta subito a capire l'andamento generale della funzione.
Il vertice è il punto più importante della parabola: rappresenta il minimo se a > 0 o il massimo se a < 0. Per y = ax² il vertice è sempre nell'origine (0,0).
Visualizza sempre: Disegnare un rapido schizzo della parabola ti aiuta a capire il comportamento della funzione e a verificare i tuoi calcoli.
Costruisci la tabella dei valori scegliendo punti simmetrici rispetto all'asse y, così sfrutti la simmetria della parabola e riduci i calcoli.
Per la funzione quadratica completa y = ax² + bx + c, il vertice ha coordinate xᵥ = -b/2a e yᵥ = -Δ/4a. L'asse di simmetria è sempre la retta verticale x = -b/2a.
Gli zeri della funzione sono i punti dove la parabola interseca l'asse x, ovvero le soluzioni dell'equazione ax² + bx + c = 0. Se Δ > 0 hai due intersezioni, se Δ = 0 una sola (tangenza), se Δ < 0 nessuna intersezione reale.
Per tracciare la parabola calcola: vertice, eventuali zeri, intersezione con l'asse y (punto (0,c)), e un paio di punti aggiuntivi per maggiore precisione. Sfrutta sempre la simmetria!
Controllo rapido: Se la parabola passa per i punti che hai calcolato e rispetta la simmetria rispetto all'asse, il grafico è corretto.
Nell'esempio con y = x² + 6x + 5, il vertice è in (-3,-4) e gli zeri sono x = -1 e x = -5, con l'intersezione y in (0,5).
Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.
È possibile scaricare l'applicazione dal Google Play Store e dall'Apple App Store.
Sì, hai accesso completamente gratuito a tutti i contenuti nell'app e puoi chattare o seguire i Creatori in qualsiasi momento. Sbloccherai nuove funzioni crescendo il tuo numero di follower. Inoltre, offriamo Knowunity Premium, che consente di studiare senza alcun limite!!
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Google Play
L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
utente iOS
Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
Samantha Klich
utente Android
Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
Anna
utente iOS
È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
utente Android
Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.
Francesca
utente Android
moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
Marianna
utente Android
L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!
Sudenaz Ocak
utente Android
A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.
Greenlight Bonnie
utente Android
Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA
Aurora
utente Android
L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.
Martina
utente iOS
in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro
Chiara
utente IOS
Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.
Andrea
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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.
Stefano S
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Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.
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Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.
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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo
Anastasia
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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Doriana Tomeo
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Le equazioni di secondo grado sono fondamentali in matematica e ti accompagneranno per tutto il percorso scolastico. Imparerai a risolverle usando diverse tecniche e a rappresentarle graficamente attraverso le parabole.
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Un'equazione di secondo grado ha sempre la forma ax² + bx + c = 0 dove a ≠ 0. Qui x è l'incognita, mentre a, b e c sono i coefficienti dell'equazione (c si chiama anche termine noto).
Se tutti i coefficienti sono diversi da zero, l'equazione è completa. Altrimenti è incompleta e diventa più facile da risolvere. Ricorda che ogni equazione di secondo grado ha sempre due soluzioni, chiamate radici.
Le equazioni incomplete si dividono in tre tipi. Le equazioni spurie si risolvono raccogliendo x e danno sempre una soluzione nulla e una reale. Le equazioni pure danno due soluzioni opposte se -c/a ≥ 0, altrimenti sono impossibili.
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Le relazioni tra radici e coefficienti sono super utili. La somma delle radici è sempre x₁ + x₂ = -b/a, mentre il prodotto è x₁ × x₂ = c/a. Queste formule ti permettono di trovare le soluzioni senza calcolare il discriminante!
Puoi anche fare il processo inverso: se conosci somma e prodotto delle radici, scrivi l'equazione come x² - (somma)x + (prodotto) = 0. È un metodo velocissimo per costruire equazioni o verificare i risultati.
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Il vertice è il punto più importante della parabola: rappresenta il minimo se a > 0 o il massimo se a < 0. Per y = ax² il vertice è sempre nell'origine (0,0).
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Per la funzione quadratica completa y = ax² + bx + c, il vertice ha coordinate xᵥ = -b/2a e yᵥ = -Δ/4a. L'asse di simmetria è sempre la retta verticale x = -b/2a.
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