Cos'è un'equazione con valore assoluto

Un'equazione con valore assoluto contiene un'incognita all'interno di un simbolo di valore assoluto. Queste equazioni richiedono un metodo specifico di risoluzione che tiene conto della definizione di valore assoluto.

Alcuni esempi di equazioni con valore assoluto sono |x-3| = 5 oppure |x| = 2. Per risolvere queste equazioni, dobbiamo considerare separatamente i casi in cui l'espressione dentro il modulo è positiva o negativa.

Il primo passo è sempre isolare il valore assoluto, così da ricondurci a un'equazione nella forma standard.

💡 Ricorda che il valore assoluto rappresenta la distanza di un numero dallo zero sulla retta numerica, quindi |x-3| = 5 significa che x è a 5 unità di distanza da 3!

La definizione di valore assoluto

Quando abbiamo un'equazione nella forma |A(x)| = B(x), dobbiamo ricordarci della definizione di valore assoluto:

Il valore assoluto di un numero è definito come:

• Il numero stesso se è positivo o zero
• L'opposto del numero se è negativo

In termini matematici:

|a| = a,     se a ≥ 0
|a| = -a,    se a < 0

Questa definizione ci guiderà nella risoluzione dell'equazione, poiché ci dice come trattare l'espressione dentro il valore assoluto in base al suo segno.

Il primo caso: quando A(x) ≥ 0

Nel primo caso, quando l'espressione dentro il valore assoluto è non negativa, cioè A(x) ≥ 0, la nostra equazione diventa semplicemente:

A(x) = B(x)

Tuttavia, questa soluzione deve rispettare anche la condizione che A(x) sia effettivamente non negativa. Quindi dobbiamo risolvere un sistema:

{
   A(x) ≥ 0
   A(x) = B(x)
}

Le soluzioni che trovate devono soddisfare entrambe le condizioni per essere valide in questo caso.

Il secondo caso: quando A(x) < 0

Nel secondo caso, quando l'espressione dentro il valore assoluto è negativa, cioè A(x) < 0, dobbiamo ricordarci che il valore assoluto cambia il segno dell'espressione.

La nostra equazione diventa: -A(x) = B(x)

Anche qui, dobbiamo verificare che la soluzione rispetti la condizione che A(x) sia effettivamente negativa. Quindi risolviamo il sistema:

{
   A(x) < 0
   -A(x) = B(x)
}

💡 Questo secondo caso spesso viene dimenticato, ma è fondamentale per trovare tutte le soluzioni possibili!

La strategia complessiva

La soluzione completa dell'equazione con valore assoluto è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:

{A(x) ≥ 0    oppure    {A(x) < 0
 A(x) = B(x)}           -A(x) = B(x)}

Vediamo un esempio concreto: |1 - 2x| = 5x - 7

Questa è un'equazione con valore assoluto nella forma standard, dove A(x) = 1 - 2x e B(x) = 5x - 7. Per risolverla, dovremo analizzare entrambi i casi possibili.

Non preoccuparti se sembra complicato: basta seguire i passaggi uno alla volta e verificare sempre che le soluzioni soddisfino le condizioni richieste.

Risoluzione di un esempio: primo sistema

Per risolvere l'equazione |1 - 2x| = 5x - 7, dobbiamo considerare i due sistemi:

{1-2x ≥ 0          oppure    {1-2x < 0
 1-2x = 5x-7}                 -(1-2x) = 5x-7}

Iniziamo con il primo sistema. La prima condizione ci dice che 1-2x ≥ 0, che possiamo riscrivere come x ≤ 1/2.

Nella seconda equazione, risolviamo 1-2x = 5x-7:

• 1-2x = 5x-7
• 1-2x-5x = -7
• 1-7x = -7
• -7x = -8
• x = 8/7

Verifica delle soluzioni del primo sistema

Abbiamo trovato x = 8/7 dal primo sistema, ma dobbiamo verificare se rispetta anche la condizione x ≤ 1/2:

8/7 ≈ 1,14 che è maggiore di 1/2 = 0,5

Poiché 8/7 > 1/2, questa soluzione non è accettabile per il primo sistema. In altre parole, il primo sistema non ha soluzioni valide.

Matematicamente, diciamo che l'insieme delle soluzioni del primo sistema è l'insieme vuoto, indicato con S = Ø.

Questo è un passaggio cruciale: non basta trovare un valore di x che soddisfi l'equazione, ma deve anche rispettare la condizione sul segno dell'espressione dentro il valore assoluto!

Risoluzione dell'esempio: secondo sistema

Passiamo al secondo sistema:

{1-2x < 0
 -(1-2x) = 5x-7}

La prima disequazione 1-2x < 0 si può riscrivere come x > 1/2.

Per la seconda equazione, sviluppiamo -$1-2x$ = 5x-7:

• -$1-2x$ = 5x-7
• -1+2x = 5x-7
• -1+2x-5x = -7
• -1-3x = -7
• -3x = -6
• x = 2

Abbiamo trovato che x = 2. Ora dobbiamo verificare se soddisfa anche la prima condizione.

Verifica delle soluzioni del secondo sistema

Abbiamo trovato x = 2 come soluzione dell'equazione nel secondo sistema. Verifichiamo se rispetta la condizione x > 1/2:

2 > 1/2 è vero (2 è maggiore di 0,5)

Poiché 2 > 1/2, questa soluzione è accettabile! Quindi x = 2 è una soluzione valida dell'equazione originale |1-2x| = 5x-7.

Questa verifica è essenziale: conferma che quando x = 2, l'espressione 1-2x è effettivamente negativa, come richiesto dal secondo caso della definizione di valore assoluto.

💡 Ricorda sempre di verificare che le soluzioni trovate rispettino le condizioni sul segno dell'espressione dentro il valore assoluto!

Altre forme di equazioni con valore assoluto

Le equazioni con valore assoluto possono presentarsi in forme diverse da quella standard. Per esempio, potremmo avere un'equazione come:

|2 - x| + x² = 4

Per risolvere questo tipo di equazioni, dobbiamo prima ricondurle alla forma standard |A(x)| = B(x) isolando il termine con il valore assoluto:

|2 - x| = 4 - x²

Una volta ottenuta questa forma, possiamo applicare il metodo che abbiamo visto, considerando i due casi possibili in base al segno dell'espressione dentro il valore assoluto.